双曲线

在数学中，双曲线（英语：hyperbola；希腊语：ὑπερβολή，意思是超过、超出）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。

它还可以定义为与两个固定的点（称为焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是${\displaystyle a}$的两倍，这里的${\displaystyle a}$是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。${\displaystyle a}$还称为双曲线的半实轴。焦点位于贯轴上，它们的中间点称为中心。

从代数上说，双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

使得${\displaystyle B^{2}>4AC}$，这里的所有系数都是实数，并存在定义在双曲线上的点对${\displaystyle (x,y)}$的多于一个的解。

在笛卡尔坐标平面上，两个互为倒数的变量的图像是双曲线。

定义

共轭单位直角双曲线

上面已经列出：

• 平面切直角圆锥面的两半的交截线。
• 与两个固定点（称为焦点）距离差为常数的点的轨迹。
• 到一个焦点的距离和到一条直线（称为准线）的距离的比例是大于${\displaystyle 1}$的常数的点的轨迹。这个常数称为双曲线的离心率。

双曲线由分开两个焦点的两个分离的称为臂或分支的曲线构成。随着到焦点的距离的变大，双曲线就越逼近称为渐近线的两条线。渐近线交叉于双曲线的中点，并对于东西开口的双曲线有斜率${\displaystyle \pm {\frac {b}{a}}}$，对于北南开口的双曲线有斜率${\displaystyle \pm {\frac {a}{b}}}$。

双曲线有个性质，出自一个焦点的射线反射于双曲线后看起来像是出自另一个焦点。

双曲线的一个特殊情况是“等轴”或“直角”双曲线，它的渐近线交于直角。以坐标轴作为渐近线的直角双曲线由方程${\displaystyle xy=c}$给出，这里的${\displaystyle c}$是常数。

如果对双曲线方程交换${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$，得到它的共轭双曲线。共轭双曲线有同样的渐近线。

笛卡尔坐标

中心位于${\displaystyle (h,k)}$的左右开口的双曲线：

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$

中心位于${\displaystyle (h,k)}$的上下开口的双曲线：

${\displaystyle {\frac {\left(y-k\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(x-h\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$

实轴贯穿双曲线的中心并交双曲线两臂于它们的顶点。焦点位于双曲线实轴的延长线上。虚轴贯穿双曲线中点并垂直于实轴。

在两个公式中，${\displaystyle a}$是半实轴（在双曲线两臂之间沿着实轴测量的距离），而${\displaystyle b}$是半虚轴。

如果用双曲线的两个顶点的切线交渐近线形成一个矩形，在切线上的两边的长度是${\displaystyle 2b}$，平行于实轴的两边的长度是${\displaystyle 2a}$，注意${\displaystyle b}$可以大于${\displaystyle a}$。

如果计算从双曲线上任意准线上的点到每个焦点的距离，这两个距离的差的绝对值总是${\displaystyle 2a}$。

直角双曲线${\displaystyle y={\tfrac {1}{x}}}$的图像。

离心率给出自：

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$

左右开口的双曲线的焦点是：${\displaystyle \left(h\pm c,k\right)}$，其中c给出自${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$。

上下开口的双曲线的焦点是：${\displaystyle \left(h,k\pm c\right)}$，其中c给出自${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$。

等轴双曲线

等轴双曲线的实轴与虚轴长相等，即${\displaystyle 2a=2b}$且${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$，此时渐近线方程为${\displaystyle y=\pm x}$（无论焦点在${\displaystyle x}$轴还是${\displaystyle y}$轴）。

单位双曲线属于等轴双曲线，且半实轴和半虚轴的长均为${\displaystyle 1}$，即${\displaystyle a=b=1}$，满足方程：

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$或${\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}$。

对于以直线${\displaystyle x=h}$和直线${\displaystyle y=k}$为渐近线的直角双曲线：

${\displaystyle (x-h)(y-k)=c}$

这种双曲线最简单的例子是：

${\displaystyle y={\frac {m}{x}}}$

共轭双曲线

当双曲线${\displaystyle S'}$的实轴是双曲线${\displaystyle S}$的虚轴，且双曲线${\displaystyle S'}$的虚轴是双曲线${\displaystyle S}$的实轴时，称双曲线${\displaystyle S'}$与双曲线${\displaystyle S}$为共轭双曲线。若${\displaystyle S}$的方程为

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

则${\displaystyle S'}$的方程为

${\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1.}$

其特点为：

1. 共渐近线，与渐近线平行的直线和双曲线有且只有一个交点。
2. 焦距相等。
3. 两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于${\displaystyle 1}$。

极坐标

左右开口的双曲线：

${\displaystyle r^{2}=a^{2}\sec {2}\theta }$

上下开口的双曲线：

${\displaystyle r^{2}=-a^{2}\sec {2}\theta }$

上右下左开口的双曲线：

${\displaystyle r^{2}=a^{2}\csc {2}\theta }$

上左下右开口的双曲线：

${\displaystyle r^{2}=-a^{2}\csc {2}\theta }$

在所有公式中，中心在极点，而${\displaystyle a}$是半实轴和半虚轴。

双曲线的参数方程

如同正弦和余弦函数给出椭圆的参数方程，双曲函数给出双曲线的参数方程。 左右开口的双曲线：

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\sec {t}+h\\y=b\tan {t}+k\\\end{cases}}}$

或

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\cosh {t}+h\\y=b\sinh {t}+k\\\end{cases}}}$

上下开口的双曲线：

${\displaystyle {\begin{cases}x=b\tan {t}+h\\y=a\sec {t}+k\\\end{cases}}}$

或

${\displaystyle {\begin{cases}x=b\sinh {t}+h\\y=a\cosh {t}+k\\\end{cases}}}$

在所有公式中，${\displaystyle (h,k)}$是双曲线的中点，${\displaystyle a}$是半实轴而${\displaystyle b}$是半虚轴。

双曲线的标准方程

焦点在${\displaystyle x}$轴：${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

焦点在${\displaystyle y}$轴：${\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1}$

双曲线的渐近线方程

焦线平行于${\displaystyle x}$轴：${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x}$

焦线平行于${\displaystyle y}$轴：${\displaystyle y=\pm {\frac {a}{b}}x}$

圆锥曲线方程

${\displaystyle \rho ={\frac {ep}{1+e\cos \theta }}}$

当${\displaystyle e>1}$时，表示双曲线。其中${\displaystyle p}$为焦点到准线距离，${\displaystyle \theta }$为弦与${\displaystyle x}$轴夹角。

参考文献

外部链接

• Unit hyperbola. PlanetMath.
• Conic section. PlanetMath.
• Conjugate hyperbola. PlanetMath.^{[失效链接]}
• Mathworld - Hyperbola（页面存档备份，存于互联网档案馆）

参见

• 圆锥曲线
• 双曲函数