四角反棱柱

在几何学中，四角反棱柱是底面为四边形的反棱柱，是反棱柱系列中的第二个成员。 其有8个三角形侧面，再由2个四边形底面封闭。 四角反棱柱有时也被称为反立方体（anticube）。^[1]

正四角反棱柱

类别	反棱柱 柱状均匀多面体
对偶多面体	四方偏方面体
识别
名称	正四角反棱柱
参考索引	U77(b)
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	squap
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	s{2,4}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	| 2 2 4
康威表示法	A4
性质
面	10
边	16
顶点	8
欧拉特征数	F=10, E=16, V=8 （χ=2）
组成与布局
面的种类	8个三角形 2个正方形
面的布局 （英语：Face configuration）	8{3}+2{4}
顶点图	3.3.3.4
对称性
对称群	D4d, [2+,8], (2*4), order 16
旋转对称群 （英语：Rotation_groups）	D4, [4,2]+, (442), order 8
特性
凸
图像
3.3.3.4 （顶点图） 四方偏方面体 （对偶多面体） （展开图）
查 论 编

若底面为正方形、侧面为正三角形则称为正四角反棱柱，是一种半正多面体或均匀多面体，但不是阿基米德立体。

性质

四角反棱柱共由10个面、16条边和8个顶点所组成，在其10个面中，有2个正方形底面和8个三角形侧面。其8个顶点皆为1个正方形和3个三角形的公共顶点，因此所有顶解阶等价，是一种等角图形，在顶点图中可以用3.3.3.4来表示。由于四角反棱柱具有点可递的特性，因此是一种均匀多面体。其对偶多面体是四方偏方面体。

体积与表面积

若一正四角反棱柱所有面都是正多边形时，则这种立体是半正多面体也是均匀多面体，它只有一种边长，若令其为a，则其高为：

${\displaystyle h=2^{-{\frac {1}{4}}}a}$

体积${\displaystyle V}$与表面积${\displaystyle A}$为：^[2]

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}a^{3}{\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle A=2a^{2}(1+{\sqrt {3}})}$

二面角

若一正四角反棱柱所有面都是正多边形时，则这种立体的二面角能够被唯一确定。正四角反棱柱共有两种二面角，分别为正方形和三角形的二面角，以及三角形和三角形的二面角。^[3]

其中，正方形和三角形的二面角为：

${\displaystyle \angle }$正方形${\displaystyle ,}$三角形${\displaystyle \,=\arccos \left(-{\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {3}}}{3}}\right)=\arccos \left({\frac {1-{\sqrt {2}}}{\sqrt {3}}}\right)}$^[4]${\displaystyle \approx 1.81228288\approx 103.836160479^{\circ }}$

而三角形和三角形的二面角为：

${\displaystyle \angle }$三角形${\displaystyle ,}$三角形${\displaystyle \,=\arccos \left(-{\frac {2{\sqrt {2}}-1}{3}}\right)=\arccos \left({\frac {1-2{\sqrt {2}}}{3}}\right)}$^[4]${\displaystyle \approx 2.22619544\approx 127.551602906^{\circ }}$

在化学中

根据化学分子几何的价层电子对互斥理论，分子的构型会尽可能令电子对或原子之间的距离最大化，当八对电子环绕一个中心原子时，四角反棱柱的构型较为常见。具有这种分子构型的一个例子是在八氟合氙(VI)酸亚硝酰中的八氟合氙(VI)离子（XeF2−
8）；然而该分子的构型非理想的四角反棱柱，其有一定程度的扭曲。^[5]八个顶点的分子构型还有一种可能就是立方体，但很少有离子的构型是立方体的，因为这种形状会导致配体之间产生很大的排斥力，PaF3−
8离子是为数不多的例子之一^[6]。

另一种分子的原子排列方式与四角反棱柱顶点排列方式相同的分子是环八硫S₈。环八硫是硫元素最稳定的同素异形体^[7]，这个分子具有四角反棱柱的结构，其中八个原子的位置对应到四角反棱柱的八个顶点，四角反棱柱的八个三角形侧面的三角形-三角形边对应于硫原子之间的共价键，因此四角反棱柱可以用于描述环八硫的分子结构^[8]。

• 
  八氟合氙(VI)离子（XeF2−
  8）
• 
  环八硫分子

在建筑学中

世界贸易中心一号大楼的主体建筑（位于2001年9月11日倒塌的旧世贸中心旧址原址重建的大楼）是一个非常高的锥形四角反棱柱形状的建筑物^[9]。然而其不是真正的四角反棱柱，而是四角反锥台，因为他有一个锥度：其顶面正方形面积是底面正方形面积的一半。

• 
  高度较高、具锥度的四角反棱柱
  （四角反锥台）
• 
  世界贸易中心一号大楼

拓朴相同的多面体

四角反锥台

四角反锥台是指存在锥度的四角反棱柱，也就是底面积与顶面积大小不同的四角反棱柱。世界贸易中心一号大楼实际上是这种形状。^[10]

四角反棱柱 （顶面和底面全等）

四角反锥台 （顶面和底面面积不相等）

扭曲四角柱

扭曲四角柱可以利用与四角反棱柱相同的顶点布局来构造（可以是顺时针或逆时针）。其可以视为从四角反棱柱的四条棱上各移除一个四面体所构成的立体。然而，在此之后，如果不添加新顶点，就不能将其三角剖分（英语：Triangulation (geometry)）成若干四面体。扭曲四角柱具有均匀解的一半对称性：D₄群，阶数为4。^[11][12]

交叉四角反棱柱

交叉四角反棱柱是一种星形多面体，其拓朴结构等价于四角反棱柱，并且与四角反棱柱有着相同的顶点排布，但其不能成为均匀多面体，因为其侧面仅能以等腰三角形的形式存在。交叉四角反棱柱的顶点布局为3.3/2.3.4，表示其中有一个反向相接的三角形，以至于其顶点图呈现交叉四边形。其具有d_4d的二面体群对称性，阶数为8。

相关多面体及镶嵌

扭棱多面体与镶嵌家族：3.3.4.3.n

对称性 4n2 [n,4]+	球面镶嵌		欧氏镶嵌	紧凑型双曲镶嵌				仿紧型镶嵌	非紧型镶嵌
	242 [2,4]+	342 [3,4]+	442 [4,4]+	542 [5,4]+	642 [6,4]+	742 [7,4]+	842 [8,4]+...	∞42 [∞,4]+	[iπ/λ,4]+
扭棱 顶点布局	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞	3.3.4.3.∞
考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin digram） 施莱夫利符号	sr{2,4}	sr{3,4}	sr{4,4}	sr{5,4}	sr{6,4}	sr{7,4}	sr{8,4}	sr{∞,4}	rr{iπ/λ,4}
扭棱 对偶 顶点布局	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞	V3.3.4.3.∞
考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin digram）

半正反棱柱系列

2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	n
s{2,4} sr{2,2}	s{2,6} sr{2,3}	s{2,8} sr{2,4}	s{2,10} sr{2,5}	s{2,12} sr{2,6}	s{2,14} sr{2,7}	s{2,16} sr{2,8}	s{2,18} sr{2,9}	s{2,20} sr{2,10}	s{2,22} sr{2,11}	s{2,24} sr{2,12}	s{2,2n} sr{2,n}
作为球面镶嵌

参见

• 反棱柱
• 偏方面体

参考文献

1. Holleman-Wiberg. Inorganic Chemistry, Academic Press, Italy, p. 299. ISBN 0-12-352651-5.
2. Weisstein, Eric W. (编). Square Antiprism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
3. David I. McCooey. Prisms & Antiprisms: Square Antiprism. [2023-01-10]. （原始内容存档于2023-01-10）.
4. Richard Klitzing. square antiprism, squap. bendwavy.org. [2023-01-10]. （原始内容存档于2023-01-10）.
5. Peterson, W.; Holloway, H.; Coyle, A.; Williams, M. Antiprismatic Coordination about Xenon: the Structure of Nitrosonium Octafluoroxenate(VI). Science. Sep 1971, 173 (4003): 1238–1239. Bibcode:1971Sci...173.1238P. ISSN 0036-8075. PMID 17775218. S2CID 22384146. doi:10.1126/science.173.4003.1238.
6. Greenwood, Norman Neill; Earnshaw, Alan. Chemistry of the elements. 2016. ISBN 978-0-7506-3365-9. OCLC 1040112384 （英语）.
7. Steudel, R., "Homocyclic Sulfur Molecules", Topics Curr. Chem. 1982, 102, 149.
8. Constantin, Adrian and Germain, Pierre. Stratospheric planetary flows from the perspective of the Euler equation on a rotating sphere. 2021-09 [2023-01-10]. （原始内容存档于2023-01-10）.
9. If One World Trade Center is a prism and not an antiprism, would it be less in volume?. math4teaching.com. [2023-01-10]. （原始内容存档于2023-01-10）.
10. Arny Weinstein. sculpture, contemporary art. [2023-01-10]. （原始内容存档于2023-01-10）.
11. The facts on file: Geometry handbook, Catherine A. Gorini, 2003, ISBN 0-8160-4875-4, p.172
12. Pictures of Twisted Prisms. [2023-01-10]. （原始内容存档于2016-12-12）.

外部链接

• http://mathworld.wolfram.com/SquareAntiprism.html（页面存档备份，存于互联网档案馆）