在量子力学 中，薛定谔方程 （Schrödinger equation ）是描述物理系统的量子态 随时间演化的偏微分方程 ，为量子力学的基础方程之一，其以发表者奥地利 物理学家埃尔温·薛定谔 而命名。[ 1] 量子力学假说 里，无法从其它任何原理推导而出。[ 2] :17
埃尔温·薛定谔 在经典力学 里，人们使用牛顿第二定律 描述物体运动。而在量子力学里，类似的运动方程 为薛定谔方程。[ 3] :1-2 薛定谔方程的解完备地描述物理系统里，微观尺寸粒子 的量子行为；这包括分子 系统、原子 系统、亚原子 系统；另外，薛定谔方程的解还可完备地描述宏观 系统，可能乃至整个宇宙 。[ 2] :292ff
薛定谔方程可以分为“含时薛定谔方程”与“不含时薛定谔方程”两种。含时薛定谔方程与时间 有关，描述量子系统的波函数 怎样随着时间而演化。不含时薛定谔方程则与时间无关，描述了定态 量子系统的物理性质；该方程的解就是定态量子系统的波函数 。量子事件发生的概率 可以用波函数来计算，其概率幅的绝对值 平方 就是量子事件发生的概率密度 。[ 3] :1-2, 24ff
薛定谔方程所属的波动力学 可以数学变换为维尔纳·海森堡 的矩阵力学 ，或理察·费曼 的路径积分表述 。[ 4] :166 [ 5] :127 薛定谔方程是个非相对论性方程，不适用于相对论性 理论；对于相对论性微观系统，必须改使用狄拉克方程 或克莱因-戈尔登方程 等。[ 6] :225-229
含时薛定谔方程描述物理系统随时间演化，其最广义形式为：[ 7] :143
H
^
Ψ
=
i
ℏ
∂
∂
t
Ψ
{\displaystyle {\hat {H}}\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi }
其中，
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
哈密顿算符 ，
Ψ
{\displaystyle \Psi }
波函数 ，
i
{\displaystyle i}
虚数单位 ，
ℏ
{\displaystyle \hbar }
约化普朗克常数 ，
∂
/
∂
t
{\displaystyle \partial /\partial t}
t
{\displaystyle t}
图为波函数在某一时刻的实部，横轴是位置坐标轴。该波函数描述粒子移动于自由空间 的物理行为。该波函数满足势函数
V
{\displaystyle V}
这里 即可观看这波函数的实部随时间演化的动画 。[ 8] :60-62 在三维空间里，移动于位势
V
(
r
,
t
)
{\displaystyle V(\mathbf {r} ,t)}
[ 3] :1-2
−
ℏ
2
2
m
∇
2
Ψ
(
r
,
t
)
+
V
(
r
,
t
)
Ψ
(
r
,
t
)
=
i
ℏ
∂
∂
t
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}
其中，
m
{\displaystyle m}
质量 ，
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
t
{\displaystyle t}
波函数 ，
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
拉普拉斯算符 。
术语“薛定谔方程”可以指广义形式的薛定谔方程，也可指具体形式的薛定谔方程。广义形式的薛定谔方程名如其实，可以应用于广泛量子力学领域，表达从狄拉克方程 到量子场论 的各种方程，只要将哈密顿算符的各种复杂表达式代入即可。通常，具体形式的薛定谔方程所描述的系统是实际系统的简化近似模型，这是为了要避开不必要的复杂数学运算。对于大多数案例，所得到的结果相当准确；但是对于相对论性案例，结果则并不令人满意。对于更详尽的细节，请参阅 相对论性量子力学 。
应用薛定谔方程时，必须先给出哈密顿算符的表达式，因此会涉及到计算系统的动能 与势能 ；将算符表达式代入薛定谔方程，再将所得偏微分方程加以解析，即可找到波函数。关于系统的量子态的信息，全部都会包含在波函数中。
含时薛定谔方程
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
偏微分方程 ，假定位势与时间无关：[ 3] :24-25
−
ℏ
2
2
m
∇
2
Ψ
(
r
,
t
)
+
V
(
r
)
Ψ
(
r
,
t
)
=
i
ℏ
∂
∂
t
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}
使用分离变量法 ，令
Ψ
(
r
,
t
)
=
ψ
(
r
)
φ
(
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )\varphi (t)}
i
ℏ
1
φ
(
t
)
d
φ
(
t
)
d
t
=
−
ℏ
2
2
m
1
ψ
(
r
)
∇
2
ψ
(
r
)
+
V
(
r
)
{\displaystyle i\hbar {\frac {1}{\varphi (t)}}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\psi (\mathbf {r} )}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )}
注意到等号左手边是时间的函数，而右手边则是位置的函数，所以两边都等于常数
E
{\displaystyle E}
i
ℏ
1
φ
d
φ
d
t
=
−
ℏ
2
2
m
1
ψ
∇
2
ψ
+
V
=
E
{\displaystyle i\hbar {\frac {1}{\varphi }}{\frac {d\varphi }{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\psi }}\nabla ^{2}\psi +V=E}
左手边的方程
i
ℏ
1
φ
(
t
)
d
φ
(
t
)
d
t
=
E
{\displaystyle i\hbar {\frac {1}{\varphi (t)}}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}=E}
φ
(
t
)
=
e
−
i
E
t
ℏ
{\displaystyle \varphi (t)=e^{\frac {-iEt}{\hbar }}}
右手边的方程可转化为不含时薛定谔方程：
−
ℏ
2
2
m
∇
2
ψ
(
r
)
+
V
(
r
)
ψ
(
r
)
=
E
ψ
(
r
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )}
不含时薛定谔方程也可写为
H
^
ψ
=
E
ψ
{\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }
其中，
H
^
=
−
ℏ
2
2
m
∇
2
+
V
(
r
)
{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )}
哈密顿算符 。
虽然含时薛定谔方程能够启发式 地由几个假设推导出来，但为便于论述，在作理论量子力学研究时，经常会直接将这方程当作一个基本假定。[ 15] :165-167
薛定谔将哈密顿类比延伸至量子力学与波动光学之间。[ 17] “哈密顿类比”是威廉·哈密顿 在研究经典力学 时给出的理论，又称为“光学-力学类比”；哈密顿指出，在经典力学里粒子的运动轨道，就如同在几何光学 里光线的传播路径；垂直于这轨道的等作用量 曲面，就如同垂直于路径的等传播时间曲面；描述粒子运动的最小作用量原理 ，就如同描述光线传播的费马原理 。哈密顿发现，使用哈密顿-雅可比方程，可以推导出最小作用量原理与费马原理；同样的形式论，可以描述光的物理行为，不论光是由遵守费马原理的光线组成，还是由遵守最小作用量原理的粒子组成。[ 17]
很多光的性质，例如，衍射 、干涉 等等，无法用几何光学的理论来作解释，必须要用到波动光学的理论来证实。这意味着几何光学不等价于波动光学，几何光学是波动光学的波长超短于粒子轨道曲率半径 的极限案例。哈密顿又研究发现，使用哈密顿-雅可比方程也可以描述波动光学里遵守惠更斯原理 的光波，只要将光线的等传播时间曲面改为光波的波前 。薛定谔寻思，经典力学与量子力学之间的关系，就如同几何光学与波动光学之间的关系；哈密顿-雅可比方程 应该对应于量子力学的波动方程在某种极限的案例，而这极限应该也是物质波波长超短于粒子轨道曲率半径的极限（或按照对应原理 ，普朗克常数趋于0的极限）；按照先前哈密顿类比的模式，依样画葫芦，应该可以找到正确形式的波动方程。这想法很正确，经过一番努力，他成功地推导出薛定谔方程 。[ 17] [ 1]
假设一个粒子移动于显不含时位势
V
(
r
)
{\displaystyle V(\mathbf {r} )}
哈密顿-雅可比方程 为[ 1]
1
2
m
(
∇
S
)
2
+
V
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\nabla }}S\right)^{2}+V+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}
其中，
S
(
r
,
a
;
t
)
{\displaystyle S(\mathbf {r} ,{\boldsymbol {a}};t)}
哈密顿主函数 ，
a
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}
运动常数 矢量。
由于位势显性不含时，哈密顿主函数可以分离成两部分：
S
=
W
(
r
,
a
)
−
E
t
{\displaystyle S=W(\mathbf {r} ,{\boldsymbol {a}})-Et}
其中，显性不含时的函数
W
(
r
,
a
)
{\displaystyle W(\mathbf {r} ,{\boldsymbol {a}})}
哈密顿特征函数 ，
E
{\displaystyle E}
将哈密顿主函数公式代入粒子的哈密顿-雅可比方程，稍加运算，可以得到
|
∇
S
|
=
2
m
(
E
−
V
)
{\displaystyle |{\boldsymbol {\nabla }}S|={\sqrt {2m(E-V)}}}
哈密顿主函数对于时间的全导数是
d
S
d
t
=
∂
S
∂
t
+
∇
S
⋅
d
r
d
t
{\displaystyle {\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\nabla S\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}
哈密顿主函数
S
{\displaystyle S}
等值曲面
σ
0
{\displaystyle \sigma _{0}}
0
=
∂
S
∂
t
+
∇
S
⋅
d
r
d
t
=
−
E
+
∇
S
⋅
d
r
d
t
{\displaystyle 0={\frac {\partial S}{\partial t}}+\nabla S\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=-E+\nabla S\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}
所以，在设定等值曲面的正负面之后，
σ
0
{\displaystyle \sigma _{0}}
法线 方向移动的速度
u
{\displaystyle u}
u
=
d
r
d
t
=
E
|
∇
S
|
=
E
2
m
(
E
−
V
)
{\displaystyle u={\frac {dr}{dt}}={\frac {E}{|\nabla S|}}={\frac {E}{\sqrt {2m(E-V)}}}}
这速度
u
{\displaystyle u}
相速度 ，而不是粒子的移动速度
v
{\displaystyle v}
v
=
|
∇
S
|
m
=
2
(
E
−
V
)
m
{\displaystyle v={\frac {|{\boldsymbol {\nabla }}S|}{m}}={\sqrt {\frac {2(E-V)}{m}}}}
试想
σ
0
{\displaystyle \sigma _{0}}
相位 曲面。既然粒子具有波粒二象性 ，假设粒子的波函数所拥有的相位与
S
{\displaystyle S}
Ψ
(
r
,
t
)
=
A
(
r
)
e
i
S
/
κ
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )e^{iS/\kappa }}
其中，
κ
{\displaystyle \kappa }
A
(
r
)
{\displaystyle A(\mathbf {r} )}
将哈密顿主函数的公式代入
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
Ψ
(
r
,
t
)
=
A
(
r
)
e
i
(
W
−
E
t
)
/
κ
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )e^{i(W-Et)/\kappa }}
注意到
E
/
κ
{\displaystyle E/\kappa }
E
=
ℏ
ω
{\displaystyle E=\hbar \omega }
ℏ
{\displaystyle \hbar }
约化普朗克常数 ，
ω
{\displaystyle \omega }
角频率 。他尝试设定
κ
=
ℏ
{\displaystyle \kappa =\hbar }
Ψ
{\displaystyle \Psi }
Ψ
(
r
,
t
)
=
A
(
r
)
e
i
(
W
−
E
t
)
/
ℏ
=
ψ
(
r
)
e
−
i
E
t
/
ℏ
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )e^{i(W-Et)/\hbar }=\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }}
其中，
ψ
(
r
)
=
A
(
r
)
e
i
W
(
r
)
/
ℏ
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=A(\mathbf {r} )e^{iW(\mathbf {r} )/\hbar }}
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
波动方程 为
∇
2
Ψ
−
1
u
2
∂
2
Ψ
∂
t
2
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\Psi -{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=0}
将
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
波动方程 ，经过一番运算，可以得到
∇
2
Ψ
+
E
2
ℏ
2
u
2
Ψ
=
∇
2
Ψ
+
2
m
(
E
−
V
)
ℏ
2
Ψ
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\Psi +{\frac {E^{2}}{\hbar ^{2}u^{2}}}\Psi =\nabla ^{2}\Psi +{\frac {2m(E-V)}{\hbar ^{2}}}\Psi =0}
注意到
E
Ψ
=
i
ℏ
∂
Ψ
∂
t
{\displaystyle E\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}}
−
ℏ
2
2
m
∇
2
Ψ
(
r
,
t
)
+
V
Ψ
(
r
,
t
)
=
i
ℏ
∂
Ψ
(
r
,
t
)
∂
t
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}}
在量子力学里，所有事件发生的概率，其总和等于1，这特性称为归一性 ，以方程表示为[ 3] :12-15
∫
−
∞
∞
Ψ
∗
(
x
,
t
)
Ψ
(
x
,
t
)
d
x
=
1
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)\ \mathrm {d} x=1}
为了满足这特性，必须将波函数归一化 。薛定谔方程能够自动地维持波函数的归一性。假若，某波函数
Φ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Phi (x,t)}
线性方程 ，
Φ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Phi (x,t)}
ϕ
(
x
)
=
A
Φ
(
x
,
0
)
{\displaystyle \phi (x)=A\Phi (x,0)}
A
{\displaystyle A}
∫
−
∞
∞
ϕ
∗
(
x
)
ϕ
(
x
)
d
x
=
1
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ \phi ^{*}(x)\phi (x)\ \mathrm {d} x=1}
这样，新波函数
Φ
A
(
x
,
t
)
=
A
Φ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Phi _{A}(x,t)=A\Phi (x,t)}
Φ
A
(
x
,
0
)
{\displaystyle \Phi _{A}(x,0)}
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,t)}
总概率对于时间的导数为 [ 3] :12-15
d
d
t
∫
−
∞
∞
Ψ
∗
(
x
,
t
)
Ψ
(
x
,
t
)
d
x
=
∫
−
∞
∞
(
∂
Ψ
∗
∂
t
Ψ
+
Ψ
∗
∂
Ψ
∂
t
)
d
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)\ \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ ({\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\Psi +\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\ )\mathrm {d} x}
思考含时薛定谔方程，
−
ℏ
2
2
m
∂
2
Ψ
∂
x
2
+
V
(
x
)
Ψ
=
i
ℏ
∂
Ψ
∂
t
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+V(x)\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}}
其复共轭 是
−
ℏ
2
2
m
∂
2
Ψ
∗
∂
x
2
+
V
(
x
)
Ψ
∗
=
−
i
ℏ
∂
Ψ
∗
∂
t
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}+V(x)\Psi ^{*}=-i\hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}}
将这两个方程分别乘以波函数和波函数的共轭，再相减，可以得到
∂
Ψ
∗
∂
t
Ψ
+
Ψ
∗
∂
Ψ
∂
t
=
−
i
ℏ
2
m
(
∂
2
∂
x
2
Ψ
∗
)
Ψ
+
i
ℏ
V
Ψ
∗
Ψ
−
Ψ
∗
i
ℏ
V
Ψ
+
Ψ
∗
i
ℏ
2
m
(
∂
2
∂
x
2
Ψ
)
=
−
i
ℏ
2
m
(
∂
2
∂
x
2
Ψ
∗
)
Ψ
+
Ψ
∗
i
ℏ
2
m
(
∂
2
∂
x
2
Ψ
)
=
i
ℏ
2
m
∂
∂
x
(
Ψ
∗
∂
∂
x
Ψ
−
Ψ
∂
∂
x
Ψ
∗
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\Psi +\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&=-{\frac {i\hbar }{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi ^{*}\right)\Psi +{\frac {i}{\hbar }}V\Psi ^{*}\Psi -\Psi ^{*}{\frac {i}{\hbar }}V\Psi +\Psi ^{*}{\frac {i\hbar }{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi \right)\\&=-{\frac {i\hbar }{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi ^{*}\right)\Psi +\Psi ^{*}{\frac {i\hbar }{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi \right)\\&={\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi -\Psi {\frac {\partial }{\partial x}}\Psi ^{*}\right)\\\end{aligned}}}
所以，总概率对于时间的导数为
d
d
t
∫
−
∞
∞
Ψ
∗
(
x
,
t
)
Ψ
(
x
,
t
)
d
x
=
∫
−
∞
∞
i
ℏ
2
m
∂
∂
x
(
Ψ
∗
∂
∂
x
Ψ
−
Ψ
∂
∂
x
Ψ
∗
)
d
x
=
i
ℏ
2
m
(
Ψ
∗
∂
∂
x
Ψ
−
Ψ
∂
∂
x
Ψ
∗
)
|
−
∞
∞
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)\ \mathrm {d} x&=\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi -\Psi {\frac {\partial }{\partial x}}\Psi ^{*}\right)\ \mathrm {d} x\\&={\frac {i\hbar }{2m}}\left.\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi -\Psi {\frac {\partial }{\partial x}}\Psi ^{*}\right)\right|_{-\infty }^{\infty }\\\end{aligned}}}
在无穷远的极限，符合实际物理的波函数必须等于零：
d
d
t
∫
−
∞
∞
Ψ
∗
(
x
,
t
)
Ψ
(
x
,
t
)
d
x
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)\ \mathrm {d} x=0}
因此，薛定谔方程会维持波函数的归一化性质，这性质不会随着时间的流易而改变。
波函数
Ψ
(
x
,
t
)
=
ψ
E
(
x
)
e
−
i
E
t
/
ℏ
{\displaystyle \Psi (x,t)=\psi _{E}(x)e^{-iEt/\hbar }}
定态 ，虽然波函数本身与时间有关，概率密度
P
(
x
)
=
Ψ
∗
(
x
,
t
)
Ψ
(
x
,
t
)
=
|
ψ
E
(
x
)
|
2
{\displaystyle P(x)=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=|\psi _{E}(x)|^{2}}
E
{\displaystyle E}
O
{\displaystyle O}
期望值 都是常数：[ 3] :26-29
⟨
O
⟩
=
∫
−
∞
∞
Ψ
∗
(
x
,
t
)
O
^
Ψ
(
x
,
t
)
d
x
=
∫
−
∞
∞
ψ
E
∗
(
x
)
O
^
ψ
E
(
x
)
d
x
{\displaystyle \langle O\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,t){\hat {O}}\Psi (x,t)\ \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{E}^{*}(x){\hat {O}}\psi _{E}(x)\ \mathrm {d} x}
波函数
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,t)}
相位因子
e
−
i
E
t
/
ℏ
{\displaystyle e^{-iEt/\hbar }}
ψ
E
(
x
)
{\displaystyle \psi _{E}(x)}
不含时薛定谔方程有无穷多个本征函数解
ψ
n
(
x
)
{\displaystyle \psi _{n}(x)}
E
n
{\displaystyle E_{n}}
[ 3] :26-29
H
^
ψ
n
=
E
n
ψ
n
{\displaystyle {\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\psi _{n}}
含时薛定谔方程的一般解是这些解的线性组合：
Ψ
=
∑
n
c
n
ψ
n
e
−
i
E
n
t
/
ℏ
{\displaystyle \Psi =\sum _{n}c_{n}\psi _{n}e^{-iE_{n}t/\hbar }}
其中，
c
n
{\displaystyle c_{n}}
为了满足归一性，
∑
n
|
c
n
|
2
=
1
{\displaystyle \sum _{n}|c_{n}|^{2}=1}
这线性组合与时间有关，对应的概率密度与各种期望值都与时间有关。
薛定谔方程与其解在物理学领域造成思维方面的突破性发展。薛定谔方程是一种崭新的方程，关于它的解析引导出很多不寻常、出乎意料之中的结果。
在经典力学里，运动于空间的粒子在任何时刻，都具有确定的位置与动量。这些物理量按照牛顿运动定律 进行决定性 的演化。在量子力学里，粒子并不具有确定的位置与动量，对于这些物理量进行测量，会得到遵守粒子运动的概率分布 的随机 结果。
从含时薛定谔方程可以计算出粒子的波函数。按照广义统计诠释 ，由波函数
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,t)}
P
(
x
,
t
)
{\displaystyle P(x,t)}
P
(
x
,
t
)
=
Ψ
∗
(
x
,
t
)
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle P(x,t)=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)}
因此，可以预测在某时刻，粒子处于某区域的概率。薛定谔方程描述粒子的波函数怎样随着时间流易而产生决定性演化。尽管可以计算出波函数的完整形式，也可以计算出粒子运动的概率分布，但薛定谔方程无法准确地预测粒子在哪个时刻会处于哪个区域。[ 3] :106-109
从波动观分析，薛定谔方程乃是一个波动方程，它完美地描述一个与时间、位置有关的量子波所发生的运动行为与所具有的量子性质，而解答这波动方程的波函数可以诠释为“在某时间、某位置发生相互作用的概率辐”。这宽松的诠释方式可以适用于波动观或粒子观。[ 18]
描述粒子物理行为的薛定谔方程是一种波动方程，它的波函数解答是一种延伸于空间的量子物理值波，具有波动性。在波动力学里，做傅里叶分析 可以得到一个重要结果，即假设波的波长越为明确，则波的位置越为不明确；反之亦然。物质波也遵守这结果，在量子力学里，这结果蜕化为不确定性原理 ，即粒子的位置与动量不可同时被确定，位置的不确定性
Δ
x
{\displaystyle \Delta {x}}
Δ
p
{\displaystyle \Delta {p}}
[ 3] :18-20
Δ
x
Δ
p
≥
ℏ
/
2
{\displaystyle \Delta {x}\Delta {p}\geq \hbar /2}
不确定性原理表明了量子测量的不确定性，这是量子系统内秉的性质。由此性质还可以推导出粒子的波动性。[ 19] :10
随着时间流易，双缝实验展示出电子累积于探测屏。 根据哥本哈根诠释 ，粒子的运动遵守薛定谔方程，直到因被测量而发生波函数坍缩 为止。假设对于某系统的某可观察量做测量，而描述这系统的波函数是由这可观察量的几个本征函数 量子叠加而成，每次对于这可观察量做测量只能得到本征函数的本征值，不能得到任何其它数值。当波函数坍缩现象发生时，由于粒子与测量仪器彼此相互作用，系统的波函数会按照概率分布随机的约化为原本几个本征函数中的单独一个本征函数。[ 3] :106-109 这是量子测量的关键要素，将波函数与可观察量，如位置或动量，关联在一起。
量子系统随着时间流易而演化的两个过程为薛定谔方程预测的演化、波函数坍缩。有些教科书会将这两种过程分别当作量子力学的假设，然后从假设推导出量子力学的其他理论结果。[ 15] :165-167 很多物理学者认为，从薛定谔方程无法推导出波函数坍缩。这两种过程具有迥然不同的性质。薛定谔方程预测的演化具有决定性，能够从最初波函数预测未来的最终波函数；它还具有逆反性，能够将时间逆反地从最终态演化回最初态。波函数坍缩具有非决定性，从最初态按照概率分布随机地约化至最终态，无法预测这最终态到底是什么；它还具有非逆反性，测量动作将量子态的信息发掘出来，这是一种无法时间逆反的程序，获得的额外信息无法再还原。[ 19] :38-39
在势垒左边的粒子没有足够能量越过势垒。但是，它可以量子隧穿到势垒右边。 在经典力学里，当一个圆球慢慢地滚上一座高山，假若它没有足够能量翻过山顶到另一边，它会停止滚动，往反方向滚回。但是，薛定谔方程预测，这圆球跑到另一边的概率大于零，尽管它的能量不足以爬到山顶，这种波动性行为称为量子隧穿效应 ，无法用微粒说 来解释这种效应。特别是对于微观粒子与适当形状的势垒，做实验很容易就可观察到这种效应。阿尔法衰变 就是因为阿尔法粒子 摆脱了本来不可能摆脱的强作用力 束缚而从原子核 逃逸出来的现象。[ 3] :320-325
非相对论性薛定谔方程是波动方程。遵守这方程进行运动的粒子因此会显示出波动性行为。双缝实验 是一个范例，它能够展示出粒子通常不会进行的波动行为。从两条狭缝传播出来的物质波在某些位置会相长干涉，在某些位置又会相消干涉，因此形成复杂的干涉图样。直觉而言，假设，从发射源到探测屏，每次只会出现单独一个粒子，即每次只有一个粒子独自通过两条狭缝，按照微粒说 ，累积多次发射不应该形成干涉图样。但是，做实验可以实际观察到这干涉图样，如同右图从真正实验获得的图样所展示。这意味着，虽然每次只有一个粒子通过狭缝，这粒子可以同时通过两条狭缝，自己与自己互相干涉。[ 注 5] [ 23] :8-9 。
一般来说，解析薛定谔方程会用到下述这些方法：
对于某些特殊的状况，可以使用特别方法：
当位势为零时，薛定谔方程为[ 3] :59-64
−
ℏ
2
2
m
∇
2
Ψ
(
r
,
t
)
=
i
ℏ
∂
∂
t
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\,\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}
这薛定谔方程有一个平面波 解：
Ψ
(
r
,
t
)
=
e
i
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}
其中，
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
波矢 ，
ω
{\displaystyle \omega }
角频率 。
将这平面波解代入薛定谔方程，可以得到色散关系式
ℏ
2
k
2
2
m
=
ℏ
ω
{\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega }
由于粒子存在的概率 等于 1 ，波函数
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
归一化 ，才能够表达出正确的物理内涵。对于一般的自由粒子而言，这不是问题，因为，自由粒子的波函数，在位置空间或动量空间都是局部性的，只有在某些局部区域才呈有限值，在其它区域的数值都很微小，可以被忽略。
在量子力学 里，一个自由粒子的动量与能量不需要呈特定的数值，自由粒子的波函数以波包 形式来表示：
Ψ
(
r
,
t
)
=
1
(
2
π
)
3
/
2
∫
K
A
(
k
)
e
i
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
d
k
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {K} }A(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\mathrm {d} \mathbf {k} }
其中，积分区域
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
为了方便计算，只思考一维空间，
Ψ
(
x
,
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
A
(
k
)
e
i
(
k
x
−
ω
(
k
)
t
)
d
k
{\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\,\mathrm {d} k}
其中，振幅
A
(
k
)
{\displaystyle A(k)}
从在时间
t
=
0
{\displaystyle t=0}
Ψ
(
x
,
0
)
{\displaystyle \Psi (x,0)}
A
(
k
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
Ψ
(
x
,
0
)
e
−
i
k
x
d
x
{\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }\Psi (x,0)~e^{-ikx}\,\mathrm {d} x}
已知在时间
t
=
0
{\displaystyle t=0}
Ψ
(
x
,
0
)
{\displaystyle \Psi (x,0)}
傅里叶变换 ，可以推导出在任何时间的波函数
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,t)}
束缚于谐振子位势，八个能级最低的能量本征波函数 (
n
=
0
,
1
,
…
7
{\displaystyle n=0,\,1,\,\dots 7}
x
{\displaystyle x}
归一化 。 在一维谐振子问题里，质量为
m
{\displaystyle m}
V
(
x
)
=
1
2
m
ω
2
x
2
{\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}
哈密顿算符
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
[ 3] :40-59 [ 24] :33-38
H
^
=
−
ℏ
2
2
m
∂
2
∂
x
2
+
1
2
m
ω
2
x
2
{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}
每一个能级 所对应的能量本征态必需满足由这哈密顿算符所形成的薛定谔方程 ：
H
^
ψ
n
=
E
n
ψ
n
{\displaystyle {\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\psi _{n}}
采用位置表现，解析这个微分方程，使用幂级数 方法。可以得到一族的解：
ψ
n
(
x
)
=
1
2
n
n
!
(
m
ω
π
ℏ
)
1
/
4
e
(
−
m
ω
x
2
2
ℏ
)
⋅
H
n
(
m
ω
ℏ
x
)
{\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}\,n!}}}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}e^{\left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)}\cdot {\mathfrak {H}}_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)}
n
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }
其中，函数
H
n
(
x
)
=
(
−
1
)
n
e
x
2
d
n
d
x
n
e
−
x
2
{\displaystyle {\mathfrak {H}}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}}
埃尔米特多项式 。
对应于函数
H
n
{\displaystyle {\mathfrak {H}}_{n}}
E
n
=
ℏ
ω
(
n
+
1
2
)
{\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)}
一维谐振子的能谱有以下性质：
能量被量子化 ，只能呈离散数值，即
ℏ
ω
{\displaystyle \hbar \omega }
最低能量（当n = 0）不为零，而是
ℏ
ω
/
2
{\displaystyle \hbar \omega /2}
零点能量 。在基态中，根据量子力学，一振子执行所谓的“零振动 ”，且其平均动能是正值。这样的现象意义重大但并不那么显而易见，因为通常能量的零点并非一个有意义的物理量，因为可以任意选择；有意义的是能量差。虽然如此，基态能量有许多的意涵，特别是在量子引力学 里。
能级是等距的，谐振子问题的能谱与玻尔模型 或盒中粒子问题 不同。
假设单独粒子移动于球对称位势 ，描述这量子系统运动的薛定谔方程 为[ 3] :133-141 [ 24] :45-52
−
ℏ
2
2
μ
∇
2
ψ
+
V
(
r
)
ψ
=
E
ψ
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi +V(r)\psi =E\psi }
其中，
μ
{\displaystyle \mu }
质量 ，
ψ
{\displaystyle \psi }
波函数 ，
V
(
r
)
{\displaystyle V(r)}
位势 ，
r
{\displaystyle r}
采用球坐标
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle (r,\,\theta ,\,\phi )}
拉普拉斯算子
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
−
ℏ
2
2
μ
r
2
{
∂
∂
r
(
r
2
∂
∂
r
)
+
1
sin
2
θ
[
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
∂
θ
)
+
∂
2
∂
ϕ
2
]
}
ψ
+
V
(
r
)
ψ
=
E
ψ
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}\left\{{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]\right\}\psi +V(r)\psi =E\psi }
满足薛定谔方程的本征函数
ψ
{\displaystyle \psi }
ψ
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
R
(
r
)
Θ
(
θ
)
Φ
(
ϕ
)
{\displaystyle \psi (r,\,\theta ,\,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )}
其中，
R
(
r
)
{\displaystyle R(r)}
Θ
(
θ
)
{\displaystyle \Theta (\theta )}
Φ
(
ϕ
)
{\displaystyle \Phi (\phi )}
Θ
(
θ
)
{\displaystyle \Theta (\theta )}
Φ
(
ϕ
)
{\displaystyle \Phi (\phi )}
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
=
Θ
(
θ
)
Φ
(
ϕ
)
{\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\,\phi )=\Theta (\theta )\Phi (\phi )}
球谐函数 。这样，本征函数
ψ
{\displaystyle \psi }
ψ
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
R
(
r
)
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle \psi (r,\,\theta ,\,\phi )=R(r)Y_{lm}(\theta ,\,\phi )}
参数为天顶角
θ
{\displaystyle \theta }
ϕ
{\displaystyle \phi }
Y
l
m
{\displaystyle Y_{lm}}
−
1
sin
2
θ
[
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
∂
θ
)
+
∂
2
∂
ϕ
2
]
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
=
l
(
l
+
1
)
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big (}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]Y_{lm}(\theta ,\phi )=l(l+1)Y_{lm}(\theta ,\phi )}
其中，非负整数
l
{\displaystyle l}
m
{\displaystyle m}
角量子数 、磁量子数 。
磁量子数遵守关系式
−
l
≤
m
≤
l
{\displaystyle -l\leq m\leq l}
l
{\displaystyle l}
m
{\displaystyle m}
Y
l
m
{\displaystyle Y_{lm}}
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
=
(
i
)
m
+
|
m
|
(
2
l
+
1
)
4
π
(
l
−
m
)
!
(
l
+
m
)
!
P
l
m
(
cos
θ
)
e
i
m
ϕ
{\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\,\phi )=(i)^{m+|m|}{\sqrt {{(2l+1) \over 4\pi }{(l-m)! \over (l+m)!}}}\,P_{lm}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }}
其中，
i
{\displaystyle i}
虚数单位 ，
P
l
m
(
cos
θ
)
{\displaystyle P_{lm}(\cos {\theta })}
伴随勒让德多项式 ，以方程表示为
P
l
m
(
x
)
=
(
1
−
x
2
)
|
m
|
/
2
d
|
m
|
d
x
|
m
|
P
l
(
x
)
{\displaystyle P_{lm}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2}\,{\frac {d^{|m|}}{dx^{|m|}}}P_{l}(x)}
而
P
l
(
x
)
{\displaystyle P_{l}(x)}
l
{\displaystyle l}
勒让德多项式 ，以罗德里格公式 表示为
P
l
(
x
)
=
1
2
l
l
!
d
l
d
x
l
(
x
2
−
1
)
l
{\displaystyle P_{l}(x)={1 \over 2^{l}l!}{d^{l} \over dx^{l}}(x^{2}-1)^{l}}
假若哈密顿量不与时间显性相关，则
∂
H
^
∂
t
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial t}}=0}
玻尔模型是根据角动量的量子化的假设而建构，其角动量
L
{\displaystyle L}
L
=
n
h
2
π
=
n
ℏ
{\displaystyle L=n{h \over 2\pi }=n\hbar }
n
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle n=1,2,\dots }
正整数 。
德布罗意认为，伴随电子的电子波应该能够完整地容纳在电子轨道地圆周内，因此圆周应该是电子波波长的倍数：
n
λ
=
2
π
r
{\displaystyle n\lambda =2\pi r}
r
{\displaystyle r}
这相对论性波动方程后来又被奥斯卡·克莱因 （Oskar Klein）与沃尔特·戈尔登 （Walter Gordon）重新发现，因此命名为克莱因-戈尔登方程 ，适用于自旋 为零的粒子，例如膺标介子 （pseudoscalar meson）。 在写给物理学者威廉·维恩 的一封书信中，他表示，要是我知道更多数学，那该多好！[ 12] :196 实际而言，相对论性理论必需要考虑到粒子的成对生成与成对湮灭，也就是说，粒子数目不守恒。将这两种机制纳入考量后的统计诠释适用于克莱因-戈尔登方程。[ 6] :227
Laloe, Franck, Do We Really Understand Quantum Mechanics, Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-1-107-02501-1 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 Kragh, Helge. Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century Reprint. Princeton University Press. 2002. ISBN 978-0691095523 Sakukrai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 Griffiths, David J., Introduction to Elementary Particles 2nd revised, WILEY-VCH, 2008, ISBN 978-3-527-40601-2 Kragh, Helge. Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century illustrated, reprint. Princeton University Press. 2002. ISBN 9780691095523 Moore, Walter John, Schrödinger: Life and Thought, England: Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43767-9（英语） Erwin Schrödinger. Collected Papers on Wave Mechanics: Third Edition. American Mathematical Soc. 1982. ISBN 978-0-8218-3524-1 Nouredine Zettili. Quantum Mechanics: Concepts and Applications. John Wiley & Sons. 17 February 2009. ISBN 978-0-470-02678-6 French, Anthony, An Introduction to Quantum Physics, W. W. Norton, Inc., 1978, ISBN 0-393-09106-0 Vladimir B. Braginsky; Farid Ya Khalili. Quantum Measurement. Cambridge University Press. 25 May 1995. ISBN 978-0-521-48413-8 Paul Adrien Maurice Dirac. The Principles of Quantum Mechanics. Oxford University Press. 1 January 1981. ISBN 978-0-19-852011-5 Kurt, Gottfried. Two-particle interference (PDF) . American Journal of Physics. Feb 2000, 68 (2): 143-147 [2014-03-08 ] . （原始内容存档 (PDF) 于2014-03-08）. George Greenstein; Arthur Zajonc. The Quantum Challenge: Modern Research on the Foundations of Quantum Mechanics. Jones & Bartlett Learning. 2006. ISBN 978-0-7637-2470-2 
_instance.png)
![{\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi &=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}(a\Psi _{A}+b\Psi _{B})\\&=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}(a\Psi _{A})+i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}(b\Psi _{B})\\&=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(a\Psi _{A})+V(a\Psi _{A})\right]+\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(b\Psi _{B})+V(b\Psi _{B})\right]\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(a\Psi _{A}+b\Psi _{B})+V(a\Psi _{A}+b\Psi _{B})\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi +V\Psi \\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e19fda36e032c5f76fabcceb6c1c5492421b9e30)
![{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}\left\{{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]\right\}\psi +V(r)\psi =E\psi }](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/addb25894f6807c87280d4c9c5c643c0a45449c0)
![{\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big (}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]Y_{lm}(\theta ,\phi )=l(l+1)Y_{lm}(\theta ,\phi )}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd400bacbaaa42d613d3fd3156fda00fbc0ee0a)
