旋转群SO(3)

在经典力学与几何学里，所有环绕著三维欧几里得空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$的原点的旋转及旋转的复合组成的群称为三维旋转群^[1]，有时会用SO(3) 来表示。

本条目介绍的是三维空间中的旋转群SO(3)；关于更一般的SO(n)，参见特殊正交群。

关于原点的旋转是一个保持向量长度，保持空间取向（遵守右手定则或左手定则）的线性变换。两个旋转的复合是一个新的旋转。每一个旋转都有一个独特的逆旋转。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$上的恒等函数满足旋转的定义，可以作为群的单位元。旋转的复合运算满足结合律。由于符合上述四个要求，所有旋转的集合是一个群。

每一个非平凡的旋转可以由过原点的旋转轴及旋转角度给出。旋转的复合不满足交换律，因此三维旋转群是非阿贝尔群。

更多地，旋转群拥有一个天然的流形结构。对于这流形结构，旋转群的运算是光滑的；所以，它是一个李群。

旋转变换是从${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$到${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$的线性变换，因此选定${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$的基后，每一个旋转都可以由一个3乘3的矩阵表示。特别地，如果选定的是${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$上的一个标准正交基，那么每一个旋转都可以由一个行列式为1的3乘3的正交矩阵表示。所以SO(3)群可以由一个由行列式为1的正交矩阵及矩阵乘法组成的群表示。这些矩阵被称为特殊（行列式为1）(英语：special)正交(英语：orthgonal) 矩阵，这解释了为甚么我们用符号SO(3)来表示三维旋转群。

长度与角度

除了保持长度（保长），旋转也保持向量间的角度（保角）。原因是两向量u和v的内积可写作：

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ={\tfrac {1}{2}}\left(\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}-\|\mathbf {u} \|^{2}-\|\mathbf {v} \|^{2}\right).}$

R³中的保长转换保持了纯量内积值不变，也因此保持了向量间的角度。包括SO(3)在内的一般性情形，参见古典群。

正交矩阵与旋转矩阵

主条目：正交矩阵和旋转矩阵

每一个旋转会将一个${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$的标准正交基映射到另一个标准正交基。作为有限维向量空间上的线性变换，旋转变换可以由一个矩阵表示。令${\displaystyle R}$为给定的一个旋转。关于${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$的标准基${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$，${\displaystyle R}$的列为${\displaystyle (Re_{1},Re_{2},Re_{3})}$。由于标准基是标准正交的，${\displaystyle R}$亦保持向量间的角度和向量长度，${\displaystyle R}$的列将构成另一个标准正交基。标准正交的条件可以表示为

${\displaystyle R^{T}R=RR^{T}=I}$

其中${\displaystyle R^{T}}$为${\displaystyle R}$的转置，${\displaystyle I}$为3乘3的单位矩阵。满足此条件的矩阵称为正交矩阵。所有3乘3的正交矩阵构成的群记作O(3)，包含了所有取向的旋转。

除了保持长度不变，合适的旋转保持空间取向不变。一个行列式为正值的矩阵将保持空间取向不变，反之，一个行列式为负值的矩阵将反转空间取向。对于正交矩阵${\displaystyle R}$，${\displaystyle \det R^{T}=\det R}$暗示了${\displaystyle (\det R)^{2}=1}$，因此${\displaystyle \det R=\pm 1}$。行列式为1的正交矩阵组成的子群称为特殊正交子群，记作SO(3)。

因此所有旋转可以由一个具有单位行列式的正交矩阵唯一表示。更多地，因为旋转的复合与矩阵乘法相对应，所以三维旋转群与特殊正交群SO(3)同构。

瑕旋转对应行列式为-1的正交矩阵，它们不构成一个群，因为两个瑕旋转的复合是一个正规旋转（因为其行列式为1）。

群结构

旋转轴

主条目：轴角

三维空间中非平凡的旋转，皆绕著一个固定的“旋转轴”，此旋转轴是R³的特定一维线性子空间（参见：欧拉旋转定理）。旋转作用在与旋转轴正交的二维平面，如同寻常的二维旋转。既然二维旋转皆可以旋转角φ表示，则任意三维旋转则可用旋转轴搭配旋转角来表示。

举例来说，绕著正z轴旋转φ角的逆时针旋转为

${\displaystyle R_{z}(\varphi )={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

给定R³中一单位向量n以及角度φ，设R(φ, n)代表绕n轴作角度φ的逆时针旋转，则：

• R(0, n)为相等转换（identity transformation），n任意单位向量；
• R(φ, n) = R(−φ, −n)；
• R(π + φ, n) = R(π − φ, −n)。

利用这些特性，参数为旋转角φ（范围： 0 ≤ φ ≤ π）与单位向量n的任意旋转有如下性质：

• 若φ = 0，n可为任意单位向量；
• 若0 < φ < π，n为特定单位向量；
• 若φ = π，n为彼此反向的两特定单位向量；亦即，旋转R(π, ±n)是等价的。

有限子群

SO(3)中只有很少的几个有限子群，且它们全部是熟悉的对称群，包括有：

• C_k：绕一条直线转过角度2π/k的倍数的旋转的循环群
• D_k：正k边形的二面体群
• T：将正四面体映为自身的十二个旋转四面体群
• O：立方体或正八面体旋转的24阶八面体群
• I：正十二面体或正二十面体的60个旋转的二十面体群

相关条目

• 旋转
• 正交群
• 欧拉角
• 定向缠结
• 四元数与空间旋转
• 刚体
• 球谐函数

诠释

1. Jacobson (2009), p. 34, Ex. 14.

参考文献

Jacobson, Nathan, Basic algebra 1 2nd, Dover Publications, 2009, ISBN 978-0-486-47189-1