本原过剩数

本原过剩数（Primitive abundant number）也称为本原丰数，为一数学用语，是指一个整数本身为过剩数，而其真因数（小于本身的因数）均为亏数^[1][2]。过剩数及完全数的倍数都会是过剩数，因此本原过剩数可视为除了过剩数及完全数的倍数之外的过剩数。

例如，数字20因为有以下的性质，因此是本原过剩数：

1. 其真因数的和为1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22，大于20，因此20为过剩数。
2. 其真因数1, 2, 4, 5, 10的真因数和分别是0, 1, 3, 1, 8，因此其真因数均为亏数。

头几个本原过剩数为：

20, 70, 88, 104, 272, 304, 368, 464, 550, 572 ... （OEIS数列A071395）

奇数的本原过剩数中，最小的是945。

性质

• 所有本原过剩数的倍数均为过剩数。
• 所有过剩数都是本原过剩数或是完全数的倍数。
• 本原过剩数共有无限多个。
• 小于等于n的本原过剩数个数为${\displaystyle O\left({\frac {n}{\log ^{2}(n)}}\right)\,}$^[3]。

参考资料

1. Weisstein, Eric W. (编). Primitive Abundant Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
2. Erdős有另外一个本原过剩数的定义，允许完全数也可视为本原丰数，此定义下本原过剩数不一定是过剩数，但确定不会是亏数（Erdős, Surányi and Guiduli. Topics in the Theory of Numbers p214. Springer 2003.）
3. Paul Erdős, Journal of the London Mathematical Society 9 (1934) 278–282.