电磁四维势

电磁四维势（英文：Electromagnetic four-potential）是电磁理论中的一个协变四维矢量，它在国际单位制中的单位是伏特·秒/米（在厘米-克-秒制中的单位是麦克斯韦/厘米），它的定义为（括号中表示在厘米-克-秒制中的形式，下同）

${\displaystyle A_{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},-{\vec {A}}\right)\qquad \left(A_{\alpha }=(\phi ,-{\vec {A}})\right)}$

其中${\displaystyle \phi \,}$是电势，${\displaystyle {\vec {A}}\,}$是磁矢势。

在本篇文章里，闵可夫斯基度规的形式被规定为 ${\displaystyle diag(1,-1,-1,-1)}$ ，这是参考了约翰·杰克森（John D. Jackson）的著作《经典电动力学》中所采用的形式；并且使用了经典的张量代数以及爱因斯坦求和约定。

电场与磁场和相应的标势与矢势的对应关系分别为

${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\qquad \left(-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)}$

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}}$

将这两个势写在一起的原因是${\displaystyle A_{\alpha }}$是协变的，这意味着它在任意的曲面坐标变换下和一个标量的梯度变换方式相同，即如${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x^{\alpha }}}\,,}$的变换形式。这样四维势的内积

${\displaystyle A_{\alpha }g^{\alpha \beta }A_{\beta }={\frac {\phi ^{2}}{c^{2}}}-|{\vec {A}}|^{2}\qquad \left(A_{\alpha }g^{\alpha \beta }A_{\beta }\,=\phi ^{2}-|{\vec {A}}|^{2}\right)}$

在任意惯性系下都是一个不变量。

不过，电场与磁场和相应的标势与矢势的对应关系并不是唯一的，通常可以对这两个势做如下的变换：

${\displaystyle \phi \qquad \rightarrow \qquad \phi +{\frac {\partial \lambda }{\partial t}}\,}$

${\displaystyle {\vec {A}}\qquad \rightarrow \qquad {\vec {A}}-\nabla \lambda \,}$

这组变换称作规范变换，在规范变换下电场和磁场仍然保持不变，因此相应的电标势和磁矢势并没有确定下来。

人们习惯在惯性参考系中采用洛伦茨规范条件${\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0}$，实际上加上这组规范条件也并不能完全确定四维势（规范变换依然成立），但这样做的好处是这组规范条件具有洛伦兹不变性。

此时电磁场的麦克斯韦方程组可化简为下面的形式：

${\displaystyle \Box A_{\alpha }=\mu _{0}\eta _{\alpha \beta }J^{\beta }\qquad \left(\Box A_{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}\eta _{\alpha \beta }J^{\beta }\right)}$

其中${\displaystyle J^{\beta }\,}$是四维电流矢量，

而

${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}$是达朗贝尔算符。

如果写成电标势和磁矢势，则有

${\displaystyle \Box \phi ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\qquad \left(\Box \phi =4\pi \rho \right)}$

${\displaystyle \Box {\vec {A}}=\mu _{0}{\vec {j}}\qquad \left(\Box {\vec {A}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\right)}$

对给定的分别为${\displaystyle \rho ({\vec {x}},t)}$和${\displaystyle {\vec {j}}({\vec {x}},t)}$的电荷和电流分布，方程在国际单位制中的解为

${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\rho ({\vec {x}}^{\prime },\tau )}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}}$

${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {{\vec {j}}({\vec {x}}^{\prime },\tau )}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}}$,

其中${\displaystyle \tau =t-{\frac {\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|}{c}}}$是推迟时间。有时方程也用${\displaystyle \rho ({\vec {x}}',\tau )=[\rho ({\vec {x}}',t)]\,}$这样的形式表示对于时间变量应该用推迟时间来计算。当然，由于上面的方程是非齐次的微分方程，相应的齐次方程解加上非齐次方程的任何特解都会满足边界条件。一般来说，对应的齐次方程解表征着远源传播的电磁波。

对一些典型情形（例如振荡电流或电荷）进行上面的积分时，积分会同时给出以${\displaystyle r^{-2}\,}$形式变化的磁场（感生磁场）和以${\displaystyle r^{-1}\,}$形式变化的电磁场（辐射场）。

参考文献

• Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853952-5.
• Jackson, J D. Classical Electrodynamics (3rd). New York: Wiley. 1999. ISBN 0-471-30932-X.

参见

• 经典电磁理论的协变形式
• 电磁波方程