施瓦茨三角形

在几何学中，施瓦茨三角形（英语：Schwarz triangle）是一个球面三角形，可用于球面镶嵌，透过在其边缘反射，但是可能会重叠。他们被归类于施瓦茨1873^[1]。

施瓦茨三角形除了可以定义在球面之外，也可以定义于欧几里得平面或双曲面，而做成便面镶嵌或双曲面镶嵌。在球面上的每个施瓦茨三角形定义了一个有限群，而在欧氏或双曲平面，则会定义出一个无限群。

施瓦茨三角形是由三个有理数(p q r)来代表每个顶点的角度。值n/d表示的顶角为半圆的d/n，“2”表是一个直角。若p、q、r皆为整数，则将其称为莫比乌斯三角形（英语：Möbius triangle）并且对应于一个没有重叠的镶嵌，其对称群称为一个三角群。在球面移共有3个莫比乌斯三角形加一个单参数族；在欧氏平面上有三个莫比乌斯三角形；而在罗氏双曲空间中有三个参数族的莫比乌斯三角形，并没有特例。

空间

施瓦茨三角形所属的空间取决于其p、q、r值：

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}>1{\text{ : }}}$　球面

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=1{\text{ : }}}$　欧氏平面

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1{\text{ : }}}$　罗氏平面（双曲面）

图形表示

施瓦茨三角形可以用三角图来表示。每个节点表示施瓦茨三角形的边（镜射）。每条边是由相应的反射阶数合理的数值标示，即π/顶点角。

Schwarz triangle (p q r) on sphere

Schwarz triangle graph

2阶边代表垂直于镜射，可以在该图中被忽略。在考克斯特 - 迪肯符号表示三角形图中会隐藏2阶边。 考克斯特组可用于更简单的符号，如(p q r)的循环图，(p q 2) = [p,q](直角三角形)，和(p 2 2) = [p]×[]。

参考文献

1. Schwarz, H. A., Ueber diejenigen Fälle in welchen die Gaussichen hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1873, 75: 292–335 [2014-05-28], ISSN 0075-4102, （原始内容存档于2020-08-09） (Note that Coxeter references this as "Zur Theorie der hypergeometrischen Reihe", which is the short title used in the journal page headers)

• Coxeter, Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (Table 3: Schwarz's Triangles)
• Wenninger, Magnus J., An introduction to the notion of polyhedral density, Spherical models, CUP Archive: 132–134, 1979, ISBN 978-0-521-22279-2

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Schwarz triangle. MathWorld.
• Klitzing, Richard. 3D The general Schwarz triangle (p q r) and the generalized incidence matrices of the corresponding polyhedra. bendwavy.org.