拉普拉斯-龙格-冷次向量

在经典力学里，拉普拉斯-龙格-冷次向量（Laplace–Runge–Lenz vector；简称为LRL向量）主要是用来描述，当一个物体环绕著另外一个物体运动时，轨道的形状与取向。典型的例子是行星的环绕著太阳公转。在一个物理系统里，假若两个物体以万有引力相互作用，则LRL向量必定是一个运动常数，不管在轨道的任何位置，计算出来的LRL向量都一样^[1]；也就是说，LRL向量是一个保守量。更广义地，在克卜勒问题里，由于两个物体以连心力相互作用，而连心力遵守平方反比定律，所以，LRL向量是一个保守量^[2]。

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小则用 ${\displaystyle r\,\!}$ 来表示。

氢原子是由两个带电粒子构成的。这两个带电粒子以遵守库仑定律的静电力互相作用．静电力是一个标准的平方反比连心力。所以，氢原子内部的微观运动是一个开普勒问题。在量子力学的发展初期，薛丁格还在思索他的薛丁格方程式的时候，沃夫冈·包立使用LRL向量，关键性地推导出氢原子的发射光谱^[3]。这结果给予物理学家很大的信心，量子力学理论是正确的。

在经典力学与量子力学里，因为物理系统的某一种对称性，会产生一个或多个对应的保守值。LRL向量也不例外。可是，它相对应的对称性很特别；在数学里，开普勒问题等价于一个粒子自由地移动于四维空间的三维球面^[4]；所以，整个问题涉及四维空间的某种旋转对称^[5]。

拉普拉斯-龙格-冷次向量是因皮埃尔-西蒙·拉普拉斯、卡尔·龙格与威廉·楞次而命名。它又称为拉普拉斯向量，龙格-冷次向量，或冷次向量。有趣的是，LRL向量并不是这三位先生发现的！这向量曾经被重复地发现过好几次^[6]。它等价于天体力学中无因次的离心率向量^[7]。发展至今，在物理学里，有许多各种各样的LRL向量的推广定义；牵涉到狭义相对论，或电磁场，甚至于不同类型的连心力。

概论

在一个物理系统里，在任意保守的连心力的作用下（参阅保守力），一个粒子的运动，都会拥有至少四个运动常数；能量与角动量${\displaystyle \mathbf {L} }$的三个分量皆为运动常数。粒子的轨道被限制于一个平面。粒子的动量${\displaystyle \mathbf {p} }$和从力中心点的位置到粒子位置的位移${\displaystyle \mathbf {r} }$（参阅图1）。粒子的运动平面垂直于角动量${\displaystyle \mathbf {L} }$。用方程式表示，

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} =0}$。

LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$，也肯定地包含于粒子的运动平面。可是，只有当连心力遵守平方反比定律时，${\displaystyle \mathbf {A} }$才是常数向量^[1]。对于别种连心力，${\displaystyle \mathbf {A} }$不是常数向量，其大小与方向都会改变。假若连心力近似地遵守平方反比定律，则${\displaystyle \mathbf {A} }$的大小近似常数，而方向会缓慢地转动。对于所有的连心力，可以定义一个广义LRL向量，但是，这广义向量通常并没有解析解，假若有，也会是一个非常复杂的函数^[8][9]。

历史

在重要的开普勒问题中，LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$是一个运动常数，时常用来描述天文轨道，例如行星的运动。然而，物理学家对它并不熟悉，这很可能是因为与动量与角动量相比，它的物理内涵比较难以被直觉地理解。因此，在过去三个世纪里，它曾被重复地发现过许多次^[6]。1710年，在一个不著名的义大利学刊里，雅各布·赫尔曼最先发表了关于LRL向量的论文。在推导一个轨道方程式的过程中，他计算出LRL向量的大小， ${\displaystyle A}$是保守的^[10]；并且推导出此案例与椭圆轨道离心率的关系。稍后，赫尔曼把这结果告诉约翰·白努利，他的恩师。白努利又更进一步地推导出LRL向量的方向。这样，LRL向量得到了它的现代形式^[11]。所以，不容质疑地，LRL向量是赫尔曼和白努利共同发现的。

在那个世纪末尾，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯又重新地发现了LRL向量的保守性；稍微不同地，他的导引使用的是分析方法，而不是几何方法^[12]。十九世纪中叶，威廉·哈密顿推导出全等的离心率向量^[7]。他用离心率向量来证明，在平方反比连心力作用下，速端曲线显示出，粒子动量向量的头部呈圆形移动^[13] （参阅图3）。二十世纪初，约西亚·吉布斯，应用向量分析，推导出同样的向量^[14]。后来，卡尔·龙格将吉布斯的导引，纳入自己所写的一本广受欢迎的，关于向量的，德文教科书内，成为其中的一个例题^[15]。1924年，威廉·楞次发表了一篇关于氢原子的旧量子论的论文。在这篇论文中，他引用龙格所写的教科书的例题为参考^[16]。1926年，沃尔夫冈·包立用LRL向量与矩阵力学，而不是薛丁格方程式，来推导氢原子的光谱^[3]。这杰作说服了大多数物理学家，使他们觉得量子力学理论是正确的。

数学定义

图1:在平方反比连心力的作用下，一个移动中的粒子，在椭圆轨道的四点（标记为1, 2, 3,与4）的LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$（红色表示）。力中心点表示为一个小黑点；从这黑点，位置向量${\displaystyle \mathbf {r} }$（黑色表示）以径向方向指出。角动量${\displaystyle \mathbf {L} }$垂直于轨道的平面。共面的向量${\displaystyle \mathbf {p} \times \mathbf {L} }$与${\displaystyle mk{\hat {\mathbf {r} }}}$分别用蓝色与绿色表示。LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$是一个运动常数向量

平方反比连心力${\displaystyle \mathbf {F} (r)}$可以表达为

${\displaystyle \mathbf {F} (r)=-{\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$；

其中，${\displaystyle k}$是比例常数，${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}}$是单位向量，${\displaystyle \mathbf {r} }$是粒子的位置向量，${\displaystyle r}$是${\displaystyle \mathbf {r} }$的大小。

感受到此力的作用，一个粒子的轨道运动，其LRL向量的数学定义方程式为^[1]

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} }$；

其中，${\displaystyle m}$是粒子的质量，${\displaystyle \mathbf {p} }$是动量，${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$是角动量。

由于平方反比连心力为保守力，能量${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}}$是运动常数：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}={\frac {p}{m}}{\dot {p}}+{\frac {k}{r^{2}}}{\dot {r}}=0}$。

再者，角动量${\displaystyle \mathbf {L} }$也是保守的，可以决定粒子移动平面的取向。因为${\displaystyle \mathbf {p} \times \mathbf {L} }$与${\displaystyle \mathbf {r} }$都垂直于${\displaystyle \mathbf {L} }$，所以，LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$垂直于角动量；${\displaystyle \mathbf {A} }$包含于轨道的平面。

这个单独粒子的LRL向量定义，也可以延伸至像开普勒问题一类的二体问题，只需要设定质量${\displaystyle m}$为二个物体的约化质量，设定位置向量${\displaystyle \mathbf {r} }$为二个物体之间的相对位置向量。

同样的运动常数可以有很多种不同的表述．最常见的一种牵涉到离心率向量。定义离心率向量${\displaystyle \mathbf {e} }$为LRL向量与${\displaystyle mk}$的除商^[7][17]：

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {A} }{mk}}={\frac {1}{mk}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-\mathbf {\hat {r}} }$。

开普勒轨道导引

图2：这是图1的简化版，角${\displaystyle \theta }$定义为${\displaystyle \mathbf {A} }$与${\displaystyle \mathbf {r} }$之间的夹角

开普勒问题的运动轨道，其形状与取向，可以用LRL向量决定^[1]。${\displaystyle \mathbf {A} }$与${\displaystyle \mathbf {r} }$的内积为

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {r} =Ar\cos \theta =\mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-mkr}$；

其中，${\displaystyle \theta }$为${\displaystyle \mathbf {A} }$与${\displaystyle \mathbf {r} }$之间的夹角。

置换其三重积，

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=\mathbf {L} \cdot \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)=\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} =L^{2}}$。

所以，

${\displaystyle Ar\cos \theta =L^{2}-mkr}$。

编排成圆锥曲线的方程式形式：

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)}$。

离心率${\displaystyle e}$为

${\displaystyle e={\frac {A}{mk}}={\frac {\left|\mathbf {A} \right|}{mk}}}$。

开普勒轨道与能量的关系可以由LRL向量推导出。${\displaystyle \mathbf {A} }$与自己的内积为

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} &=(\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} )\cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} )\\&=p^{2}L^{2}+m^{2}k^{2}-2mk{\hat {\mathbf {r} }}\cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {L} )\\&=\left(2mE+{\frac {2mk}{r}}\right)L^{2}+m^{2}k^{2}-{\frac {2mk}{r}}L^{2}\\\end{aligned}}}$ 。

所以，

${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}}$。

稍微编排，离心率的平方${\displaystyle e^{2}}$是能量${\displaystyle E}$的函数：

${\displaystyle e^{2}=1+{\frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E}$。

假若能量${\displaystyle E}$是负值的（束缚轨道），则离心率小于1，这轨道是椭圆形轨道。相反地，假若能量是正值的（非束缚轨道，又称为散射轨道）则离心率大于1，这轨道是双曲线轨道。最后，假若能量等于零，则离心率等于1，这轨道是抛物线轨道。对于所有状况，LRL向量与圆锥曲线的对称轴平行，而且从力中心点指向近拱点。

圆形的速端曲线

图3 :在平方反比连心力作用下，随著粒子的轨道运动，使用速端曲线图，固定动量向量${\displaystyle \mathbf {p} }$ (蓝色表示)的尾部于原点，则其头部呈圆形移动。四个标记的点对应于图1的四点。圆形的中心是在p_y-轴，p_y-座标为${\displaystyle A/L}$（以品红色表示），半径是${\displaystyle mk/L}$（以绿色表示）

假设一个粒子在做轨道运动。其速度向量的物理行为可以用速端曲线显示出来，而动量是速度乘以质量。所以，速端曲线也可以显示出动量的物理行为。在平方反比连心力作用下，速端曲线（图3）显示出，粒子的动量向量的头部呈圆形移动；这事实可以用LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$与角动量${\displaystyle \mathbf {L} }$的保守性来证明^[13][6]。计算${\displaystyle \mathbf {L} }$与${\displaystyle \mathbf {A} }$的叉积：

${\displaystyle L^{2}\mathbf {p} =\mathbf {L} \times \mathbf {A} -mk{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {L} }$。

设定xyz参考系的圆点在力中心点，${\displaystyle \mathbf {L} }$与z-轴同方向，x-轴与半长轴同轴。则

${\displaystyle p_{x}^{2}+\left(p_{y}-A/L\right)^{2}=\left(mk/L\right)^{2}}$。

换句话说，动量${\displaystyle \mathbf {p} }$的头部被限制于一个圆圈；圆圈的半径为${\displaystyle mk/L}$，圆心为${\displaystyle (0,\ A/L)}$。如图3所示，圆形的动量速端曲线毫无疑问地显示出克卜勒问题的对称性。

夹角${\displaystyle \eta }$的一边是点2与圆心的连线，另一边是负p_y-轴。很显然地，离心率等于${\displaystyle \cos \eta }$。为了简化运算，在这里提出一个很有用的变量${\displaystyle p_{0}={\sqrt {2m\left|E\right|}}}$。

运动常数与超级可积分性

在克卜勒问题里，两个向量${\displaystyle \mathbf {A} }$，${\displaystyle \mathbf {L} }$与一个纯量${\displaystyle E}$加起来一共有七个常数纯量。它们之间的相关性表达于${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {L} =0}$与${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}}$这两个公式。因为${\displaystyle \mathbf {A} }$的大小可以由角动量${\displaystyle \mathbf {L} }$与能量${\displaystyle E}$计算出来。再者，${\displaystyle \mathbf {A} }$必须垂直于${\displaystyle \mathbf {L} }$。所以，${\displaystyle \mathbf {A} }$只能贡献1个运动常数。

由于有上述两个关系公式，这物理系统一共有五个独立的运动常数。这结果与设定粒子轨道所需的六个初始条件（粒子的初始位置向量与初始速度向量，每一个向量有三个分量）相符合，原因是运动常数不涉及初始时间（视六个初始条件函数的参数为自变量初始时间。用其中的一个初始条件函数除去这自变量；将此初始条件函数当作一个自变量，则剰馀五个初始条件函数，函数的参数为新自变量）。

因为运动方程式是二阶微分方程，一个拥有${\displaystyle d}$ 自由度的物理系统，需要${\displaystyle 2d}$个初始条件来设定解答。由于运动常数不涉及初始时间，这物理系统最多只能拥有${\displaystyle 2d-1}$个运动常数。一个拥有超过${\displaystyle d}$个运动常数的物理系统称为超级可积分系统；而一个拥有${\displaystyle 2d-1}$个运动常数的物理系统称为最大超级可积分系统^[18]。哈密顿-亚可比方程式的解答，采用任意一种坐标系统，最多只能求得${\displaystyle d}$个运动常数^[19]。

克卜勒问题拥有三个自由度（${\displaystyle d=3}$）与五个运动常数；克卜勒问题的系统是最大超级可积分系统；采用球坐标或抛物线坐标，哈密顿－亚可比方程式都是可积分的^[20]；这论据，稍后会有详细的解释。最大超级可积分系统可以用对易关系来量子化，这论据，稍后也会又更明了的说明^[21]。

在微扰势下的系统演化

图5：椭圆轨道的慢进动，离心率${\displaystyle e=0.667}$。假若，引性的连心力与平方反比定律稍微有点不同，类似的进动就会发生

只有在一个标准的平方反比连心力下，粒子的LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$是保守的。对于大多数的实际问题，例如行星运动，作用力并不会完全地遵守平方反比定律，而可能会含有别种微扰的连心力；称其负值不定积分为微扰势，标记为${\displaystyle h(r)}$。在这种状况下，LRL向量会缓慢地转动于轨道平面，相应于轨道的慢进动。假若微扰势${\displaystyle h(r)}$为一个保守的连心势，也就是说，总能量${\displaystyle E}$与角动量${\displaystyle \mathbf {L} }$都是保守的，则粒子的运动仍旧包含于一个垂直于${\displaystyle \mathbf {L} }$的平面，大小${\displaystyle A}$仍旧是保守的。微扰势${\displaystyle h(r)}$可以是任何形式的函数。但是，微扰值应该显著地弱于主连心势。一个典形的微扰势可以表示为

${\displaystyle h(r)=-\ {\frac {h}{r^{n}}}}$；

其中，${\displaystyle h}$是微扰势强度，整数${\displaystyle n\leq 2}$。

用正则微扰理论与作用量-角度座标，可以直接地推导出LRL向量的转动率是^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\Omega }}={\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle &={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}h(r)\,\mathrm {d} t\right\}\\&={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {m}{TL}}\int _{0}^{2\pi }r^{2}h(r)\,\mathrm {d} \theta \right\}\\\end{aligned}}}$ ；

其中，${\displaystyle T}$是轨道周期，恒等式${\displaystyle Ldt=mr^{2}\mathrm {d} \theta }$转变时间积分为角积分（如图5）。角括号表达式${\displaystyle \langle h(r)\rangle }$是周期平均微扰势；也就是说，物体绕轨道一个公转的平均微扰势。取平均值可以减少转动率的变动。

这方法曾经被用来证实爱因斯坦的广义相对论。广义相对论在常见的牛顿万有引力项目外，又添加了一项小的反立方微扰^[22]。

${\displaystyle h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)}$。

将此函数代入积分。再代入${\displaystyle r}$与${\displaystyle \theta }$的关系公式

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)}$，

就可以计算出这非牛顿微扰所产生的近拱点进动率^[22]:

${\displaystyle {\bar {\Omega }}={\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}}}$。

计算出的答案准确地符合实验观测到的水星进动数据^[23]和双重脉冲星数据^[24]。这与实验数据一致的结果被认为是广义相对论的强证^[25][26]。

帕松括号

角动量${\displaystyle \mathbf {L} }$的三个分量${\displaystyle L_{i}}$的帕松括号是^[1]

${\displaystyle \{L_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}$；

其中，指标${\displaystyle i,\ j=1,\ 2,\ 3}$代表直角座标系的三个座标${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$，${\displaystyle \epsilon _{ijs}}$是列维-奇维塔符号；在这里，为了避免与力强度的标记${\displaystyle k}$发生混淆，采用${\displaystyle s}$为连加运算的指标。

定义一个与LRL向量成比例的向量${\displaystyle \mathbf {D} }$为

${\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{\sqrt {2m\left|E\right|}}}}$。

向量${\displaystyle \mathbf {D} }$与角动量${\displaystyle \mathbf {L} }$的单位相同。${\displaystyle \mathbf {D} }$与${\displaystyle \mathbf {L} }$的帕松括号为^[27]

${\displaystyle \{D_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}D_{s}}$。

向量${\displaystyle \mathbf {D} }$与自己的帕松括号跟总能量${\displaystyle E}$的正负号有关；也就是说，跟是否总能量${\displaystyle E}$是正值（在平方反比连心力作用下，产生开放的双曲线轨道），或负值（在平方反比连心力作用下，产生闭合地椭圆轨道）有关。假若总能量${\displaystyle E}$是正值，帕松括号是

${\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=-\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}$。

反之，假若总能量${\displaystyle E}$是负值，帕松括号是

${\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}$。

由于以下这三个帕松括号方程式，

${\displaystyle \{L_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}$，

${\displaystyle \{D_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}D_{s}}$，

${\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}$，

如果总能量${\displaystyle E}$是负值，则可确定克卜勒问题的对称群是四维的旋转群SO(4)。

假若总能量${\displaystyle E}$是负值，卡西米尔不变量${\displaystyle C_{1},\ C_{2}}$定义为

${\displaystyle C_{1}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ={\frac {mk^{2}}{2\left|E\right|}}}$，

${\displaystyle C_{2}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {L} =0}$。

而且，卡西米尔不变量与${\displaystyle \mathbf {D} }$的每一个分量的帕松括号皆为零：

${\displaystyle \{C_{1},D_{i}\}=\{C_{2},D_{i}\}=0}$。

还有，卡西米尔不变量与${\displaystyle \mathbf {L} }$的每一个分量的帕松括号皆为零：

${\displaystyle \{C_{1},L_{i}\}=\{C_{2},L_{i}\}=0}$。

既然两个向量${\displaystyle \mathbf {D} }$与${\displaystyle \mathbf {L} }$永远是互相垂直的，${\displaystyle C_{2}}$明显地是零。可是，另外一个不变量${\displaystyle C_{1}}$只跟质量${\displaystyle m}$、力强度${\displaystyle k}$、总能量${\displaystyle E}$有关。不变量${\displaystyle C_{1}}$分别与${\displaystyle D_{i}}$，${\displaystyle L_{i}}$的帕松括号等于零的导引并不明显。这不变量${\displaystyle C_{1}}$使得只用到量子力学的正则对易关系，就可以推导出类氢原子的原子能级，而不必用到的薛丁格方程式。

氢原子量子力学

图6：从LRL向量算符与角动量算符的对易关系，预测出来的氢原子的原子能级。各种实验都准确地证实这些能级正确无误。

帕松括号提供了一个简易的方法来正则量子化经典系统。两个量子算符的对易关系等于${\displaystyle i\hbar }$乘以对应的经典变量^[28]。经过这量子化程序，计算克卜勒问题的卡西米尔算符${\displaystyle C_{1}}$的本征值，沃尔夫冈·包利成功地推导出类氢原子的原子能级（参阅图6），以及其发射光谱^[3]。早在薛丁格方程式成立之前^[29]，包利就研究出这重要的结果！

LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$的量子算符有一个奥妙之处，那就是动量算符与角动量算符并不对易。动量与角动量的叉积必须仔细地加以定义^[27]。LRL向量的直角座标分量典型地定义为

${\displaystyle A_{k}\equiv -m_{e}\alpha {\hat {r}}_{k}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\epsilon _{ijk}\left(p_{i}l_{j}+l_{j}p_{i}\right)}$；

其中，${\displaystyle m_{e}}$是电子的质量，常数${\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}}$，${\displaystyle e}$是单位电荷量，${\displaystyle \epsilon _{0}}$是真空电容率。

这定义有一个特性：指标${\displaystyle i,\ j}$是对称的，指标${\displaystyle i,\ j}$的互换不会改变${\displaystyle A_{k}}$的数值。表示为向量形式，

${\displaystyle \mathbf {A} =-m_{e}\alpha {\hat {r}}+{\frac {1}{2}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} -\mathbf {L} \times \mathbf {p} )}$。

那么，其对应的哈密顿算符是

${\displaystyle H={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m_{e}}}-{\frac {\alpha }{r}}}$。

与${\displaystyle \mathbf {A} }$向量成正比的${\displaystyle \mathbf {D} }$向量则是

${\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{\sqrt {-2m_{e}H}}}}$。

请注意，由于哈密顿算符的本征值是负值，所以公式内的平方根是个实数。

经过一番繁冗的运算，可以求得对易关系：

${\displaystyle \{L_{i},\,L_{j}\}=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}$、

${\displaystyle \{L_{i},\,D_{j}\}=i\hbar \epsilon _{ijk}D_{k}}$、

${\displaystyle \{D_{i},\,D_{j}\}=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}$、

${\displaystyle \{H,\,D_{i}\}=0}$。

定义第一阶张量算符为

${\displaystyle J_{0}\equiv D_{3}}$、

${\displaystyle J_{\pm 1}\equiv \mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(D_{1}\pm iD_{2}\right)}$。

一个归一化的第一卡西米尔算符可以同样地定义为

${\displaystyle C_{1}\equiv \mathbf {D} ^{2}+\mathbf {L} ^{2}={\frac {m_{e}\alpha ^{2}}{-2H}}-\hbar ^{2}}$。

注意到${\displaystyle J_{+1}}$和${\displaystyle J_{-1}}$的对易关系是

${\displaystyle \{J_{+1},J_{-1}\}=i\{D_{1},\,D_{2}\}=-\hbar L_{3}}$。

应用维格纳-埃卡特定理（Wigner-Eckart theorem），

${\displaystyle J_{0}|l,\,m\rangle =i{\sqrt {l^{2}-m^{2}}}\ {\mathfrak {C}}_{l}|l-1,\,m\rangle -i{\sqrt {(l+1)^{2}-m^{2}}}\ {\mathfrak {C}}_{l+1}|l+1,\,m\rangle }$、

${\displaystyle J_{+1}|l,\,m\rangle =-i{\sqrt {(l-m)(l-m-1)/2}}\ {\mathfrak {C}}_{l}|l-1,\,m+1\rangle -i{\sqrt {(l+m+1)(l+m+2)/2}}\ {\mathfrak {C}}_{l+1}|l+1,\,m+1\rangle }$、

${\displaystyle J_{-1}|l,\,m\rangle =-i{\sqrt {(l+m)(l+m-1)/2}}\ {\mathfrak {C}}_{l}|l-1,\,m-1\rangle -i{\sqrt {(l-m+1)(l-m+2)/2}}\ {\mathfrak {C}}_{l+1}|l+1,\,m-1\rangle }$；

其中，${\displaystyle |l,\,m\rangle }$是角量子数为${\displaystyle l}$、磁量子数为${\displaystyle l}$的本征态，${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}}$是常数系数。

经过一番运算，${\displaystyle J_{+1}}$和${\displaystyle J_{-1}}$的对易算符作用于${\displaystyle |l,\,m\rangle }$的结果是

${\displaystyle {\begin{aligned}\{J_{+1},\,J_{-1}\}|l,\,m\rangle &=-m[(2l-1){\mathfrak {C}}_{l}^{2}-(2l+3){\mathfrak {C}}_{l+1}^{2}]|l,\,m\rangle \\&=-\hbar L_{3}|l,\,m\rangle =-m\hbar ^{2}\\\end{aligned}}}$。

所以，${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}}$的递回关系是

${\displaystyle (2l-1){\mathfrak {C}}_{l}^{2}-(2l+3){\mathfrak {C}}_{l+1}^{2}=\hbar ^{2}}$。

假设${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}^{2}}$是非负值，则为了满足上述公式，${\displaystyle l>0}$。再假设${\displaystyle l}$的最大值是${\displaystyle l_{max}}$。由于态向量${\displaystyle |l_{max}+1,\,\ \rangle }$不存在，${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l_{max}+1}=0}$。因此，${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l_{max}}={\frac {\hbar ^{2}}{2l_{max}-1}}}$。设定${\displaystyle n=l_{max}-1}$，稍加计算，${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}}$的一般方程式为

${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}={\sqrt {\frac {n^{2}-l^{2}}{4l^{2}-1}}}\ \hbar }$。

这个${\displaystyle n}$就是跟能级有关的主量子数。先计算${\displaystyle D^{2}}$：

${\displaystyle {\begin{aligned}D^{2}|n,\,l,\,m\rangle &=[J_{+1}J_{-1}+J_{-1}J_{+1}+J_{0}^{2}]|n,\,l,\,m\rangle \\&=(n^{2}-l^{2}-l-1)\hbar ^{2}|n,\,l,\,m\rangle \\\end{aligned}}}$ 。

所以，第一卡西米尔算符${\displaystyle C_{1}}$作用于态向量${\displaystyle |n,\,l,\,m\rangle }$可以得到

${\displaystyle C_{1}|n,\,l,\,m\rangle =(D^{2}+L^{2})|n,\,l,\,m\rangle =(n^{2}-1)\hbar ^{2}|n,\,l,\,m\rangle }$。

第一卡西米尔算符${\displaystyle C_{1}}$的本征值是${\displaystyle (n^{2}-1)\hbar ^{2}}$。重点是，这些本征值跟量子数${\displaystyle l}$、${\displaystyle m}$无关，这造成了原子能阶的简并^[27]：

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {m_{e}\alpha ^{2}}{2\hbar ^{2}n^{2}}}=-{\frac {m_{e}e^{4}}{2n^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}}$。

这就是著名的氢原子波耳公式。

保守性与对称性

在克卜勒问题里，LRL向量的保守性对应于系统的一种微妙的对称性。在经典力学里，对称性可以由连续运算显示出来；这连续运算可以将一个轨道映射至另外一个轨道，而同时保持系统的能量不变。在量子力学里，连续运算将同能级原子轨域混合在一起，也就是说，（简并原子能级）。

通常，对于每一个对称性都会存在有一个保守量^[1]。例如，连心力系统必对称于旋转群SO(3)；因而指引出角动量${\displaystyle \mathbf {L} }$的保守性。在经典力学里，整个系统的旋转不会影响轨道的能量。在量子力学里，假若旋转只混合角量子数相同的球谐函数，则系统的能量不会改变。

图7：同能量的动量的速端曲线家族。每一个圆圈都经过在p_x-轴上，同样的两点${\displaystyle \pm p_{0}=\pm {\sqrt {2m\left|E\right|}}}$。这一家族的速端曲线对应于一个家族的阿波罗尼奥斯圆，和双极坐标的${\displaystyle \sigma }$ 坐标曲面。

平方反比连心力系统的对称性是更高维与更微妙的。这奇特的对称性是由角动量${\displaystyle \mathbf {L} }$与LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$的双重保守性造成的；这保证了氢原子的能级跟角量子数${\displaystyle l}$、磁量子数${\displaystyle m}$无关。由于对称性运算必须发生于更高维空间，使得这对称性更加的微妙；这类的对称性常称为隐秘对称性^[30]。在经典力学里，克卜勒问题的高维对称性容许连续的改变轨道．只要保持能量不变，而角动量可以改变；换句话说，同能量，不同角动量（离心率）的轨道可以互相的连续变换。在量子力学里，这对应著不同角量子数${\displaystyle l}$与磁量子数${\displaystyle m}$的轨域的混合，例如${\displaystyle s(l=0)}$与${\displaystyle p(l=1)}$ 原子轨域的混合。这种混合是不能用普通的三维平移运算或旋转运算达成的。可是，这种混合等价于高维度空间的旋转。

在一个束缚（bounded）系统里，能量是负值的，这高维对称群是SO(4)；特性是四维向量的长度保持不变：

${\displaystyle \left|\mathbf {e} \right|^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}+e_{4}^{2}}$。

1935年，弗拉基米尔·福克表明，在量子力学里，束缚的克卜勒问题等价于一个粒子自由地移动于四维空间的三维单位球^[4]。更具体地，佛克表明，在克卜勒问题的动量空间，薛丁格波函数是球谐函数的球极平面投影。圆球的旋转与重复射影造成了椭圆轨域的连续映射，同时维持能量不变；这对应于主量子数${\displaystyle n}$相同的轨域的混合。随后，华伦泰·巴格曼注意到，跟LRL向量成比例的向量${\displaystyle \mathbf {D} }$与角动量${\displaystyle \mathbf {L} }$的帕松括号形成SO(4)的李代数^[5]。简单地说，${\displaystyle \mathbf {D} }$与${\displaystyle \mathbf {L} }$的六个物理量对应于在四维空间里的六个保守的角动量分量，相伴于在四维空间里的六个合法的简单旋转（从四个轴中，选两个轴为旋转轴。一共有六种可能）。这结论并不意示宇宙是一个三维球面；而只是说，这个特别的物理问题（克卜勒问题），在数学上，等价于移动于三维球面的一个自由粒子。

在一个非束缚（unbound），散射系统里，能量是正值的，对应的高维对称群是SO(3,1)；其特性是保持四维矢量的闵考斯基长度不变：

${\displaystyle ds^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}-e_{4}^{2}}$。

连心力系统（包括克卜勒问题的那些系统）的轨道对于反射也具有对称性。所以，轨道的完全对称群并不是前面所提的SO(3)、SO(4)、SO(3,1)群；而分别是O(3)、O(4)、O(3,1)。然而，只需要连通子群SO(3)、SO(4)、SO(3,1)来展示出角动量与LRL向量的保守性；反射对称性与保守性不相关。保守性可以由群的李代数推导出来^[31][32]。

旋转对称性在四维空间

图8：图7的动量的速端曲线对应于${\displaystyle \eta }$ 三维单位球的大圆线的球极平面投影。每一个大圆线都与${\displaystyle \eta _{x}}$-轴相交，后者垂直于页面。投影是从北极（${\displaystyle w}$单位向量）到${\displaystyle \eta _{x}}$${\displaystyle \eta _{x}}$-平面，如同这里的虚黑线表示于品红色速端曲线。在纬度${\displaystyle \alpha }$的大圆线对应于离心率${\displaystyle e=sin\ \alpha }$。在这图里的大圆线的颜色对应于它们在图7的速端曲线。

克卜勒问题与四维旋转对称性SO(4)的关联可以很容易地观察出来^[31][33][34]。标记四维直角座标为${\displaystyle (w,\ x,\ y,\ z)}$；其中，${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$代表三维位置向量${\displaystyle \mathbf {r} }$的直角座标。三维动量${\displaystyle \mathbf {p} }$与三维单位球的四维向量${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$的关系为

${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=\displaystyle {\frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {p} }$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {\hat {w}} }$是新的w-轴的单位向量。

很简单地，可以核对${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$也是一个单位向量：

${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}={\hat {\boldsymbol {\eta }}}}$。

从${\displaystyle \mathbf {p} }$至${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}$的映射有一个独特唯一的逆反；例如，动量${\displaystyle \mathbf {p} }$的x-轴分量是

${\displaystyle p_{x}=p_{0}{\frac {\eta _{x}}{1-\eta _{w}}}}$。

${\displaystyle p_{y}}$与${\displaystyle p_{z}}$也有类似的公式。换句话说，三维动量向量${\displaystyle \mathbf {p} }$是四维单位向量${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}$的球极平面投影，其比例因子为${\displaystyle p_{0}}$。

选择一个合适的直角座标，使z-轴与角动量${\displaystyle \mathbf {L} }$同直线，使动量的速端曲线的取向如同图7，圆心包含于y-轴。这样，不失广义性，就可以观察到这旋转对称性。由于粒子的运动包含于一个平面，${\displaystyle \mathbf {p} }$与${\displaystyle \mathbf {L} }$互相垂直，而且，${\displaystyle p_{z}=\eta _{z}=0}$。因此，只需要专注于三维向量${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}=(\eta _{w},\ \eta _{x},\ \eta _{y})}$。图7速端曲线的阿波罗尼奥斯圆家族对应于在三维单位球${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$的大圆线家族。每一个大圆线与${\displaystyle \eta _{x}}$相交于两个交点${\displaystyle \eta _{x}=\pm 1}$。这两个交点相对于速端曲线图的两点${\displaystyle p_{x}=\pm p_{0}}$。这两个交点也是这些大圆线的共同交点。所以，这些大圆线的互相关系是一个环绕著${\displaystyle \eta _{x}}$-轴的简单旋转（参阅图8）。以${\displaystyle \eta _{x}}$-轴为转轴，每一个大圆线的位置是从${\displaystyle \eta _{x}\eta _{y}}$-平面旋转${\displaystyle \alpha }$角。

取任意一个大圆线${\displaystyle \eta _{y}}$最大值的一点，其坐标为${\displaystyle (\eta _{w},\ 0,\ \eta _{y},\ 0)}$。那么，

${\displaystyle p_{x}=0}$、

${\displaystyle p_{y}=p=(A+mk)/L}$、

${\displaystyle \eta _{y}=\cos(\alpha )={\frac {2p_{0}p_{y}}{p_{y}^{2}+p_{0}^{2}}}}$。

经过一番运算，代入${\displaystyle p_{0}}$的值，可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha )&={\frac {p_{y}^{2}-p_{0}^{2}}{p_{y}^{2}+p_{0}^{2}}}\\&={\frac {(A+mk)^{2}-2m|E|L^{2}}{(A+mk)^{2}+2m|E|L^{2}}}\\\end{aligned}}}$ 。

给予一个束缚轨道，能量是负值的：

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha )&={\frac {(A+mk)^{2}+2mEL^{2}}{(A+mk)^{2}-2mEL^{2}}}\\&={\frac {A}{mk}}=e\\\end{aligned}}}$ 。

所以，离心率${\displaystyle e=\sin(\alpha )}$是纬度${\displaystyle \alpha }$的正弦函数。

由于图7的动量的速端曲线对应于${\displaystyle \eta }$三维单位球的大圆线的球极平面投影，而这速端曲线家族的成员都拥有相同的能量。所以，这旋转的对称性使所有能量相同的轨道都能够互相变换。但是，这旋转正交于通常的三维旋转，因为它涉及了第四维${\displaystyle \eta _{w}}$。高维度的对称性是克卜勒问题对应于LRL向量的一个特征。

采用椭圆柱坐标${\displaystyle \chi ,\ \psi ,\ \phi }$来代替四维座标${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$，克卜勒问题有一个精致的作用量-角度座标解答^[35]：

${\displaystyle \eta _{w}=\mathrm {cn} \,\chi \ \mathrm {cn} \,\psi }$，

${\displaystyle \eta _{x}=\mathrm {sn} \,\chi \ \mathrm {dn} \,\psi \ \cos \phi }$，

${\displaystyle \eta _{y}=\mathrm {sn} \,\chi \ \mathrm {dn} \,\psi \ \sin \phi }$，

${\displaystyle \eta _{z}=\mathrm {dn} \,\chi \ \mathrm {sn} \,\psi }$；

其中，${\displaystyle \mathrm {sn} ,\,\mathrm {cn} ,\,\mathrm {dn} }$是雅可比椭圆函数。

克卜勒问题LRL向量恒定的证明

以下几种导引可以证明，在平方反比连心力下，LRL向量守恒。

直接证明

假设，一个连心力${\displaystyle f(\mathbf {r} ){\hat {\mathbf {r} }}}$作用于一个粒子。根据牛顿第二定律，运动方程式为

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=f(\mathbf {r} ){\hat {\mathbf {r} }}}$；

其中，${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$是函数，${\displaystyle \mathbf {r} }$为粒子的位置，${\displaystyle \mathbf {p} }$是动量，${\displaystyle t}$是时间。

由于在连心力下，角动量${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$是恒定的，

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {L} =0}$。

所以，

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {L} =f(\mathbf {r} )\mathbf {\hat {r}} \times \left(\mathbf {r} \times m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)=f(\mathbf {r} ){\frac {m}{r}}\left[\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)-r^{2}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right]}$。

代入以下恒等式：

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(r^{2}\right)=r{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}}$，

可以得到方程式，

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=-mf(\mathbf {r} )r^{2}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}-{\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}\right]=-mf(\mathbf {r} )r^{2}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)}$。

代入平方反比连心力的方程式${\displaystyle f(\mathbf {r} )={\frac {-k}{r^{2}}}}$，

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=mk{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(mk\mathbf {\hat {r}} \right)}$。

所以，在平方反比连心力下，${\displaystyle \mathbf {A} }$是恒定的：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(mk\mathbf {\hat {r}} \right)=0}$。

哈密顿-雅可比方程式

哈密顿-雅可比方程式的可分性也可以用推导出LRL向量的恒定性^[20][36]。采用抛物线座标${\displaystyle (\xi ,\ \eta )}$，定义

${\displaystyle \xi =r+x}$、

${\displaystyle \eta =r-x}$；

其中，${\displaystyle (x,\ y)}$是直角座标，${\displaystyle r}$是轨道的径向距离：

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$。

逆反过来，

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(\xi -\eta \right)}$、

${\displaystyle y={\sqrt {\xi \eta }}}$。

则克卜勒问题的哈密顿量为

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m{\dot {y}}^{2}-{\frac {k}{r}}\\&={\frac {2\xi p_{\xi }^{2}}{m(\xi +\eta )}}+{\frac {2\eta p_{\eta }^{2}}{m(\xi +\eta )}}-{\frac {2k}{\xi +\eta }}\\\end{aligned}}}$ ；

其中，${\displaystyle p_{\xi },\ p_{\eta }}$分别是广义座标${\displaystyle \xi ,\ \eta }$的共轭动量。

由于克卜勒问题的势函数只跟广义座标有关，哈密顿量是个能量运动常数，${\displaystyle H=E}$。稍加编排，可以得到

${\displaystyle 2\xi p_{\xi }^{2}-mk-mE\xi =-2\eta p_{\eta }^{2}+mk+mE\eta }$。

这公式的左手边与右手边分别跟不同的广义座标有关，所以，两边都相等于一个运动常数，标记为${\displaystyle \Gamma }$：

${\displaystyle 2\xi p_{\xi }^{2}-mk-mE\xi =-\Gamma }$、

${\displaystyle 2\eta p_{\eta }^{2}-mk-mE\eta =\Gamma }$。

思考LRL向量的${\displaystyle x}$分量，

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=p_{y}(xp_{y}-yp_{x})-mk{\frac {x}{r}}\\&=xp_{y}^{2}-yp_{x}p_{y}-mk+m\eta {\frac {k}{r}}\\\end{aligned}}}$ 。

代入能量方程式${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {k}{r}}}$，则

${\displaystyle A_{x}=xp_{y}^{2}-yp_{x}p_{y}+{\frac {1}{2}}m^{2}v^{2}\eta -mk-mE\eta }$。

这公式右手边，前三个项目，经过一番计算，可以得到

${\displaystyle xp_{y}^{2}-yp_{x}p_{y}+{\frac {1}{2}}m^{2}v^{2}\eta ={\frac {m^{2}}{8}}{\dot {\eta }}^{2}{\frac {(\eta +\xi )^{2}}{\eta }}=2\eta p_{\eta }^{2}}$。

所以，${\displaystyle A_{x}}$也是运动常数：

${\displaystyle A_{x}=\Gamma }$。

诺特定理

LRL向量的保守性与前面所提的旋转对称性，两者之间的关系，可以用诺特定理来做连结分析。诺特定理也可以用来辨明LRL向量是运动常数。诺特定理表明^[37]：在一个物理系统里，对于广义坐标${\displaystyle q_{i}}$的微小变分${\displaystyle \delta q_{i}=\epsilon g_{i}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {\dot {q}} ,\ t)}$，假若，取至微小参数${\displaystyle \epsilon }$的一阶，拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}}$的变分${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}}$是

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\epsilon {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}G(\mathbf {q} ,\ t)}$，

则必存在保守量${\displaystyle \Gamma }$满足方程式

${\displaystyle \Gamma =-G+\sum _{i}g_{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)}$；

其中，${\displaystyle g_{i}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {\dot {q}} ,\ t)}$、${\displaystyle G(\mathbf {q} ,\ t)}$都是函数。

更具体地，在一个克卜勒问题里，试设定坐标${\displaystyle x_{i}}$的微小变分为

${\displaystyle \delta x_{i}={\frac {\epsilon }{2}}\left[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} )\delta _{is}\right]}$；

其中，${\displaystyle i=1,\ 2,\ 3}$，${\displaystyle x_{i}}$与${\displaystyle p_{i}}$分别为位置${\displaystyle \mathbf {r} }$与动量${\displaystyle \mathbf {p} }$的${\displaystyle i}$-轴分量，${\displaystyle \delta _{is}}$是克罗内克尔δ，${\displaystyle s}$是固定的下标。

由于克卜勒问题的拉格朗日量是

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{i}\right)+{\frac {k}{r}}}$。

其运动方程式为

${\displaystyle m{\ddot {x}}_{i}+k{\frac {x_{i}}{r^{3}}}=0}$。

对应于坐标${\displaystyle x_{i}}$的变分，速度${\displaystyle {\dot {x}}_{i}}$的变分为

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\dot {x}}_{i}&={\frac {\epsilon }{2}}\left[2{\dot {p}}_{i}x_{s}-x_{i}{\dot {p}}_{s}+p_{i}{\dot {x}}_{s}-{\frac {p^{2}}{m}}\delta _{is}-(\mathbf {r} \cdot {\dot {\mathbf {p} }})\delta _{is}\right]\\&={\frac {\epsilon }{2}}\left[-{\frac {k}{r^{3}}}x_{i}x_{s}+p_{i}{\dot {x}}_{s}-{\frac {p^{2}}{m}}\delta _{is}+{\frac {k}{r}}\delta _{is}\right]\\\end{aligned}}}$。

拉格朗日量取至一阶的变分是

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\mathcal {L}}&=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}\delta x_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\delta {\dot {x}}_{i}\right)\\&=\sum _{i}\left(-{\frac {kx_{i}}{r^{3}}}\delta x_{i}+m{\dot {x}}_{i}\delta {\dot {x}}_{i}\right)\\\end{aligned}}}$。

代入${\displaystyle \delta x_{i}}$和${\displaystyle \delta {\dot {x}}_{i}}$的公式，经过一番繁琐的运算，可以得到

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\epsilon mk{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {x_{s}}{r}}\right)}$。

再代入保守量${\displaystyle \Gamma }$的公式，则会得到

${\displaystyle \Gamma =p^{2}x_{s}-p_{s}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)-{\frac {mkx_{s}}{r}}=\left[\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk{\hat {\mathbf {r} }}\right]_{s}}$；

而这正是LRL向量的${\displaystyle s}$-轴分量${\displaystyle A_{s}}$。

李变换

图9:推导出LRL向量保守性的李变换。当这比例参数${\displaystyle \lambda }$改变时，能量与角动量的大小也一起改变，可是离心率${\displaystyle e}$与LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$的大小与方向不变。

诺特定理精致地推导出LRL向量的保守性。美中不足地，这导引有一个弱点：坐标变分${\displaystyle \delta x_{i}}$不只涉及了位置${\displaystyle \mathbf {r} }$，而且还涉及了动量${\displaystyle \mathbf {p} }$ ^[38]。假若，使用数学家索菲斯·李创建的方法来推导，可以除去这弱点^[39][40]。具体地，定义一个李变换^[30]，座标${\displaystyle \mathbf {r} }$与时间${\displaystyle t}$都按照比例变换，比例是参数${\displaystyle \lambda }$的不同羃数：

${\displaystyle t\rightarrow \lambda ^{3}t,\ \mathbf {r} \rightarrow \lambda ^{2}\mathbf {r} ,\ \mathbf {p} \rightarrow {\frac {1}{\lambda }}\mathbf {p} }$。

这变换改变了角动量${\displaystyle L}$的大小与能量${\displaystyle E}$：

${\displaystyle L\rightarrow \lambda L,\ E\rightarrow {\frac {1}{\lambda ^{2}}}E}$。

可是，仍旧保持乘积${\displaystyle EL^{2}}$不变。所以，离心率${\displaystyle e}$与LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$的大小不变。这可以从${\displaystyle A^{2}}$的公式观察出：

${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}e^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}}$。

由于半短轴与半长轴的取向不因整体的比例变换而改变，LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$的方向也会保持不变。在李变换下，克卜勒第三定律也仍旧成立：半长轴${\displaystyle a}$与周期${\displaystyle T}$形成常数${\displaystyle {T^{2}}/{a^{3}}}$。

推广至别种位势和相对论

LRL向量可以推广至其他状况；可以用来辨认在其他状况下的保守值。

假设，一个物理系统里，存在著电场${\displaystyle \mathbf {E} }$，保守的广义LRL向量${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是^[20][41]

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {A} +{\frac {mq}{2}}\left[\left(\mathbf {r} \times \mathbf {E} \right)\times \mathbf {r} \right]}$；

其中，${\displaystyle q}$是粒子的电荷量。

最广义的LRL向量的形式可以表达为^[8]

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)+\left[\xi -u\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\right]L^{2}\mathbf {\hat {r}} }$；

其中，${\displaystyle u={\frac {1}{r}}}$（参阅伯特兰定理），${\displaystyle \xi =\cos \theta }$，角${\displaystyle \theta }$定义为

${\displaystyle \theta =L\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {m^{2}c^{2}\left(\gamma ^{2}-1\right)-L^{2}u^{2}}}}}$；

其中，${\displaystyle \gamma }$是劳仑兹因子。

如同前面所提，计算${\displaystyle \mathbf {L} }$与${\displaystyle {\mathcal {A}}}$的叉积，可以得到一个保守的副法线向量${\displaystyle {\mathcal {B}}}$：

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\mathbf {L} \times {\mathcal {A}}}$。

综和两个向量成为一个保守的并矢张量${\displaystyle {\mathcal {W}}}$：

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\alpha {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}+\beta \,{\mathcal {B}}\otimes {\mathcal {B}}}$。

举例说明，计算一个非相对论性，均向性谐振子的LRL向量。由于作用力是连心力，${\displaystyle \mathbf {F} (r)=-k\mathbf {r} }$，力子的角动量是保守的，粒子的运动包含于一个平面。请注意，${\displaystyle \mathbf {P} }$与${\displaystyle \mathbf {L} }$不是一定互相垂直的。保守的并矢张量可以表达为一个简单的形式：

${\displaystyle {\mathcal {W}}={\frac {1}{2m}}\mathbf {p} \otimes \mathbf {p} +{\frac {k}{2}}\,\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} }$。

其相应的LRL向量必较复杂

${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {1}{\sqrt {mr^{2}\omega _{0}A-mr^{2}E+L^{2}}}}\left\{\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)+\left(mr\omega _{0}A-mrE\right)\mathbf {\hat {r}} \right\}}$；

其中，${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$是自然振率。

别种比例与表述

不同于动量与角动量，并没有学术界一致认同的LRL向量定义；在科学文献里，存在有几种不同的比例因子与符号。前面所述的定义是最普遍的定义。另外一种常见的定义，将${\displaystyle \mathbf {A} }$除以常数${\displaystyle mk}$；这样，可以得到一个无因次的离心率向量${\displaystyle \mathbf {e} }$：

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{mk}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-\mathbf {\hat {r}} ={\frac {m}{k}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)-\mathbf {\hat {r}} }$；

其中，${\displaystyle \mathbf {v} }$是速度。

离心率向量${\displaystyle \mathbf {e} }$的方向与${\displaystyle \mathbf {A} }$相同，大小是轨道的离心率。

别种比例的版本也可能会用到。例如，将${\displaystyle \mathbf {A} }$除以${\displaystyle m}$：

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {v} \times \mathbf {L} -k\mathbf {\hat {r}} }$，

或者，将${\displaystyle \mathbf {A} }$除以${\displaystyle P_{0}}$：

${\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{P_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {2m\left|E\right|}}}\left\{\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} \right\}}$。

${\displaystyle \mathbf {D} }$与角动量${\displaystyle \mathbf {L} }$的单位相同。在非常稀有的状况，LRL向量的正负号会改变。这些，都不会影响它是运动常数的事实。

图4:角动量${\displaystyle \mathbf {L} }$，LRL向量${\displaystyle \mathbf {A} }$，与副法线向量${\displaystyle \mathbf {B} }$都互相垂直。${\displaystyle \mathbf {A} }$与${\displaystyle \mathbf {B} }$分别和椭圆的半长轴与半短轴的指向相同

另外一个保守的向量是副法线向量${\displaystyle \mathbf {B} }$。威廉·哈密顿曾经研究过这向量^[7]。

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {p} -\left({\frac {mk}{L^{2}r}}\right)\ \left(\mathbf {L} \times \mathbf {r} \right)}$。

这保守的向量与椭圆的半短轴同直线。${\displaystyle \mathbf {A} }$是${\displaystyle \mathbf {B} }$ 叉积${\displaystyle \mathbf {L} }$（参阅图4）。两个向量${\displaystyle \mathbf {A} }$与${\displaystyle \mathbf {B} }$可以结合起来形成一个保守的并矢张量${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ^[8]：

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\alpha \mathbf {A} \otimes \mathbf {A} +\beta \,\mathbf {B} \otimes \mathbf {B} }$；

其中，${\displaystyle \alpha }$与${\displaystyle \beta }$是任意比例常数，符号 ${\displaystyle \otimes }$表示张量积。展开这公式为

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{ij}=\alpha A_{i}A_{j}+\beta B_{i}B_{j}}$。

由于两个向量互相垂直，${\displaystyle \mathbf {A} }$与${\displaystyle \mathbf {B} }$可以视为保守的张量${\displaystyle {\mathcal {W}}}$的主轴，也就是说，按比例的特征向量。由于${\displaystyle \mathbf {A} }$与${\displaystyle \mathbf {B} }$都垂直于${\displaystyle \mathbf {L} }$，张量${\displaystyle {\mathcal {W}}}$垂直于角动量${\displaystyle \mathbf {L} }$：

${\displaystyle \mathbf {L} \cdot {\mathcal {W}}=\alpha \left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {A} \right)\mathbf {A} +\beta \left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {B} =0}$。

参阅

• 二体问题
• 伯特兰定理
• 量子力学
• 航天动力学：轨道，离心率向量，轨道根数

参考文献

1. Goldstein, H. Classical Mechanics 2^nd edition. Addison Wesley. 1980: 102–105,410–422,536–538. 引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. 阿诺尔德, 弗拉基米尔. Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed.. New York: Springer-Verlag. 1989: 38. ISBN 0-387-96890-3.
3. 包立, 沃尔夫冈, Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik, Zeitschrift für Physik, 1926, 36: 336–363
4. Fock, V., Zur Theorie des Wasserstoffatoms, Zeitschrift für Physik, 1935, 98: 145–154
5. 巴格曼, 华伦泰, Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock, Zeitschrift für Physik, 1936, 99: 576–582
6. Goldstein, H., Prehistory of the Runge–Lenz vector, American Journal of Physics, 1975, 43: 735–738
   Goldstein, H., More on the prehistory of the Runge–Lenz vector, American Journal of Physics, 1976, 44: 1123–1124
7. 哈密顿, 威廉, Applications of Quaternions to Some Dynamical Questions, Proceedings of the Royal Irish Academy, 1847, 3: Appendix III
8. Fradkin, D. M., Existence of the Dynamic Symmetries O₄ and SU₃ for All Classical Central Potential Problems, Progress of Theoretical Physics, 1967, 37: 798–812
9. Yoshida, T, Two methods of generalisation of the Laplace–Runge–Lenz vector, European Journal of Physics, 1987, 8: 258–259
10. 赫尔曼, 雅各布, Unknown title, Giornale de Letterati D'Italia, 1710, 2: 447–467
    赫尔曼, 雅各布, Extrait d'une lettre de M. Herman à M. Bernoulli datée de Padoüe le 12. Juillet 1710, Histoire de l'academie royale des sciences (Paris), 1710, 1732: 519–521
11. 白努利, 约翰, Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman datée de Basle le 7. Octobre 1710, Histoire de l'academie royale des sciences (Paris), 1710, 1732: 521–544
12. 拉普拉斯, 皮埃尔-西蒙. Traité de mécanique celeste. 1799: Tome I, Premiere Partie, Livre II, pp.165ff.
13. 哈密顿, 威廉, The hodograph or a new method of expressing in symbolic language the Newtonian law of attraction, Proceedings of the Royal Irish Academy, 1847, 3: 344–353
14. 吉布斯, 约西亚; Wilson E. B. Vector Analysis. New York: Scribners. 1901: p. 135. 引文使用过时参数coauthors (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link)
15. 龙格, 卡尔. Vektoranalysis. Leipzig: Hirzel. 1919: Volume I.
16. 冷次, 威尔汉, Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung, Zeitschrift für Physik, 1924, 24: 197–207
17. Taff, L. G. Celestial Mechanics: A Computational Guide for the Practitioner. New York: John Wiley and Sons. 1985: 42–43.
18. Evans, N. W., Superintegrability in classical mechanics, Physical Review A, 1990, 41: 5666–5676
19. 索末菲, 阿诺. Atomic Structure and Spectral Lines. London: Methuen. 1923: 118.
20. 朗道, 列夫; Lifshitz E. M. Mechanics 3^rd edition. Pergamon Press. 1976: p. 154. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover). 引文使用过时参数coauthors (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link)
21. Evans, N. W., Group theory of the Smorodinsky–Winternitz system, Journal of Mathematical Physics, 1991, 32: 3369–3375
22. 爱因斯坦, 阿尔伯特, Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie, Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, 1915, 1915: 831–839
23. Le Verrier, Lettre de M. Le Verrier à M. Faye sur la Théorie de Mercure et sur le Mouvement du Périhélie de cette Planète, Comptes Rendus de l'Academie de Sciences (Paris), 1859, 49: 379–383
24. Will, C. M. General Relativity, an Einstein Century Survey SW Hawking and W Israel, eds. Cambridge: Cambridge University Press. 1979: Chapter 2.
25. 派斯, 亚伯拉罕. Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. Oxford University Press. 1982.
26. Roseveare, N. T. Mercury's Perihelion from Le Verrier to Einstein. Oxford University Press. 1982.
27. Bohm, A. Quantum Mechanics: Foundations and Applications 2^nd edition. Springer Verlag. 1986: 208–222. 引文格式1维护：冗余文本 (link)
28. 狄拉克, 保罗. Principles of Quantum Mechanics, 4th revised edition. Oxford University Press. 1958.
29. 薛丁格, 埃尔文, Quantisierung als Eigenwertproblem, Annalen der Physik, 1926, 384: 361–376
30. Prince, GE; Eliezer CJ, On the Lie symmetries of the classical Kepler problem, Journal of Physics A: Mathematical and General, 1981, 14: 587–596 引文使用过时参数coauthors (帮助)
31. Bander, M; Itzykson C, Group Theory and the Hydrogen Atom (I), Reviews of Modern Physics, 1966, 38: 330–345 引文使用过时参数coauthors (帮助)
32. Bander, M; Itzykson C, Group Theory and the Hydrogen Atom (II), Reviews of Modern Physics, 1966, 38: 346–358 引文使用过时参数coauthors (帮助)
33. Rogers, HH, Symmetry transformations of the classical Kepler problem, Journal of Mathematical Physics, 1973, 14: 1125–1129
34. Guillemin, V; Sternberg S. Variations on a Theme by Kepler. American Mathematical Society Colloquium Publications, volume 42. 1990. ISBN 0-8218-1042-1. 引文使用过时参数coauthors (帮助)
35. Lakshmanan, M; Hasegawa H, On the canonical equivalence of the Kepler problem in coordinate and momentum spaces, Journal of Physics A: L889–L893 引文使用过时参数coauthors (帮助)
36. Dulock, VA; McIntosh HV, On the Degeneracy of the Kepler Problem, Pacific Journal of Mathematics, 1966, 19: 39–55 引文使用过时参数coauthors (帮助)
37. Lévy-Leblond, JM, Conservation Laws for Gauge-Invariant Lagrangians in Classical Mechanics, American Journal of Physics, 1971, 39: 502–506
38. Gonzalez-Gascon, F, Notes on the symmetries of systems of differential equations, Journal of Mathematical Physics, 1977, 18: 1763–1767
39. 李, 索菲斯. Vorlesungen über Differentialgleichungen. Leipzig: Teubner. 1891.
40. Ince, EL. Ordinary Differential Equations. New York: Dover (1956 reprint). 1926: 93–113.
41. Redmond, P. J., Generalization of the Runge–Lenz Vector in the Presence of an Electric Field, Physical Review, 1964, 133: B1352–B1353

• Leach, P.G.L.; G.P. Flessas, Generalisations of the Laplace–Runge–Lenz vector, J. Nonlinear Math. Phys., 2003, 10: 340–423, arXiv:math-ph/0403028 引文使用过时参数coauthors (帮助)

外部链接

• 加利福尼亚大学河滨分校物理网页：Baez, John. Mysteries of the gravitational 2-body problem. [2008-01-12]. （原始内容存档于2008-10-21）.