三维球面

数学中，三维球面（英文常写作3-sphere）是球面在高维空间中的类比客体。它由四维欧几里得空间中与一固定中心点等距离的所有点所组成。寻常的球面（或者说二维球面）是一个二维表面，而三维球面是一个具有三个维度的几何客体，这样的几何客体都可以归类为三维流形（3-manifold）。

超球面（hypersphere）的平行线（parallels）（红色）、 子午线（meridians）（蓝色）以及超子午线（hypermeridians）（绿色）的立体投影法（Stereographic projection）。 因为立体投影法的共形特性，这些曲线彼此在交点上彼此正交（图中黄色点），如同在四维空间中一样。所有曲线都是圆；交会在<0,0,0,1>的曲线具有无限大的半径（亦即：直线）。

三维球面也称作超球面（hypersphere），虽然这个辞汇可以更广义地代表任何n维球面，而n ≥ 3。

定义

以座标表示，三维球面具有中心（C₀, C₁, C₂, C₃）及半径r 乃在R⁴符合条件

${\displaystyle \sum _{i=0}^{3}(x_{i}-C_{i})^{2}=(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}\,}$

的所有点的集合： （x₀, x₁, x₂, x₃）。

三维球面球心在原点，而半径是1的称为单位三维球面(unit 3-sphere)，常写作S³：

${\displaystyle S^{3}=\left\{(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{4}:x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}}$。

方便性上，常将R⁴另外以复数C²或四元数(quaternions)H等价表示。单位三维球面则可写为

${\displaystyle S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1\right\}}$

或

${\displaystyle S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H} :|q|=1\right\}}$。

最后一个表示法常是最有用的。其将三维球面描述为所有单位四元数（绝对值为1的四元数）的集合。正如同所有单位复数的集合在复数几何是重要的，所有单位四元数的集合在四元数几何中也是重要的。

外部链接

• （英文）埃里克·韦斯坦因. Hypersphere. MathWorld.

注意：此篇文章使用了n维空间的球面，称作n维球面（n-sphere）。