在数学中,点积(德语:Punktprodukt;英语:dot product)又称数量积或标量积(德语:Skalarprodukt;英语:scalar product),是一种接受两串等长的数字序列(通常是坐标向量)、返回单一数字的代数运算。[1]
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/25px-Disambig_gray.svg.png)
本文介绍向量的标量积。关于其他常称作
内积的相关二元运算,参见
内积。
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Quick Facts 线性代数, 向量 ...
线性代数
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
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在欧几里得几何里,两条笛卡尔坐标向量的点积常称为内积(德语:inneres Produkt;英语:inner product)。点积是内积的一种特殊形式:内积是点积的抽象,内积是一种双线性函数,点积是欧几里得空间(内积空间)的度量。
从代数角度看,先求两数字序列中每组对应元素的积,再求所有积之和,结果即为点积。从几何角度看,点积则是两向量的长度与它们夹角余弦的积。这两种定义在笛卡尔坐标系中等价。
点积的名称源自表示点乘运算的点号(
),读作a dot b
,标量积的叫法则是在强调其运算结果为标量而非向量。向量的另一种乘法是叉乘(
),读作a cross b
,其结果为向量,称为叉积或向量积。
点积有两种定义方式:代数方式和几何方式。通过在欧氏空间中引入笛卡尔坐标系,向量间的点积既可以由向量坐标的代数运算得出,也可以通过引入两向量的长度和角度等几何概念来求解。
向量
和
的点积定义为:
![{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7de7b9aa6a9bbc6f6435c24173c0597464c8420)
这里的Σ是求和符号,而n是向量空间的维度。
例如,三维向量
和
的点积是
![{\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5bdd19a0812e351fb5bd137bc5851a53a6e04d)
点积还可以写为:
。
这里,
是列向量
的转置。
使用上面的例子,1×3矩阵(列向量)乘以3×1矩阵(行向量)的行列式就是结果(通过矩阵乘法得到1×1矩阵):
。
点积的两种定义中,只需给定一种定义,另外一种定义就可以推出。
设
是
空间的一组标准正交基,可以得出:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=[a_{1},\dots ,a_{n}]=\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {B} &=[b_{1},\dots ,b_{n}]=\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081cf59a9916474dd8be6db78cfd048c53b48661)
上文中已经得知两条向量点积的几何定义实际上就是一条向量在另外一条向量上的投影,故
在任一标准基
的点积
就是
在此标准基向量上的投影,而根据向量自身的定义,这个投影即为
。因此:
![{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b2ab100bc462c996e85c36782432fb96894bae)
矩阵具有弗罗比尼乌斯内积,可以类比于向量的内积。它被定义为两个相同大小的矩阵A和B的对应元素的内积之和。
复矩阵情况下:
![{\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\mathrm {tr} (\mathbf {B} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {H} }).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b223632f012887d329e41b69aa481121f7e1e87)
实矩阵情况下:
![{\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\mathrm {tr} (\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {T} })=\mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b49c10f54ebdeab1153dd6e81ce4d1d2999c451)
物理学中力学的力做功的问题,经常用到点积计算。
计算机图形学常用来判断方向,如两向量点积大于0,则它们的方向朝向相近;如果小于0,则方向相反。
向量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一。
此方法用于动画渲染(Animation-Rendering)。
同济大学数学系 .工程数学:线性代数(第六版).高等教育出版社.2014