波矢

波矢是波的矢量表示方法。波矢是一个矢量，其大小表示波数（${\displaystyle k=|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda }$），其方向表示波传播的方向。

本条目中，矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置矢量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小则用 ${\displaystyle r\,\!}$ 来表示。四维矢量用加有标号的斜体显示。例如，${\displaystyle {x}^{\mu }\,\!}$或${\displaystyle {x}_{\mu }\,\!}$。为了避免歧意，四维矢量的斜体与标号之间不会有括号。例如，${\displaystyle (x)^{2}\,\!}$表示${\displaystyle x\,\!}$平方；而${\displaystyle {x}^{2}\,\!}$是${\displaystyle {x}^{\mu }\,\!}$的第二个分量。

波矢在狭义相对论背景下可定义为四维矢量。

定义

参见：行波

正弦波波长λ可以通过测量相位相同的任意相邻两点间的距离得到，这两点可以是相邻的波峰、波谷或是如图所示的零交点（英语：Zero crossing）。

当波行进时，给定点的值以正弦作正弦振动。

波矢有两种常见的定义，区别在于振幅因子是否乘以${\displaystyle 2\pi }$，两种定义分别用于物理学和晶体学以及它们的相关领域。^[1]

物理学定义

理想的一维行波遵循如下方程：

${\displaystyle \psi (x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi )}$

其中：

• x为位置；
• t为时间；
• ${\displaystyle \psi }$（x和t的函数）是对波进行描述的扰动（例如对于海浪，${\displaystyle \psi }$是超出水面的高度；对于声波，${\displaystyle \psi }$是超气压）；
• A是波的振幅（振动的峰值）；
• ${\displaystyle \varphi }$是相位偏移，描述了两个波互相之间不同步的程度；
• ${\displaystyle \omega }$是波的角频率，描述了在一个给定点波振动的快慢程度；
• ${\displaystyle k}$是波数，与波长成反比，由${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$求出。

此波在+x方向上行进，相速度为${\displaystyle \omega /k}$。

推广到三维情况下，方程为：

${\displaystyle \psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\omega t+\varphi \right)}$

其中：

• r是三维空间中的位置矢量；
• ${\displaystyle \cdot }$ 是矢量点积；
• k是波矢。

这一方程描述了平面波。一维情况下，波矢的大小是角波数${\displaystyle |{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda }$。波矢的方向是平面波行进的方向。

晶体学定义

在晶体学中，描述相同的波的方程略有不同。^[2]在一维和三维情况下的方程分别为：

${\displaystyle \psi (x,t)=A\cos(2\pi (kx-\nu t)+\varphi )}$

${\displaystyle \psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left(2\pi ({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\nu t)+\varphi \right)}$。

不同点在于：

• 晶体学定义使用了频率${\displaystyle \nu }$，而不是角频率${\displaystyle \omega }$，由公式${\displaystyle 2\pi \nu =\omega }$，二者可以相互转换。这种置换主要反映了在晶体学中的常见应用。
• 波数k以及波矢k的定义方式不同。此处的${\displaystyle k=|{\mathbf {k} }|=1/\lambda }$，而在物理学定义中，${\displaystyle k=|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda }$。

狭义相对论

接近单色光的波包可以由波矢

${\displaystyle k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)\,}$

准确描述，若明确的改写成共变和反变形式，则

${\displaystyle k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},k^{1},k^{2},k^{3}\right)\,}$且

${\displaystyle k_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{1},-k_{2},-k_{3}\right)\,}$。

于是波矢的大小为

${\displaystyle k^{2}=k^{\mu }k_{\mu }=k^{0}k_{0}-k^{1}k_{1}-k^{2}k_{2}-k^{3}k_{3}\,}$

${\displaystyle ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-{\vec {k}}^{2}=0\,}$

最后一步等于零是因为对于真空中的光满足

${\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}\,}$

洛伦兹变换

对波矢作洛伦兹变换可导出相对论性多普勒效应。洛伦兹矩阵定义为

${\displaystyle \Lambda ={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$。

在光被快速移动的波源激发的情况下，若要在地球坐标系（实验室坐标系）中检定光的频率，就要使用洛伦兹变换，如下所示。注意波源位于坐标系S ^s，地球位于观测系S ^obs。 对波矢进行洛伦兹变换得到

${\displaystyle k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }\,}$。

只考虑${\displaystyle \mu =0}$分量的情况，得到

${\displaystyle k_{s}^{0}=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\,}$。

${\displaystyle {\frac {\omega _{s}}{c}}\,}$	${\displaystyle =\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\,}$
	${\displaystyle \quad =\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta \,}$ 其中${\displaystyle \cos \theta \,}$是${\displaystyle k^{1}}$关于${\displaystyle k^{0}}$的方向余弦${\displaystyle k^{1}=k^{0}\cos \theta }$。

因此

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta \cos \theta )}}\,}$

波源远离观测者

当波源径直地远离观测者时，${\displaystyle \theta =\pi }$，方程变为：

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}\,}$。

波源接近观测者

当波源径直地接近观测者时，${\displaystyle \theta =0}$，方程变为：

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}\,}$。

参考文献

• Brau, Charles A. Modern Problems in Classical Electrodynamics. Oxford University Press. 2004. ISBN 0-19-514665-4.

1. 物理学定义：Handbook of Physics, by Harris, Benenson, Stöcker, 第288页. 晶体学定义：Modern Crystallography by Vaĭnshteĭn, 第259页.
2. Modern Crystallography by Vaĭnshteĭn, 第259页