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“
特征向量”和“
特征空间”均重定向至此。关于机器学习中的概念,请见“
特征 (机器学习)”。
在数学上,特别是线性代数中,对于一个给定的方阵
,它的特征向量(eigenvector,也译固有向量、本征向量)
经过这个线性变换[a]之后,得到的新向量仍然与原来的
保持在同一条直线上,但其长度或方向也许会改变。即
,
为标量,即特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例,称
为其特征值(eigenvalue,也译固有值、本征值)。如果特征值为正,则表示
在经过线性变换的作用后方向也不变;如果特征值为负,说明方向会反转;如果特征值为0,则是表示缩回零点。但无论怎样,仍在同一条直线上。图1给出了一个以油画《蒙娜丽莎》为题材的例子。在一定条件下(如其矩阵形式为实对称矩阵的线性变换),一个变换可以由其特征值和特征向量完全表述,也就是说:所有的特征向量组成了这向量空间的一组基底。一个特征空间(eigenspace)是具有相同特征值的特征向量与一个同维数的零向量的集合,可以证明该集合是一个线性子空间,比如
即为线性变换
中以
为特征值的特征空间。
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Quick Facts 线性代数, 向量 ...
线性代数
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
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特征值与特征向量。在
变换的作用下,向量
仅仅在尺度上变为原来的
倍。称
是A的一个特征向量,
是对应的特征值。
图1.当蒙娜丽莎的图像左右翻转时,中间垂直的红色向量方向保持不变。而水平方向上黄色的向量的方向完全反转,因此它们都是左右翻转变换的特征向量。红色向量长度不变,其特征值为1。黄色向量长度也不变但方向变了,其特征值为-1。橙色向量在翻转后和原来的向量不在同一条直线上,因此不是特征向量。
这些概念在纯数学和应用数学的众多领域中都有重要的应用。在线性代数和泛函分析之外,甚至在一些非线性的情况下,这些概念都是十分重要的。
“特征”一词译自德语的eigen,由希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用(赫尔曼·冯·亥姆霍兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念)。eigen一词可翻译为“自身的”,“特定于...的”,“有特征的”或者“个体的”—这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的。