在几何学 中，扭棱 是一种多面体变换。该术语起源于开普勒 对阿基米德立体 的命名，分别为扭棱立方体 （英语：snub cube 、拉丁语 ：cubus simus ）和扭棱十二面体 （英语：snub dodecahedron 、拉丁语 ：dodecaedron simum ）[ 1] [ 2] [ 3] :99
立方体 经由康威 扭棱成扭棱立方体 过程的动画扭棱立方体 的两种手性镜像，其为截角截半立方体 经交错 变换后的像透过旋转小斜方截半立方体 的正方形面直到12个白色正方形变成成对的正三角形面即可构造一个扭棱立方体 考克斯特 对扭棱进行了推广，推广成能用于更广泛的均匀多面体，其定义略有不同。
康威 研究了广义的多面体变换，定义了现在称为康威多面体表示法 的多面体变换表示法，其可以运用在多面体 和各种镶嵌 或密铺 的几何形状 。康威称考克斯特 定义的扭棱变换为半扭棱变换。[ 5]
在康威多面体表示法 中，扭棱变换（康威表示法 ：s）被定义为陀螺变换（英语：gyro ，康威表示法 ：g，为每个n边形面被切割成n个五边形的多面体变换）的对偶多面体 （康威表示法 ：d），即康威表示法s = dg = dgd[ 6] 交替 截角。康威表示法 本身避免了考克斯特 的交错 （半）变换，因为它仅适用于仅具有偶数边数的面之多面体。
More information 扭棱的形式, 多面体 ...
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在四维空间中，康威建议将扭棱二十四胞体 交替 的全截（omnitruncation，即先截半再截角）的形式，而扭棱二十四胞体并非是正二十四胞体 交替的全截的形式。事实上，扭棱二十四胞体是交替 截角 的正二十四胞体[ 7]
从正八面体 经由考克斯特扭棱变换，变换为扭棱八面体的连续动画 考克斯特扭棱的定义略有不同，其将扭棱定义为截角 后交错 ，在这个定义下，扭棱立方体 被视为扭棱后的截半立方体 、扭棱十二面体 被视为扭棱后的截半十二面体 。在这种定义下命名的詹森多面体 有扭棱锲形体 和扭棱四角反角柱 。这种命名在高维多胞体中也有所使用，如扩展施莱夫利符号 记为s{3,4,3} ，并在考克斯特—迪肯符号 扭棱二十四胞体 [ 8]
一个正多面体或镶嵌若在施莱夫利符号 记为
{
p
,
q
}
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}
考克斯特—迪肯符号 截角 后的像施莱夫利符号 记为
t
{
p
,
q
}
{\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}
考克斯特—迪肯符号 施莱夫利符号 记为
h
t
{
p
,
q
}
=
s
{
p
,
q
}
{\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}
q [ 9]
一个拟正多面体 若在施莱夫利符号 记为
{
p
q
}
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}
r {p ,q }截角 的像施莱夫利符号 记为
t
{
p
q
}
{\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}
tr {p ,q }
h
t
{
p
q
}
=
s
{
p
q
}
{\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}
htr {p ,q }sr {p ,q }
例如，以开普勒 的扭棱立方体 是扭棱自拟正 的截半立方体 ，而截半立方体的竖式施莱夫利符号 记为
{
4
3
}
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}
[ 10] 考克斯特—迪肯符号 扭棱立方体 的竖式施莱夫利符号 记为
s
{
4
3
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}
[ 11] 截角截半立方体 ，截角截半立方体的竖式施莱夫利符号 记为
t
{
4
3
}
{\displaystyle t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}
[ 12] [ 13]
顶点分支度为偶数的正多面体也可以进行截角后交错的扭棱，例如扭棱八面体，施莱夫利符号
s
{
3
,
4
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}
交错 的截角八面体 施莱夫利符号
t
{
3
,
4
}
{\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}
[ 14] 伪二十面体 ，一个拓朴与正二十面体 完全相同但具备五角十二面体群对称性的立体[ 15]
考克斯特扭棱也允许将反棱柱 的施莱夫利符号 定义为
s
{
2
n
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}
[ 16] :403 或
s
{
2
,
2
n
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}
t
{
2
n
}
{\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}
t
{
2
,
2
n
}
{\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}
{
2
,
n
}
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}2,n\end{Bmatrix}}}
n面形 ，其可以视为由二角形 镶嵌球面的几何结构。
More information
扭棱多面形 , {2,2p}
图像
考克斯特
施莱夫利
s{2,4}
s{2,6}
s{2,8}
s{2,10}
s{2,12}
s{2,14}
s{2,16} s{2,∞}
sr{2,2}
s
{
2
2
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix}}}
sr{2,3}
s
{
2
3
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}}
sr{2,4}
s
{
2
4
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}}
sr{2,5}
s
{
2
5
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix}}}
sr{2,6}
s
{
2
6
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\6\end{Bmatrix}}}
sr{2,7}
s
{
2
7
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\7\end{Bmatrix}}}
sr{2,8}...
s
{
2
8
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\8\end{Bmatrix}}}
sr{2,∞}
s
{
2
∞
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\\infty \end{Bmatrix}}}
康威
A2 = T
A3 = O
A4
A5
A6
A7
A8...
A∞
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非均匀多面体也可以扭棱，但需要满足考克斯特扭棱的条件。考克斯特扭棱只能作用在顶点分支度全为偶数的立体上[ 13] 多面体 的扭棱，包括了无穷集合的立体。例如：
More information 扭棱双四角锥, 扭棱双六角锥 ...
扭棱双锥体 sdt{2,p}
扭棱双四角锥
扭棱双六角锥
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扭棱截半双锥体 srdt{2,p}
扭棱均匀星形多面体由其施瓦茨三角形 (p q r)构造，具有合理有序的镜像对称角，且所有镜像都处于活动和交替的状态[ 17]
扭棱的均匀星形多面体
s{3/2,3/2} s{(3,3,5/2)} sr{5,5/2} s{(3,5,5/3)} sr{5/2,3}
sr{5/3,5} s{(5/2,5/3,3)} sr{5/3,3} s{(3/2,3/2,5/2)}
s{3/2,5/3}
More information 原像, 截角 ...
多面体变换
原像
截角 截半 过截角 对偶
扩展 全截 交错
半变换
扭棱
t0 {p,q}
t01 {p,q} t1 {p,q} t12 {p,q} t2 {p,q} t02 {p,q} t012 {p,q} ht0 {p,q} ht12 {p,q} ht012 {p,q}
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Conway, (2008)[ 4] Conway, (2008)[ 4] Klitzing, Richard. Snubs, Alternated Facetings, & Stott-coxeter-dynkin Diagrams. Symmetry-Culture and Science (Symmetrion 29 etvs st, budapest, 1067, hungary). 2010, 21 (4): 329–344.
Heckman, Gert, coxeter groups (PDF) , 2018 [2022-08-25 ] , （原始内容存档 (PDF) 于2022-02-21） John Baez. Fool's Gold . 2011-09-11 [2022-08-25 ] . （原始内容存档 于2018-05-19）.
Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes , (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (pp. 154–156 8.6 Partial truncation, or alternation)Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter , edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）, Googlebooks [2]
(Paper 17) Coxeter , The Evolution of Coxeter–Dynkin diagrams , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248]
(Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
(Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
(Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45] Norman Johnson Uniform Polytopes , Manuscript (1991)
N.W. Johnson The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 埃里克·韦斯坦因 . Snubification . MathWorld . 
, 
...
或
or 
。[13]
...
...
