平方

代数中，一个数的平方是此数与它的本身相乘所得的乘积，一个元素的平方是此元素与它的本身相乘所得的乘积，记作x²。平方也可视为求指数为2的幂的值。若x是正实数，这个乘积相当于一个边长为x的正方形的面积；如果x为虚数，则这个乘积为负数。如果x为非虚数的复数，则这个乘积也是复数。

${\displaystyle y=x^{2}}$

如果实数y = x²，就说y是x的平方；如果同时x是非负数，那么x就是y的平方根。如果一个整数 ${\displaystyle n}$ 是某个整数的平方，则称 ${\displaystyle n}$ 为一个完全平方数或平方数。有理数的平方一定是有理数，无理数的平方可以是有理数，也可以是无理数。

平方和

平方和通常指一些正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可以是无限多。 正整数的平方和公式如下：

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

证明

用数学归纳法证明如下：

${\displaystyle n=1}$时，${\displaystyle 1^{2}={\frac {1\times 2\times 3}{6}}=1}$成立

${\displaystyle n=2}$时，${\displaystyle 1^{2}+2^{2}={\frac {2\times 3\times 5}{6}}=5}$成立

设${\displaystyle n=k}$时成立，即${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+....+k^{2}={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}}$成立

当${\displaystyle n=k+1}$时，

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+....+k^{2}+(k+1)^{2}}$

${\displaystyle ={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1)^{2}}$

${\displaystyle ={\frac {(k+1)(2k^{2}+k)}{6}}+{\frac {6(k+1)^{2}}{6}}}$

${\displaystyle ={\frac {(k+1)[(2k^{2}+k)+6(k+1)]}{6}}}$

${\displaystyle ={\frac {(k+1)(2k^{2}+7k+6))}{6}}}$

${\displaystyle ={\frac {(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}}$

${\displaystyle ={\frac {(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}}}$

故${\displaystyle n=k+1}$时亦成立，原式得证。

也可以用组合数公式来推导这个公式。

平方和也可以指：${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}$

参见

• 立方
• 次方