超过剩数

超过剩数（superabundant number，有时会简称SA）是指一正整数n，对于所有较小的正整数m，下式恒成立：

${\displaystyle {\frac {\sigma (m)}{m}}<{\frac {\sigma (n)}{n}}}$

其中σ为除数函数，是所有正因数（包括本身）的和。

头几个超过剩数为： 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, ... （OEIS数列A004394）.

超过剩数是莱昂尼达斯·Alaoglu（英语：Alaoglu）及保罗·艾狄胥在1944年定义的^[1]。不过早在1919年时拉马努金就有30页的论文《Highly Composite Numbers》有关此一主题，但当时没有发表，最后在1997年的拉马努金期刊（Ramanujan Journal） 1中出版（第119至153页），此论文的第59段定义了广义的高合成数，其中也包括了超过剩数。

性质

Alaoglu及保罗·艾狄胥证明若n为超过剩数，则存在i及a₁, a₂, ..., a_i使得下式成立^[1]：

${\displaystyle n=\prod _{l=1}^{i}(p_{l})^{a_{l}}}$

其中p_l为第l个质数，而且

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \dotsb \geq a_{i}.}$

换句话说，若n为超过剩数，n的因数分解的幂次会由前往后的递减，因数分解越前面的质因数越小，但其幂次会越大。

事实上，除了n为4或36的特例外，a_i（最大质因数的幂次）均为1。

超过剩数和高合成数之间有关，但不是所有的超过剩数都是高合成数。事实上只有 449个整数恰好超过剩数及高合成数。例如7560是高合成数，但不是超过剩数。Alaoglu及保罗·艾狄胥发现所有的超过剩数都是高过剩数，但不是所有的高过剩数都是超过剩数。也不是所有的超过剩数都是哈沙德数（可以被数字和整除的整数），第一个例外是第105个高过剩数149602080797769600，其数字和为81，但这个高过剩数无法被81整除。

超过剩数受人注意的另一原因是和黎曼猜想有关，根据罗宾定理，黎曼猜想等价于以下的式子：

${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{e^{\gamma }n\log \log n}}<1}$

针对所有大于已知最大例外值的正整数n，而已知最大例外值为超过剩数5040，若存在另外一些较大的数使得黎曼猜想不成立，则这些反例的最小值一定是另一个超过剩数^[2]。

参考资料

1. Alaoglu, Leonidas; Erdős, Paul, On highly composite and similar numbers, Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society), 1944, 56 (3): 448–469, JSTOR 1990319, doi:10.2307/1990319.
2. 　 Akbary, Amir; Friggstad, Zachary, Superabundant numbers and the Riemann hypothesis, American Mathematical Monthly, 2009, 116 (3): 273–275, doi:10.4169/193009709X470128

外部链接

• MathWorld: Superabundant number （页面存档备份，存于互联网档案馆）