路易·德布罗意 埃尔温·薛定谔 在1920年代与1930年代，理论量子物理学者大致分为两个阵营。第一个阵营的成员主要为路易·德布罗意 和埃尔温·薛定谔 等等，他们使用的数学工具是微积分 ，他们共同创建了波动力学 。第二个阵营的成员主要为维尔纳·海森堡 和马克斯·玻恩 等等，使用线性代数 ，他们建立了矩阵力学 。后来，薛定谔证明这两种方法完全等价。[ 2] :606–609
德布罗意于1924年提出的德布罗意假说 表明，每一种微观粒子都具有波粒二象性 。电子 也不例外，具有这种性质。电子是一种波动，是电子波。电子的能量与动量分别决定了它的物质波 频率与波数。既然粒子具有波粒二象性，应该会有一种能够正确描述这种量子特性的波动方程 ，这点子给予埃尔温·薛定谔 极大的启示，他因此开始寻找这波动方程。薛定谔参考威廉·哈密顿 先前关于牛顿力学 与光学 之间的类比这方面的研究，在其中隐藏了一个奥妙的发现，即在零波长 极限，物理光学 趋向于几何光学 ；也就是说，光波的轨道趋向于明确的路径，而这路径遵守最小作用量原理 。哈密顿认为，在零波长极限，波传播 趋向于明确的运动，但他并没有给出一个具体方程来描述这波动行为，而薛定谔给出了这方程。他从哈密顿-雅可比方程 成功地推导出薛定谔方程。[ 3] :207 他又用自己设计的方程来计算氢原子 的谱线 ，得到的答案与用玻尔模型 计算出的答案相同。他将这波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文，1926年，正式发表于物理学界[ 4] [ 5] :163-167 。从此，量子力学有了一个崭新的理论平台。
薛定谔给出的薛定谔方程能够正确地描述波函数的量子行为。那时，物理学者尚未能解释波函数的涵义，薛定谔尝试用波函数来代表电荷的密度，但遭到失败。1926年，玻恩提出概率幅 的概念，成功地解释了波函数的物理意义[ 3] :219-220 。可是，薛定谔本人不赞同这种统计 或概率 方法，和它所伴随的非连续性波函数坍缩 ，如同爱因斯坦认为量子力学只是个决定性理论 的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释 。在他有生最后一年，他写给玻恩的一封信内，薛定谔清楚地表明了这意见。[ 3] :479
1927年，道格拉斯·哈特里 与弗拉基米尔·福克 在对于多体 波函数的研究踏出了第一步，他们发展出哈特里－福克方程 来近似方程的解。这计算方法最先由哈特里提出，后来福克将之加以改善，能够符合泡利不相容原理的要求。[ 6] :344-345
薛定谔方程不具有洛伦兹不变性 ，无法准确给出符合相对论的结果。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程，并且描述电子的相对论性量子行为。但是这方程给出的精细结构不符合阿诺·索末菲 的结果，又会给出违背量子力学的负概率和怪异的负能量现象，他只好将这相对论性部分暂时搁置一旁，先行发表前面提到的非相对论性部分。[ 3] :196-197 [ 7] :3
1926年，奥斯卡·克莱因 和沃尔特·戈尔登 将电磁相对作用 纳入考量，独立地给出薛定谔先前推导出的相对论性部分，并且证明其具有洛伦兹不变性。这方程后来称为克莱因-戈尔登方程 。[ 7] :3
1928年，保罗·狄拉克 最先成功地统一了狭义相对论 与量子力学，他推导出狄拉克方程 ，适用于电子等等自旋 为1/2的粒子。这方程的波函数是一个旋量 ，拥有自旋性质。[ 5] :167
在一维无限深方形阱 内，粒子的能级与对应的波函数。 在一维无限深方形阱内，找到能级为
n
{\displaystyle n}
假设一个自旋为零的粒子移动于一维空间。这粒子的量子态以波函数表示为
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,t)}
x
{\displaystyle x}
t
{\displaystyle t}
复值 函数。测量粒子位置所得到的结果不是决定性的，而是概率性的。粒子的位置
x
{\displaystyle x}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
a
≤
x
≤
b
{\displaystyle a\leq x\leq b}
概率
P
a
≤
x
≤
b
{\displaystyle P_{a\leq x\leq b}}
P
a
≤
x
≤
b
=
∫
a
b
|
Ψ
(
x
,
t
)
|
2
d
x
{\displaystyle P_{a\leq x\leq b}=\int _{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}\mathrm {d} x}
其中，
t
{\displaystyle t}
换句话说，
|
Ψ
(
x
,
t
)
|
2
{\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}}
x
{\displaystyle x}
t
{\displaystyle t}
这导致归一化条件：在位置空间的任意位置找到粒子的概率为100%：
∫
−
∞
∞
|
Ψ
(
x
,
t
)
|
2
d
x
=
1
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}\mathrm {d} x=1}
在动量空间，粒子的波函数表示为
Φ
(
p
,
t
)
{\displaystyle \Phi (p,t)}
p
{\displaystyle p}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
p
{\displaystyle p}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
a
≤
p
≤
b
{\displaystyle a\leq p\leq b}
P
a
≤
p
≤
b
=
∫
a
b
|
Φ
(
p
,
t
)
|
2
d
p
{\displaystyle P_{a\leq p\leq b}=\int _{a}^{b}\,|\Phi (p,t)|^{2}\mathrm {d} p}
动量空间波函数的归一化条件也类似：
∫
−
∞
∞
|
Φ
(
p
,
t
)
|
2
d
p
=
1
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,\left|\Phi (p,t)\right|^{2}\mathrm {d} p=1}
本图展示一维零自旋自由粒子 的波函数范例，左边是位置空间波函数
Ψ
(
x
)
{\displaystyle \Psi (x)}
|
Ψ
(
x
)
|
2
{\displaystyle |\Psi (x)|^{2}}
Φ
(
p
)
{\displaystyle \Phi (p)}
|
Φ
(
p
)
|
2
{\displaystyle |\Phi (p)|^{2}}
x
{\displaystyle x}
x -轴的某动量
p
{\displaystyle p}
x
{\displaystyle x}
p
{\displaystyle p}
位置空间波函数与动量空间波函数彼此是对方的傅里叶变换 。他们各自拥有的信息相同，任何一种波函数都可以用来计算粒子的相关性质。两种波函数之间的关系为[ 8] :108
Φ
(
p
,
t
)
=
1
2
π
ℏ
∫
−
∞
∞
e
−
i
p
x
/
ℏ
Ψ
(
x
,
t
)
d
x
{\displaystyle \Phi (p,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{-ipx/\hbar }\Psi (x,t)\mathrm {d} x}
Ψ
(
x
,
t
)
=
1
2
π
ℏ
∫
−
∞
∞
e
i
p
x
/
ℏ
Φ
(
p
,
t
)
d
p
{\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{ipx/\hbar }\Phi (p,t)\mathrm {d} p}
量子力学中体系的态实际上由一个希尔伯特空间里的
|
J
(
t
)
⟩
{\displaystyle |{\mathfrak {J}}(t)\rangle }
[ 9]
波函数
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,t)}
|
J
(
t
)
⟩
{\displaystyle |{\mathfrak {J}}(t)\rangle }
x
{\displaystyle x}
Ψ
(
x
,
t
)
=
⟨
x
∣
J
(
t
)
⟩
,
{\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\mid {\mathfrak {J}}(t)\rangle ,}
（这里基矢量
|
x
⟩
{\displaystyle |x\rangle }
x
{\displaystyle x}
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
[ 9]
动量空间波函数
Φ
=
(
p
,
t
)
{\displaystyle \Phi =(p,t)}
|
J
(
t
)
⟩
{\displaystyle |{\mathfrak {J}}(t)\rangle }
Φ
(
p
,
t
)
=
⟨
p
∣
ℑ
(
t
)
⟩
{\displaystyle \Phi (p,t)=\langle p\mid {\mathfrak {\Im }}(t)\rangle }
（这里基矢量
|
p
⟩
{\displaystyle |p\rangle }
p
{\displaystyle p}
p
^
{\displaystyle {\hat {p}}}
[ 9] [ 注 3]
我们也可以把
|
F
(
t
)
⟩
{\displaystyle |{\mathfrak {F}}(t)\rangle }
c
n
(
t
)
=
⟨
n
∣
ℑ
(
t
)
⟩
{\displaystyle c_{n}(t)=\langle n\mid {\mathfrak {\Im }}(t)\rangle }
（这里基矢量
|
n
⟩
{\displaystyle |n\rangle }
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
n
{\displaystyle n}
c
n
=
⟨
f
n
∣
Ψ
⟩
=
∫
f
n
(
x
)
∗
Ψ
(
x
,
t
)
d
x
{\displaystyle c_{n}=\left\langle f_{n}\mid \Psi \right\rangle =\int f_{n}(x)^{*}\Psi (x,t)\mathrm {d} x}
[ 9]
波函数
Ψ
{\displaystyle \Psi }
Φ
{\displaystyle \Phi }
{
c
n
}
{\displaystyle \left\{c_{n}\right\}}
[ 9]
|
J
(
t
)
⟩
→
∫
Ψ
(
y
,
t
)
δ
(
x
−
y
)
d
y
=
∫
Φ
(
p
,
t
)
1
2
π
ℏ
e
i
p
x
/
ℏ
d
p
=
∑
c
n
e
−
i
E
n
t
/
ℏ
ψ
n
(
x
)
{\displaystyle |{\mathfrak {J}}(t)\rangle \rightarrow \int \Psi (y,t)\delta (x-y)dy=\int \Phi (p,t){\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{ipx/\hbar }dp=\sum c_{n}e^{-iE_{n}t/\hbar }\psi _{n}(x)}
在一维空间里，运动于位势
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
含时薛定谔方程
−
ℏ
2
2
m
∂
2
∂
x
2
Ψ
(
x
,
t
)
+
V
(
x
)
Ψ
(
x
,
t
)
=
i
ℏ
∂
∂
t
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)}
其中，
m
{\displaystyle m}
质量 ，
ℏ
{\displaystyle \hbar }
约化普朗克常数 。
不含时薛定谔方程 与时间无关，可以用来计算粒子的本征能量 与其它相关的量子性质。应用分离变数法 ，猜想
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,\,t)}
Ψ
(
x
,
t
)
=
ψ
E
(
x
)
e
−
i
E
t
/
ℏ
{\displaystyle \Psi (x,\,t)=\psi _{E}(x)e^{-iEt/\hbar }}
其中，
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
能量 ，
ψ
E
(
x
)
{\displaystyle \psi _{E}(x)}
E
{\displaystyle E}
本征函数 。
代入这猜想解，经过一番运算，可以推导出一维不含时薛定谔方程：
−
ℏ
2
2
m
∂
2
∂
x
2
ψ
E
(
x
)
+
V
(
x
)
ψ
E
(
x
)
=
E
ψ
E
(
x
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi _{E}(x)+V(x)\psi _{E}(x)=E\psi _{E}(x)}
波函数
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
|
Ψ
(
r
,
t
)
|
2
{\displaystyle \vert \Psi (\mathbf {r} ,t)\vert ^{2}\,}
概率密度 ，并且具有归一性，全空间的积分
∫
|
Ψ
(
r
,
t
)
|
2
d
3
x
=
1
{\displaystyle \int \vert \Psi (\mathbf {r} ,t)\vert ^{2}\,d^{3}\,x=1}
波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加，概率的大小取决于两个波函数的相位差，类似光学中的杨氏双缝实验 。
3D空间中的自由粒子，其波矢 为k 角频率 为ω
Ψ
(
r
,
t
)
=
A
e
i
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
.
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,.}
粒子被限制在x = 0x = L [ 8] :30-38
Ψ
(
x
,
t
)
=
2
L
sin
(
n
π
x
L
)
e
−
i
ω
n
t
,
0
≤
x
≤
L
Ψ
(
x
,
t
)
=
0
,
x
<
0
,
x
>
L
{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (x,t)&={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-i\omega _{n}t},&\quad 0\leq x\leq L\\\Psi (x,t)&=0,&x<0,x>L\\\end{aligned}}}
其中，
ℏ
ω
n
=
n
2
h
2
8
m
L
2
{\displaystyle \hbar \omega _{n}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}}
n
{\displaystyle n}
m
{\displaystyle m}
量子点中3D受束缚的电子波函数。如图所示为方形和三角形量子点。方形量子点中的电子态更像s轨道 和p轨道 。然而，由于不同的几何形态导致不同的束缚，三角形量子点中的波函数则是多种轨道混合的结果。 量子点 是在把激子 在三个空间方向上束缚住的半导体 纳米结构 。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势（由外部的电极，掺杂，应变，杂质产生），两种不同半导体材料的界面（例如：在自组量子点中），半导体的表面（例如：半导体纳米晶体 ），或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中，但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似无限深方形阱 的模型来描述，能级位置取决于势阱宽度。
Hanle, P.A., Erwin Schrodinger's Reaction to Louis de Broglie's Thesis on the Quantum Theory., Isis, December 1977, 68 (4), doi:10.1086/351880 Moore, Walter John, Schrödinger: Life and Thought, England: Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43767-9（英语） Kragh, Helge. Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century illustrated, reprint. Princeton University Press. 2002. ISBN 9780691095523 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 J. Griffiths, David; F. Schroeter, Darrell. CHAPTER 3 Formalism. Introduction to quantum mechanics Third edition. Cambridge University Press. 2018: 114–115. ISBN 978-1-107-18963-8 
![{\displaystyle [a,b]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
