等面图形

在几何学中，等面或称面可递是指所有面都全等的几何图形。若称面可递时，除了所有面都要全等外，其对称性要是可以在面上传递的，即所有的面必须位于相同的对称轨道内。 换句话说，对于同个几何体上任何两个面A和B，透过平移、旋转或镜射这个几何体将A变换到B时，其仍占有相同的空间区域。因此，公正的骰子皆适合制作成凸等面多面体的形状。^[1]

等面的骰子

具备等面特性的多面体通常称为等面多面体。它们可以透过其面的布局（英语：face configuration）来描述。若一等面多面体同时具有边可递（等边）的特性，则这个多面体是拟正多面体的对偶多面体。一些理论数学家认为这类几何体是真正的拟正立体，因为它们具有相同的对称性，但这并不被普遍接受。此外，所有等面多面体都具有偶数的面数。^[2]

等面多面体的对偶多面体会具有点可递（等角）的特性^[3]。卡塔兰立体、正双锥体和正偏方面体等均匀多面体对偶都是等面图形^[4]，其分别为等角阿基米德体、柱体和反柱体的对偶多体。自身对偶的帕雷托立体或对偶多面体是另一个帕雷托立体的帕雷托立体是顶点、面和边皆可递（等角、等边和等面）的多面体。同时具备等面和等角的多面体称为稀有多面体^[5]。

并非所有等环多面体（isozonohedra）^[6]都具有面可递特性。^[7]例如菱形二十面体是等环多面体但不具有面可递特性。^[8]

例子

凸			非凸
双六角锥，面的布局（英语：face configuration）为V4.4.6，是非正多面体具有等面特性的例子	等面开罗五边形镶嵌，面的布局（英语：face configuration）为V3.3.4.3.4	菱形十二面体堆砌是一个等面且等胞的空间填充几何体例子。	拓扑方形镶嵌扭曲成螺旋H形状。

按对称分类的等面图形类别

面数	面的 布局 （英语：Face configuration）	类别	名称	对称性	阶数	凸	共面	非凸
4	V33	帕雷托立体	正四面体 四角锲形体（英语：Tetragonal disphenoid） 菱形锲形体（英语：Rhombic disphenoid）	Td, [3,3], (*332) D2d, [2+,2], (2*) D2, [2,2]+, (222)	24 4 4 4
6	V34	帕雷托立体	立方体 三方偏方面体 不对称三方偏方面体	Oh, [4,3], (*432) D3d, [2+,6] (2*3) D3 [2,3]+, (223)	48 12 12 6
8	V43	帕雷托立体	正八面体 双四角锥 双菱形锥 四角偏三角面体	Oh, [4,3], (*432) D4h,[2,4],(*224) D2h,[2,2],(*222) D2d,[2+,4],(2*2)	48 16 8 8
12	V35	帕雷托立体	正十二面体 五角十二面体 五角三四面体	Ih, [5,3], (*532) Th, [3+,4], (3*2) T, [3,3]+, (*332)	120 24 12
20	V53	帕雷托立体	正二十面体	Ih, [5,3], (*532)	120
12	V3.62	卡塔兰立体	三角化四面体	Td, [3,3], (*332)	24
12	V(3.4)2	卡塔兰立体	菱形十二面体 鸢形十二面体	Oh, [4,3], (*432) Td, [3,3], (*332)	48 24
24	V3.82	卡塔兰立体	三角化八面体	Oh, [4,3], (*432)	48
24	V4.62	卡塔兰立体	四角化立方体	Oh, [4,3], (*432)	48
24	V3.43	卡塔兰立体	筝形二十四面体	Oh, [4,3], (*432)	48
48	V4.6.8	卡塔兰立体	四角化菱形十二面体	Oh, [4,3], (*432)	48
24	V34.4	卡塔兰立体	五角二十四面体	O, [4,3]+, (432)	24
30	V(3.5)2	卡塔兰立体	菱形三十面体	Ih, [5,3], (*532)	120
60	V3.102	卡塔兰立体	三角化二十面体	Ih, [5,3], (*532)	120
60	V5.62	卡塔兰立体	五角化十二面体	Ih, [5,3], (*532)	120
60	V3.4.5.4	卡塔兰立体	筝形六十面体	Ih, [5,3], (*532)	120
120	V4.6.10	卡塔兰立体	四角化菱形三十面体	Ih, [5,3], (*532)	120
60	V34.5	卡塔兰立体	五角六十面体	I, [5,3]+, (532)	60
2n	V33.n	极性	偏方面体 不对称偏方面体	Dnd, [2+,2n], (2*n) Dn, [2,n]+, (22n)	4n 2n
2n 4n	V42.n V42.2n V42.2n	极性	正双n角锥 等边双2n角锥 2n角偏三角面体	Dnh, [2,n], (*22n) Dnh, [2,n], (*22n) Dnd, [2+,2n], (2*n)	4n

k-等面图形

若一多面体（或更广义的多胞形）在其对称性基本域内包含k个面，则称这个几何结构为k-等面图形。^[9]

类似地，k-等面镶嵌图具有k个单独的对称轨道（对于某些m < k的情况，可能包含m个不同形状的面）。^[10]:35

单一面多面体或单一面镶嵌图（m = 1）所有的面都全等。这些面不管是原本的面还是镜射后的面，会出现在一个或多个对称位置上。^[11]:20,23

以下是一些k-等面多面体和k-等面镶嵌图的示例，其面的颜色是根据其k个对称位置上色：

3-等面	4-等面	等面	2-等面
两种正多边形面的多面体		单一面多面体
小斜方截半立方体具有一种三角形面和两种不同对称位置的正方形面	异相双四角台塔柱具有一种三角形面和三种不同对称位置的正方形面	筝形二十四面体仅有一种类型的面	伪筝形二十四面体（罗马尼亚语：Icositetraedru pseudoromboidal）具有两种不同对称位置的但相同形状的面

2-等面	4-等面	等面	3-等面
两种正多边形面的镶嵌图		单一面镶嵌图（英语：Monohedral tiling）
毕氏镶嵌（英语：Pythagorean tiling）具有两种不同尺寸的正方形	3-均匀镶嵌（英语：k-uniform tiling）具有3种不同对称位置的但相同形状的三角形面和一种正方形面	鲱鱼骨图案（英语：Herringbone pattern）具有一种矩形面	五边形镶嵌具有3种不同对称位置的但相同形状的五边形面

相关概念

等胞图形

等胞或称胞可递是指所有胞都全等的几何结构。若称胞可递时，除了所有胞都要全等外，其对称性要是可以在胞上传递的，即所有的胞必须位于相同的对称轨道内。 换句话说，对于同个几何体上任何两个胞A和B，透过平移、旋转或镜射这个几何体将A变换到B时，其仍占有相同的空间区域。

等胞图形仅出现在三维堆砌体和四维以及四维以上的几何体，用来表示这个几何体的三维元素全部都全等。在三维空间中，反射堆砌体（英语：Architectonic and catoptric tessellation）和均匀堆砌体的对偶都是等胞图形。四维空间中已知有多达20个胞的等胞图形。^[12]

菱形十二面体堆砌是一个等胞的堆砌体，其由全等的菱形十二面体堆砌而成。

三角三角柱体柱（英语：3-3_duoprism）是一个等胞的四维多胞体，其由6个全等的三角柱构成。

等维面图形

等维面或称维面可递是指所有维面（n维几何体中的n-1维元素）都全等的几何图形。若称维面可递时，除了所有维面都要全等外，其对称性要是可以在维面上传递的。等维面图形的对偶都是等角图形。根据定义，均匀多胞形的对偶会具有此特性。

• 等维面的二维图形是等边的（边可递）
• 等维面的三维图形是等面的（面可递）
• 等维面的四维图形是等胞的（胞可递）

参考文献

1. McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822, doi:10.2307/3619822.
2. Grünbaum, B. On Polyhedra in ${\displaystyle E^{3}}$ Having All Faces Congruent. Bull. Research Council Israel. 1960, 8F: 215–218.
3. Weisstein, Eric W. (编). Dual Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
4. Weisstein, Eric W. (编). Isohedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
5. Klitzing, Richard. Noble Polytopes. bendwavy.org. [2021-10-12]. （原始内容存档于2021-08-09）.
6. Weisstein, Eric W. (编). Isozonohedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2019-12-26]. （原始内容存档于2022-02-12） （英语）.
7. Weisstein, Eric W. (编). Isohedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2019-12-21]. （原始内容存档于2022-11-05） （英语）.
8. Weisstein, Eric W. (编). Rhombic Icosahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2019-12-21]. （原始内容存档于2022-02-12） （英语）.
9. Socolar, Joshua E. S. Hexagonal Parquet Tilings: k-Isohedral Monotiles with Arbitrarily Large k (corrected PDF). The Mathematical Intelligencer. 2007, 29: 33–38 [2007-09-09]. S2CID 119365079. arXiv:0708.2663 . doi:10.1007/bf02986203. （原始内容存档 (PDF)于2016-03-03）.
10. Kaplan, C.S. Introductory Tiling Theory for Computer Graphics. Synthesis lectures in computer graphics and animation. Morgan & Claypool Publishers. 2009 [2022-07-12]. ISBN 9781608450176. （原始内容存档于2022-07-14）.
11. Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. Tilings and Patterns. W. H. Freeman. 1987. ISBN 978-0-7167-1193-3. 含有内容需登入查看的页面 (link)
12. Four Dimensional Dice Up To Twenty Sides. polytope.net. （原始内容存档于2022-02-08）.