磁矢势 ，又称磁位 、磁势 （Magnetic vector potential
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
旋度 是磁场 ，以方程表示
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
提示 ：此条目页的主题不是
磁标势 。
其中，
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
磁场 。
直观而言，磁矢势似乎不及磁场来得“自然”、“基本”，而在一般电磁学教科书亦多以磁场来定义磁矢势。在电磁学发展初期，很多学者认为磁矢势对于给定介质状态并没有实际物理意义[ 1] [ 2] 詹姆斯·麦克斯韦 颇不以为然，他认为磁矢势可以诠释为“每单位电荷储存的动量”，就好像电势 被诠释为“每单位电荷储存的能量”[ 3] 稍后 会有更详尽解释。
磁矢势并不是唯一定义的；其数值是相对的，相对于某设定数值。因此，学者会疑问到底储存了多少动量？不论如何，磁矢势确实具有实际意义。尤其是在量子力学 里，于1959年，阿哈诺夫－波姆效应 阐明，假设一个带电粒子移动经过某零电场、零磁场、非零磁矢势场区域，则此带电粒子的波函数 相位 会有所改变，因而导致可观测到的干涉 现象[ 4] [ 5] [ 6] 经典电磁学 里，磁矢势也具有明确的意义和直接的测量值[ 7]
磁矢势与电势 可以共同用来设定电场 与磁场。许多电磁学 的方程可以以电场与磁场写出，或者以磁矢势与电势写出。较高深的理论，像量子力学理论，偏好使用的是磁矢势与电势，而不是电场与磁场。因为，在这些学术领域里所使用的拉格朗日量 或哈密顿量 ，都是以磁矢势与电势 表达，而不是以电场与磁场表达。
开尔文男爵 最先于1851年引入磁矢势的概念，并且给定磁矢势与磁场之间的关系。[ 8]
根据高斯磁定律 ，磁场是螺线向量场 ；在空间里任意位置，磁场的散度 等于零：
∇
⋅
B
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}
那么，根据亥姆霍兹定理 （Helmholtz theorem ） ，必定存在一个极向量场 （poloidal vector field ）
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
(1) 因此，假设
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
良好定义 的，则磁单极子 绝对不存在。
又根据安培定律 ，
∇
×
B
=
μ
0
J
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
其中，
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}}
磁常数 ，
J
{\displaystyle \mathbf {J} }
电流密度 。
应用一则向量恒等式 ，再采用库仑规范 （Coulomb gauge ），
∇
⋅
A
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}
∇
×
B
=
∇
×
(
∇
×
A
)
=
∇
(
∇
⋅
A
)
−
∇
2
A
=
−
∇
2
A
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A} =-\nabla ^{2}\mathbf {A} }
所以，从安培定律 可以推导出电流的帕松方程 ：
∇
2
A
=
−
μ
0
J
{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} }
这帕松方程的解为
A
(
r
)
=
μ
0
4
π
∭
V
′
J
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
其中，
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
V
′
{\displaystyle \mathbb {V} '}
d
3
r
′
{\displaystyle d^{3}\mathbf {r} '}
根据法拉第感应定律 ，
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
=
−
∂
∂
t
(
∇
×
A
)
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {A} )}
其中，
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
电场 。
重新编排，
∇
×
(
E
+
∂
A
∂
t
)
=
0
{\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=0}
所以，在圆括弧内的表达式具有保守性 ，是某函数
ϕ
{\displaystyle \phi }
梯度 ：
E
+
∂
A
∂
t
=
−
∇
ϕ
{\displaystyle \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-\nabla \phi }
设定
ϕ
{\displaystyle \phi }
E
=
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
(2) 在电动力学和量子力学里，采用拉格朗日表述 ，拉格朗日量 会用到磁矢势
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
[ 注 1] 泡利方程 、拉格朗日量 。
采用国际标准制 ，磁矢势的单位为伏特 ·秒／米（volt·second·meter−1 ）。
在电动力学 的上下文里，术语矢势 和标势 分别指的是磁矢势与电势。在数学 里，这两个术语有更广义的意义。
上述定义并不能唯一地设定磁矢势，因为，添加任意无旋矢量
∇
λ
{\displaystyle \nabla \lambda }
B
=
∇
×
A
=
∇
×
(
A
+
∇
λ
)
{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} =\nabla \times (\mathbf {A} +\nabla \lambda )}
因此，磁矢势有一个选择的自由度 。这状况称为规范不变性 。
根据高斯定律 ，
∇
⋅
E
=
ρ
/
ϵ
0
{\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {E}}=\rho /\epsilon _{0}}
其中，
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
电常数 。
将方程(2)代入，采用库仑规范，
∇
⋅
A
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {A}}=0}
∇
⋅
E
=
−
∇
2
ϕ
−
∂
(
∇
⋅
A
)
∂
t
=
−
∇
2
ϕ
{\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {E}}=-\nabla ^{2}\phi -{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {A} )}{\partial t}}=-\nabla ^{2}\phi }
根据麦克斯韦-安培定律 ，
∇
×
B
=
μ
0
J
+
μ
0
ϵ
0
∂
E
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}
将方程(1)、(2)代入，可以得到
∇
×
(
∇
×
A
)
=
μ
0
J
−
μ
0
ϵ
0
[
∇
(
∂
ϕ
∂
t
)
+
∂
2
A
∂
t
2
]
{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\mu _{0}\mathbf {J} -\mu _{0}\epsilon _{0}\left[\nabla \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right]}
所以，麦克斯韦方程组 可以写为
∇
2
ϕ
=
−
ρ
/
ϵ
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\phi =-\rho /\epsilon _{0}}
∇
2
A
−
μ
0
ϵ
0
∂
2
A
∂
t
2
=
−
μ
0
J
+
μ
0
ϵ
0
∇
(
∂
ϕ
∂
t
)
{\displaystyle \nabla ^{2}{\textbf {A}}-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\textbf {A}}}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}{\textbf {J}}+\mu _{0}\epsilon _{0}\nabla \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}
库仑规范的优点是，很容易就可以计算出电势，但计算磁矢势比较困难。
在解析狭义相对论 问题时，很自然而然地会将磁矢势与电势连结在一起，成为电磁四维势。这样做法主要基于三个动机：
第一、电磁四维势乃是一个四维向量。使用标准四维向量变换规则，假若知道在某惯性参考系 的电磁四维势，很容易就可以计算出在其它惯性参考系的数值。
第二、经典电磁学 的内容可以更简要、更便利地以电磁四维势表达，特别是当采用洛伦茨规范 时。
第三、电磁四维势在量子电动力学 里占有重要的角色。 电磁四维势定义为
A
α
=
d
e
f
(
ϕ
/
c
,
A
)
{\displaystyle A^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,\mathbf {A} )}
洛伦茨规范以抽象指标记号 表示为
∂
α
A
α
=
0
{\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0}
其中，
∂
α
=
d
e
f
∂
∂
x
α
=
d
e
f
(
∂
c
∂
t
,
∂
∂
x
1
,
∂
∂
x
2
,
∂
∂
x
3
)
{\displaystyle \partial _{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {\partial }{c\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\right)}
反变矢量 的偏微分。
麦克斯韦方程组写为
◻
A
α
=
−
μ
0
J
α
{\displaystyle \Box A^{\alpha }=-\mu _{0}J^{\alpha }}
其中，
J
α
=
d
e
f
(
ρ
c
,
j
)
{\displaystyle J^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\rho c,\,\mathbf {j} )}
四维电流密度 。
前面谈到电势和磁矢势分别诠释为每单位电荷储存能量和每单位电荷储存动量。这可以从它们的四维矢量 观察出来。思考四维动量 ，它是由能量
E
{\displaystyle E}
动量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
P
α
=
(
E
c
,
p
)
{\displaystyle P^{\alpha }=\left({\frac {E}{c}},\,\mathbf {p} \right)}
改变观测的参考系，四维动量的四个分量会有对应的改变，电磁四维势也会有类似的改变。假若，电磁四维势的电势可以诠释为每单位电荷储存能量，那么，电磁四维势的磁矢势应该也有足够的理由诠释为每单位电荷储存动量。
给予在源位置
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
对于静态的电荷分布和电流分布，电势
ϕ
(
r
)
{\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}
磁矢势
A
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )}
ϕ
(
r
)
=
d
e
f
1
4
π
ϵ
0
∫
V
′
ρ
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
{\displaystyle \phi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
A
(
r
)
=
d
e
f
μ
0
4
π
∫
V
′
J
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
其中，
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
在电动力学 里，这两个方程必须加以延伸，才能正确地响应含时电流 分布或含时电荷 分布。定义推迟时间
t
r
{\displaystyle t_{r}}
t
{\displaystyle t}
电磁波 传播的时间：
t
r
=
d
e
f
t
−
|
r
−
r
′
|
c
{\displaystyle t_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}
其中，
c
{\displaystyle c}
光速 。
假设，从源位置
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
t
{\displaystyle t}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
t
r
{\displaystyle t_{r}}
电磁波 传播于真空 的速度是有限的，观测者检验到电磁波的检验时间
t
{\displaystyle t}
t
r
{\displaystyle t_{r}}
推迟标势
ϕ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,\,t)}
推迟矢势
A
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)}
ϕ
(
r
,
t
)
=
d
e
f
1
4
π
ϵ
0
∫
V
′
ρ
(
r
′
,
t
r
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
{\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
A
(
r
,
t
)
=
d
e
f
μ
0
4
π
∫
V
′
J
(
r
′
,
t
r
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
请注意，在这两个含时方程内，源电荷密度和源电流密度都跟推迟时间
t
r
{\displaystyle t_{r}}
这两个含时方程，是用推理得到的启发式 ，而不是用任何定律 或公理 推导出来的。由于讯号以光速传播，从源位置到场位置，需要有限时间，所以在时间
t
{\displaystyle t}
t
r
{\displaystyle t_{r}}
非齐次的电磁波方程 [ 9]
麦可·法拉第 最先提出电紧张态 的概念。在研究电磁感应理论时，他发现当将物体放在磁铁或电流的附近时，物体会进入一种状态。假若不打扰这系统，则处于此状态的物体不会自发地显示出任何现象。但是，一当系统有所变化，像磁铁被移动了，或电流被增大了，则这状态也会改变，因而产生电流或趋向产生电流。法拉第称此状态为“电紧张态”（electrontonic state）。但是，这概念并没有被很明确地说明。[ 11] [ 12]
后来，开尔文男爵 于1851年引入磁矢势 的概念，并且给定磁矢势与磁场之间的关系：[ 11]
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
在论文《论法拉第力线》的后半部分，麦克斯韦开始仔细分析电紧张态的物理性质。他给出一条重要定律：作用于一个导体的微小元素的电场 ，可以由该微小元素的电紧张态对于时间的导数来量度。[ 13]
E
=
−
A
˙
{\displaystyle \mathbf {E} =-{\dot {\mathbf {A} }}}
这是麦克斯韦学术生涯中的第一个重要突破，他将法拉第的电紧张态辨识为开尔文男爵 的磁矢势，并且对于电紧张态给出严格定义。[ 11]
对于电紧张态的定义式取旋度，则可得到法拉第感应方程 ：
∇
×
E
=
−
B
˙
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\dot {\mathbf {B} }}}
麦克斯韦在他的论文里特别提出，开尔文男爵 于1851年发现的关于磁矢势的数学性质，[ 14] :198-199 即任意添加一个函数的梯度 给磁矢势，都不会改变磁矢势与磁场的关系式、法拉第感应方程 ，这数学性质后来演化为现今规范自由 的概念。[ 11]
提示：此条目页的主题不是磁标势。
![{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\mu _{0}\mathbf {J} -\mu _{0}\epsilon _{0}\left[\nabla \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b43c43a17f88b49fb2f28b008d3bc3485613a4)
