正交

此条目介绍的是线性代数中的概念和分子生物学中的概念。关于遗传学中的概念，请见“杂交种”。

正交（英语：Orthogonality）是线性代数的概念，是垂直这一直观概念的推广。作为一个形容词，只有在一个确定的内积空间中才有意义。若内积空间中两向量的内积为0，则称它们是正交的。如果能够定义向量间的夹角，则正交可以直观的理解为垂直。物理中：运动的独立性，也可以用正交来解释。

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
向量 · 向量空间 · 基底  · 行列式  · 矩阵
向量 标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积（向量积 · 七维向量积） · 内积（数量积） · 二重向量 矩阵与行列式 矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 单位矩阵 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 （LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解） · 子式和余子式 · 拉普拉斯展开 · 克罗内克积 线性空间与线性变换 线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化
查 论 编

线段AB与CD彼此正交

各种正交概念

正交子空间

若某空间（此空间为内积空间）中两向量的内积为0，则它们正交。类似地，若某空间（内积空间）中的向量v与子空间A中的每个向量都正交，那么这个向量和子空间A正交。若内积空间的子空间A和B满足一者中的每个向量都与另一者正交，那么它们互为正交子空间。

正交变换

正交变换${\displaystyle T:V\rightarrow V}$是保持内积的线性变换。即是说，对两个向量，它们的内积等于它们在函数T下的内积：

${\displaystyle \langle Tx,Ty\rangle =\langle x,y\rangle .}$

这也就是说，正交变换保持向量的长度不变，也保持两个向量之间的角度不变。

正交圆

对两个相交的圆，如果其中一个交点到两圆圆心的连线互相垂直，则称两圆分别正交，为彼此的正交圆。以任一圆圆心为反演中心，其半径为反演半径，另一圆反演变换后的图像不变^[1]。

欧几里得空间的例子

在二维或三维的欧几里得空间中，两个向量正交当且仅当他们的点积为零，即它们成90°角。可以看出正交的概念正是在此基础上推广而来的。三维空间中，一条直线的正交子空间是一个平面，反之亦然。四维空间中，一条直线的正交子空间则是一个超平面。

正交函数集

对于两个函数f 和g，可以定义如下的内积：

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx.}$

这里引进一个非负的权函数${\displaystyle w(x)}$。这个内积叫做带权${\displaystyle w(x)}$的内积。

两个函数带权${\displaystyle w(x)}$正交，是指它们带权${\displaystyle w(x)}$的内积为零。

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx=0.}$

由此可以类似定义带权${\displaystyle w(x)}$的模。

${\displaystyle ||f||_{w}={\sqrt {\langle f,f\rangle _{w}}}}$

一个函数列{ f_i : i = 1, 2, 3, ... }如果满足：

${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f_{i}(x)f_{j}(x)w(x)\,dx=||f_{i}||^{2}\delta _{i,j}=||f_{j}||^{2}\delta _{i,j}}$

其中

${\displaystyle \delta _{i,j}={\begin{cases}1&\mathrm {if} \ i=j\\0&\mathrm {if} \ i\neq j\end{cases}}}$

为克罗内克函数， 那么{ f_i}就称为带权${\displaystyle w(x)}$的正交函数族。

进一步地，如果{ f_i}满足：

${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f_{i}(x)f_{j}(x)w(x)\,dx=\delta _{i,j}}$

就称{ f_i}为带权${\displaystyle w(x)}$的标准正交函数族。

参见正交多项式。

分子生物学中的概念

和线性代数中的概念类似，在分子生物学中也称互相独立的元件称为互相正交的。在设计各种分子生物学体系时，希望使用的元件之间的相互干扰尽可能的少，因为这有利于精确地调控细胞内各组分的活性。比如，在涉及到基因时，两个正交的转录因子的启动子应该都不被对方的表达影响。^[2]2017年Gita Naseri等将来自拟南芥的转录因子(TF)用于酵母系统中，并利用与宿主细胞正交的外源系统将元件的表达和降解从宿主细胞中隔离开来。^[3] 类似地，为了避免对宿主细胞产生毒性，Christopher Voigt等通过生物学信息挖掘的方式设计出了毒性更小的T7 RNAP，并衍生出四个具有互不干扰的 T7 RNAP 变体。^[4]

正交的概念不仅限于基因层次，也适合于翻译层次和蛋白质调控网络层次。2014年Alexander等从头设计了一类在原核生物中存在的核糖体开关，其可以用任意序列的RNA来激活触发目标mRNA的翻译。他们把这种开关称为Toehold开关，并且证明其不同序列之间互不触发，也即具有极高的正交性。他们能够利用这种正交性独立调节12个基因。^[5]2016年Wendell Lim等将Notch受体其胞外配体结合域和胞内转录调控因子域进行替换，理性设计出功能上互相正交的、在多种细胞系均可工作的人工合成的Notch受体，这是蛋白质调控层次的上正交性的一种体现。^[6]与上例相似，2018年Michael Elowitz等也利用正交的病毒蛋白酶来设计蛋白质调控网络，并实现了动态信号处理。^[7]

讯号处理中的正交转换的例子及优点

正交转换例子:

• Discrete Fourier transform
• Discrete cosine, sine, Hartley transforms
• Walsh Transform, Haar Transform
• discrete Legendre transform
• discrete orthogonal polynomial transforms
• Hahn, Meixner, Krawtchouk, Charlier

正交转换最大好处:

1. 可以完整了解讯号的完整度
2. 讯号彼此不影响
3. 确保近似误差最小化
4. 正转换跟反转换的架构是相似的

注释

1. Chen, Evan. Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. 2016: 156–157. ISBN 978-1-61444-411-4.
2. Lou, Chunbo; Ouyang, Qi; Guo, Xian; Hou, Junran; Ji, Xiangyu; Lyu, Cheng; Zhang, Haoqian M.; Zong, Yeqing. Insulated transcriptional elements enable precise design of genetic circuits. Nature Communications. 2017-07-03, 8 (1): 52 [2019-01-24]. ISSN 2041-1723. doi:10.1038/s41467-017-00063-z. （原始内容存档于2020-06-11） （英语）.
3. Naseri, Gita; Balazadeh, Salma; Machens, Fabian; Kamranfar, Iman; Messerschmidt, Katrin; Mueller-Roeber, Bernd. Plant-Derived Transcription Factors for Orthologous Regulation of Gene Expression in the Yeast Saccharomyces cerevisiae. ACS Synthetic Biology. 2017-09-15, 6 (9): 1742–1756. doi:10.1021/acssynbio.7b00094.
4. Segall-Shapiro, Thomas H; Meyer, Adam J; Ellington, Andrew D; Sontag, Eduardo D; Voigt, Christopher A. A ‘resource allocator’ for transcription based on a highly fragmented T7 RNA polymerase. Molecular Systems Biology. 2014-07-30, 10 (7): 742 [2019-01-24]. ISSN 1744-4292. PMC 4299498 . PMID 25080493. doi:10.15252/msb.20145299. （原始内容存档于2021-02-25）.
5. Green, Alexander A.; Silver, Pamela A.; Collins, James J.; Yin, Peng. Toehold Switches: De-Novo-Designed Regulators of Gene Expression. Cell. 2014-11-06, 159 (4): 925–939 [2019-01-24]. ISSN 0092-8674. PMC 4265554 . PMID 25417166. doi:10.1016/j.cell.2014.10.002. （原始内容存档于2021-02-06）.
6. Roybal, Kole T.; Williams, Jasper Z.; Morsut, Leonardo; Rupp, Levi J.; Kolinko, Isabel; Choe, Joseph H.; Walker, Whitney J.; McNally, Krista A.; Lim, Wendell A. Engineering T cells with Customized Therapeutic Response Programs Using Synthetic Notch Receptors. Cell. 2016-10-06, 167 (2): 419–432.e16 [2019-01-24]. ISSN 0092-8674. PMC 5072533 . PMID 27693353. doi:10.1016/j.cell.2016.09.011. （原始内容存档于2021-05-25）.
7. Elowitz, Michael B.; Kim, Matthew S.; Chong, Lucy S.; Gao, Xiaojing J. Programmable protein circuits in living cells. Science. 2018-09-21, 361 (6408): 1252–1258 [2019-01-24]. ISSN 1095-9203. PMID 30237357. doi:10.1126/science.aat5062. （原始内容存档于2021-03-02） （英语）.

延伸阅读

• Chapter 4 – Compactness and Orthogonality （页面存档备份，存于互联网档案馆） in The Art of Unix Programming

参阅

• 正交化
  • Gram-Schmidt正交化
• 正交分解
• 正交矩阵
• 正交基
• 垂直