向量空间

向量空间是一群可缩放和相加的数学实域（如实数甚至是函数）所构成的特殊集合，其特殊之处在于缩放和相加后仍属于这个集合。这些数学实域被称为向量，而向量空间正是线性代数的主要研究对象。

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
向量 · 向量空间 · 基底  · 行列式  · 矩阵
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查 论 编

向量空间是可以缩放和相加的（叫做向量的）对象的集合

正式定义

给定域 ${\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)}$ 和某集合 ${\displaystyle V}$ ，它们具有了以下两种运算（函数）：^[1]

• 向量加法 ${\displaystyle \oplus :V\times V\to V}$ （其中 ${\displaystyle \oplus (u,\,v)}$ 惯例上简记为 ${\displaystyle u\oplus v}$ ）
• 标量乘法 ${\displaystyle \cdot :K\times V\to V}$ （其中 ${\displaystyle \cdot \,(a,\,v)}$ 惯例上简记为 ${\displaystyle a\cdot v}$ 甚至是 ${\displaystyle av}$ ）

且这两种运算满足：（特别注意 ${\displaystyle +}$ 和 ${\displaystyle \times }$ 是域 ${\displaystyle K}$ 是本身具有的加法和乘法）

名称		前提条件	内容
向量加法	的单位元与逆元素	存在 ${\displaystyle V}$ 的元素 ${\displaystyle e\in V}$ 对所有 ${\displaystyle u\in V}$	有 ${\displaystyle e\oplus u=u\oplus e=u}$
			且存在 ${\displaystyle w\in V}$ 使得 ${\displaystyle w\oplus u=u\oplus w=e}$
	的结合律	对所有 ${\displaystyle u,\,v,\,w\in V}$	${\displaystyle u\oplus (v\oplus w)=(u\oplus v)\oplus w}$
	的交换律	对所有 ${\displaystyle u,\,v\in V}$	${\displaystyle u\oplus v=v\oplus u}$
标量乘法	的单位元	对所有 ${\displaystyle u\in V}$	若 ${\displaystyle 1_{K}\in K}$ 是 ${\displaystyle K}$ 的乘法单位元，则 ${\displaystyle 1_{K}\cdot u=u}$
	对向量加法的分配律	对所有 ${\displaystyle u,\,v\in V}$ 和所有 ${\displaystyle a\in K}$	${\displaystyle a\cdot (u\oplus v)=a\cdot u\oplus a\cdot v}$
	对域加法的分配律	对所有 ${\displaystyle u\in V}$ 和所有 ${\displaystyle a,\,b\in K}$	${\displaystyle (a+b)\cdot u=a\cdot u\oplus b\cdot u}$
	与域乘法		${\displaystyle a\cdot (b\cdot u)=(a\times b)\cdot v}$

这样称 “ ${\displaystyle V}$ 为定义在域 ${\displaystyle K}$ 上的向量空间”，而 ${\displaystyle V}$ 里的元素 ${\displaystyle u\in V}$ 被称为向量；域 ${\displaystyle K}$ 里的元素 ${\displaystyle a\in K}$ 被称为标量。这样域 ${\displaystyle K}$ 就是囊括所有标量的集合，所以为了解说方便，有时会将 ${\displaystyle K}$ 昵称为标量域或是标量母空间。在不跟域的加法混淆的情况下，向量加法 ${\displaystyle \oplus }$ 也可以简写成 ${\displaystyle +}$ 。

前四个条件规定 ${\displaystyle \left(V,\,\oplus \right)}$ 是交换群。上述的完整定义也可以抽象地概述成“ ${\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)}$ 是个域，且 ${\displaystyle V}$ 是一个 ${\displaystyle K-}$模”。

基本性质

以下定理都沿用正式定义一节的符号与前提条件。

定理 （1） — 向量加法的单位元是唯一的。

以上的定理事实上继承自群的单位元唯一性。这样的话，可以仿造群的习惯以记号 ${\displaystyle 0_{V}}$ 代表“向量加法 ${\displaystyle \oplus }$ 的唯一单位元”，并称之为 ${\displaystyle V}$ 的零向量。

在不跟标量域的加法单位元 ${\displaystyle 0_{K}\in K}$ 混淆的情况下，零向量 ${\displaystyle 0_{V}\in V}$ 也可以简写成 ${\displaystyle 0}$ 。

定理 （2） — 任意向量的向量加法逆元素是唯一的。

以上的定理事实上继承自群的逆元唯一性，这样的话，可以仿造群的习惯以 ${\displaystyle u^{-1}}$ 代表“向量 ${\displaystyle u}$ 在向量加法 ${\displaystyle \oplus }$ 下的唯一逆元素”，甚至可以把 ${\displaystyle v\oplus u^{-1}}$ 简记为 ${\displaystyle v\ominus u}$ ，并昵称为向量减法。在不跟标量的加法混淆的情况下， ${\displaystyle u^{-1}}$ 也可记为 ${\displaystyle -u}$ ； ${\displaystyle v\ominus u}$ 也可记为 ${\displaystyle v-u}$ 。

定理 （3） — 对所有的标量 ${\displaystyle a\in K}$ 都有 ${\displaystyle a\cdot 0_{V}=0_{V}}$ 。（零向量的伸缩还是零向量）

证明

考虑到标量乘法对向量加法的分配律和零向量的性质会有

${\displaystyle a\cdot 0_{V}=a\cdot (0_{V}+0_{V})=a\cdot 0_{V}+a\cdot 0_{V}}$

那取向量 ${\displaystyle u\in V}$ 为 ${\displaystyle a\cdot 0_{V}}$ 的向量加法逆元素，配上向量加法的结合律和单位元的定义会有

${\displaystyle {\begin{aligned}0_{V}&=u+a\cdot 0_{V}\\&=u+(a\cdot 0_{V}+a\cdot 0_{V})\\&=(u+a\cdot 0_{V})+a\cdot 0_{V}\\&=0_{V}+a\cdot 0_{V}\\&=a\cdot 0_{V}\\\end{aligned}}}$

故得证。${\displaystyle \Box }$

定理 （4） — 对所有的向量 ${\displaystyle u\in V}$ ，若标量 ${\displaystyle 0_{K}\in K}$ 是域加法的单位元，则 ${\displaystyle 0_{K}\cdot u=0_{V}}$ 。

证明

考虑到域 ${\displaystyle K}$ 自身的定义，还有标量乘法对域加法的分配律的话有

${\displaystyle 0_{K}\cdot u=(0_{K}+0_{K})\cdot u=0_{K}\cdot u+0_{K}\cdot u}$

那取向量 ${\displaystyle w\in V}$ 为 ${\displaystyle 0_{K}\cdot u}$ 的向量加法逆元素，配上向量加法的结合律和单位元的定义会有

${\displaystyle 0_{V}=w+0_{K}\cdot u=w+(0_{K}\cdot u+0_{K}\cdot u)=(w+0_{K}\cdot u)+0_{K}\cdot u=0_{V}+0_{K}\cdot u=0_{K}\cdot u}$

故得证。${\displaystyle \Box }$

定理 （5） — 对所有的向量 ${\displaystyle u\in V}$ 和标量 ${\displaystyle a\in K}$ ，如果 ${\displaystyle a\cdot u=0_{V}}$ ，则 ${\displaystyle u=0_{V}}$ 或 ${\displaystyle a=0_{K}}$ ( 其中 ${\displaystyle 0_{K}\in K}$ 是域加法的单位元)。

证明

若 ${\displaystyle K=\{0_{K}\}}$ ，根据定理(3)本定理显然成立。下面只考虑 ${\displaystyle K\neq \{0_{K}\}}$ 的状况。

假设存在向量 ${\displaystyle u\in V}$ 和标量 ${\displaystyle a\in K}$ 满足 ${\displaystyle u\neq 0_{V}}$ 且 ${\displaystyle a\neq 0_{K}}$ ，但 ${\displaystyle a\cdot u=0_{V}}$ 。若以 ${\displaystyle 1_{K}\in K}$ 表示域的乘法单位元，那根据其性质与和定义关于标量乘法单位元的部分会有

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=1_{K}\cdot u\\&=(a\times {\frac {1}{a}})\cdot u\end{aligned}}}$

那再根据定义关于标量乘法与域乘法的部分，还有域乘法的交换律会有

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=(a\times {\frac {1}{a}})\cdot u\\&=({\frac {1}{a}}\times a)\cdot u\\&={\frac {1}{a}}\cdot (a\cdot u)\end{aligned}}}$

那再套用定理(3)和前提假设会有

${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {1}{a}}\cdot (a\cdot u)\\&={\frac {1}{a}}\cdot 0_{V}\\&=0_{V}\end{aligned}}}$

这跟前提假设是矛盾的，所以根据反证法和德摩根定理，对所有向量 ${\displaystyle u\in V}$ 和所有标量 ${\displaystyle a\in K}$ ，只有可能“ ${\displaystyle u=0_{V}}$ 或 ${\displaystyle a=0_{K}}$ ”或“${\displaystyle a\cdot u\neq 0_{V}}$”，但这段叙述正好等价于定理想证明的，故得证。${\displaystyle \Box }$

定理 （6） — 如果 ${\displaystyle -a\in K}$ 是 ${\displaystyle a\in K}$ 的域加法逆元素，那对所有的向量 ${\displaystyle u\in V}$ ，${\displaystyle a\cdot u}$ 的向量加法逆元素必为 ${\displaystyle -a\cdot u}$ 。

证明

以下设标量 ${\displaystyle 0_{K}\in K}$ 是域加法的单位元。

考虑到域 ${\displaystyle K}$ 自身的定义，还有标量乘法对域加法的分配律会有

${\displaystyle 0_{K}\cdot u=(-a+a)\cdot u=-a\cdot u+a\cdot u}$

${\displaystyle 0_{K}\cdot u=[a+(-a)]\cdot u=a\cdot u+(-a)\cdot u}$

然后考虑到前面的定理(4)，就有

${\displaystyle 0_{V}=0_{K}\cdot u=-a\cdot u+a\cdot u}$

${\displaystyle 0_{V}=0_{K}\cdot u=a\cdot u+(-a)\cdot u}$

然后考虑到定理(2)保证的逆元素唯一性，就可以知道向量 ${\displaystyle a\cdot u}$ 的加法逆元素必为 ${\displaystyle -a\cdot u}$ 。${\displaystyle \Box }$

系理 — 如果 ${\displaystyle {-1}_{K}\in K}$ 是域加法单位元 ${\displaystyle 1_{K}\in K}$ 的域加法逆元素，那对所有的向量 ${\displaystyle u\in V}$ ，其向量加法逆元素必为 ${\displaystyle {-1}_{K}\cdot u}$ 。

额外结构

研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下：

• 一个实数或复数向量空间加上长度概念（就是范数）则成为赋范向量空间。
• 一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念则成为内积空间。
• 一个向量空间加上拓扑结构并满足连续性要求（加法及标量乘法是连续映射）则成为拓扑向量空间。
• 一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）则成为域代数。

例子

对一般域F，V记为F-向量空间。若F是实数域ℝ，则V称为实数向量空间；若F是复数域ℂ，则V称为复数向量空间；若F是有限域，则V称为有限域向量空间。

最简单的F-向量空间是F自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域ℝ时，可以验证对任意实数a、b以及任意实数u、v、w，都有：

1. u + (v + w) = (u + v) + w，
2. v + w = w + v，
3. 零元存在：零元0满足：对任何的向量元素v，v + 0 = v，
4. 逆元素存在：对任何的向量元素v，它的相反数w = −v就满足v + w = 0。
5. 标量乘法对向量加法满足分配律：a(v + w) = a v + a w.
6. 向量乘法对标量加法满足分配律：(a + b)v = a v + b v.
7. 标量乘法与标量的域乘法相容：a(bv) =(ab)v。
8. 标量乘法有单位元：ℝ中的乘法单位元，也就是实数“1”满足：对任意实数v，1v = v。

更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点${\displaystyle P}$都有一个坐标${\displaystyle P(x,y)}$，并对应着一个向量${\displaystyle (x,y)}$。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组${\displaystyle (x,y)}$。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。

同样地，高维的欧几里得空间ℝⁿ也是向量空间的例子。其中的向量表示为${\displaystyle v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}$，其中的${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}$都是实数。定义向量的加法和标量乘法是：

${\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} ,\,v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\,w=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$， ${\displaystyle v+w=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots ,a_{n}+b_{n})}$ ${\displaystyle \lambda v=\lambda (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\cdots ,\lambda a_{n})}$

可以验证这也是一个向量空间。

再考虑所有系数为实数的多项式的集合${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法，${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

方程组与向量空间

向量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是0的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：

${\displaystyle 3x+2y-z=0}$

${\displaystyle x+5y+2z=0}$

如果${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$和${\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}$都是解，那么可以验证它们的“和”${\displaystyle (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})}$也是一组解，因为：

${\displaystyle 3(x_{1}+x_{2})+2(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(3x_{1}+2y_{1}-z_{1})+(3x_{2}+2y_{2}-z_{2})=0}$

${\displaystyle (x_{1}+x_{2})+5(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+5y_{1}+2z_{1})+(x_{2}+5y_{2}+2z_{2})=0}$

同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。

一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。

对于齐次线性微分方程，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程：

${\displaystyle f''+4xf'+\cos(x)f=0}$

出于和上面类似的理由，方程的两个解${\displaystyle f_{1}}$和${\displaystyle f_{2}}$的和函数${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。

子空间基底

如果一个向量空间V的一个非空子集合W对于V的加法及标量乘法都封闭（也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中），那么将W称为V的线性子空间（简称子空间）。V的子空间中，最平凡的就是空间V自己，以及只包含0的子空间${\displaystyle {0}}$。

给出一个向量集合B，那么包含它的最小子空间就称为它的生成子空间，也称线性包络，记作span(B)。

给出一个向量集合B，若它的生成子空间就是向量空间V，则称B为V的一个生成集。如果一个向量空间V拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称V是一个有限维空间。

可以生成一个向量空间V的线性无关子集，称为这个空间的基。若V={0}，约定唯一的基是空集。对非零向量空间V，基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后，空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。如果能够把基中元素按下标排列：${\displaystyle \mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots \right\}}$，那么空间中的每一个向量v便可以通过座标系统来呈现：

${\displaystyle v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}+\cdots }$

这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明，一个向量空间的所有基都拥有相同基数，称为该空间的维度。当V是一个有限维空间时，任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如，各种实数向量空间：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ^∞,…中， ℝⁿ的维度就是n。在一个有限维的向量空间（维度是n）中，确定一组基${\displaystyle \mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\right\}}$，那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说，如果某个向量v表示为：

${\displaystyle v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}}$

那么v可以用数组${\displaystyle v=(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})}$来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：

${\displaystyle e_{1}=(1,0,\cdots ,0)}$ ${\displaystyle e_{2}=(0,1,\cdots ,0)}$ ${\displaystyle e_{n}=(0,0,\cdots ,1)}$

可以证明，存在从任意一个n维的${\displaystyle \mathbf {F} }$-向量空间到空间${\displaystyle \mathbf {F} ^{n}}$的双射。这种关系称为同构。

线性映射

给定两个系数域都是F的向量空间V和W,定义由V到W的线性变换（或称线性映射）为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f：

${\displaystyle f:\,V\rightarrow W}$ ${\displaystyle \forall a\in F,u,v\in V,\,f(u+v)=f(u)+f(v),\,f(a\cdot v)=a\cdot f(v)}$

所有线性变换的集合记为${\displaystyle {\mathcal {L}}(V,W)}$，这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后，${\displaystyle {\mathcal {L}}(V,W)}$中的线性变换可以通过矩阵来表示。

如果两个向量空间V和W之间的一个线性映射是一一映射，那么这个线性映射称为（线性）同构，表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之间存在同构，那么称这两个空间为同构的。如果向量空间V和W之间存在同构${\displaystyle f:\,V\rightarrow W}$，那么其逆映射${\displaystyle g:\,W\rightarrow V}$也存在，并且对所有的${\displaystyle x\in V,\,y\in W}$，都有：

${\displaystyle g\circ f(x)=x,\,f\circ g(y)=y}$

参考文献

• 《中国大百科全书》
• Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
• Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
• Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
• Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
• Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8

参考资料

1. Roman 2005, ch. 1, p. 27

外部链接