合数

在数论中，合数（也称为合成数）是除了1和其本身外具有其他正因数的正整数^[1][2]。依照定义，每一个大于1的整数若不是质数，就会是合数^[3][4]。而1则被认为不是质数，也不是合数。

用古氏积木排列出合数10的因数

合数（右侧红色部份）可以用长宽都不是1的长方形来表示，但质数（左侧蓝色部份）只能用其中一边长是1的长方形表示

例如，整数14是一个合数，因为它可以被分解成${\displaystyle 2\times 7}$。而整数2无法再找到本身和1以外的正因数，因此不是合数。

起初120个合数为： 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150, 152, 153, 154, 155, 156, 158, ...等等（OEIS数列A002808）。

每一个合数都可以写成二个或多个质数（不一定是相异质数）的乘积^[2]。例如，合数299可以写成13 × 23，合数360可以写成2³ × 3² × 5，而且若将质因数依大小排列后，此表示法是唯一的。这是算术基本定理^[5][6][7][8]。

有许多的素性测试可以在不进行因数分解的情形下，判断一数字是质数还是合数。

性质

• 所有大于2的偶数都是合数，也就是在正整数中除了2以外，其馀数的个位数为0、2、4、6、8者均为合数。4为最小的合数。
• 每一合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积。（算术基本定理）
• 所有合数都有至少3个正因数，例如4有正因数1、2、4，6有正因数1、2、3、6。
• 对任一大于5的合数${\displaystyle n}$，${\displaystyle (n-1)!\equiv 0{\pmod {n}}}$。（威尔逊定理）
• 对于任意的正整数${\displaystyle n}$，都可以找到一个正整数${\displaystyle x}$，使得${\displaystyle x}$、${\displaystyle x+1}$、${\displaystyle x+2}$、…、${\displaystyle x+n}$都是合数。

合数的类型

100以内的过剩数、本原过剩数、高过剩数、超过剩数、可罗萨里过剩数、高合成数、superior highly composite number（英语：superior highly composite）、奇异数和完全数的欧拉图，以及和亏数、合数的关系

分类合数的一种方法为计算其质因数的个数。一个可表示为两个质数之乘积的合数称为半质数，有三个质因数的合数则称为楔形数。在一些的应用中，亦可以将合数分为有奇数的质因数的合数及有偶数的质因数的合数。对于后者，

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x}=1}$

（其中μ为默比乌斯函数且${\displaystyle x}$为质因数个数的一半），而前者则为

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x+1}=-1}$

注意，对于质数，此函数会传回-1，且${\displaystyle \mu (1)=1}$。而对于有一个或多个重复质因数的数字${\displaystyle n}$，${\displaystyle \mu (n)=0}$。

另一种分类合数的方法为计算其正因数的个数。所有的合数都至少有三个正因数。一质数${\displaystyle p}$的平方，其正因数有${\displaystyle \{1,p,p^{2}\}}$。一数若有著比它小的整数都还多的正因数，则称此数为高合成数。另外，完全平方数的正因数个数为奇数个，而其他的合数则皆为偶数个。

还有一种将合数分类的方式，是检查其质因数是否都比特定数字大，或是比特定数字小。这些会称为光滑数或粗糙数。

脚注

1. Pettofrezzo & Byrkit (1970，第23–24页)
2. Long (1972，第16页)
3. Fraleigh (1976，第198,266页)
4. Herstein (1964，第106页)
5. Fraleigh (1976，第270页)
6. Long (1972，第44页)
7. McCoy (1968，第85页)
8. Pettofrezzo & Byrkit (1970，第53页)

参考文献

• Fraleigh, John B., A First Course In Abstract Algebra 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976, ISBN 0-201-01984-1
• Herstein, I. N., Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, 1964, ISBN 978-1114541016
• Long, Calvin T., Elementary Introduction to Number Theory 2nd, Lexington: D. C. Heath and Company, 1972, LCCN 77-171950
• McCoy, Neal H., Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, 1968, LCCN 68-15225
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R., Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1970, LCCN 77-81766

相关条目

• 质数
• 质因数
• 最小公倍数
• 最大公因数
• 整数分解
• 埃拉托斯特尼筛法
• 素因子表
• 高合成数