截半二十面体

在几何学中，截半二十面体是一种由正五边形和正三角形组成的三十二面体^[1]，是一种阿基米德立体。其每个顶点都是2个三角形和2个五边形的公共顶点、每条棱都是三角形和五边形交棱，因此具有每个顶角相等和二面角相等的性质，因此截半二十面体是半正多面体也是拟正多面体。

截半二十面体

(按这里观看旋转模型)
类别	半正多面体
对偶多面体	菱形三十面体
识别
名称	截半二十面体
参考索引	U24, C28, W12
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	id
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\5\end{Bmatrix}}}$ r{5,3} t1{5,3}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	2 | 3 5
康威表示法	aD
性质
面	32
边	60
顶点	30
欧拉特征数	F=32, E=60, V=30 （χ=2）
组成与布局
面的种类	正三角形 正五边形
面的布局 （英语：Face configuration）	20个{3} 12个{5}
顶点图	3.5.3.5
对称性
对称群	Ih群
特性
quasiregular
图像
3.5.3.5 （顶点图） 菱形三十面体 （对偶多面体） （展开图）
查 论 编

性质

截半二十面体每个顶点都是2个三角形和2个五边形的公共顶点，其顶点图可以用 ${\displaystyle 3{.}5{.}3{.}5}$ 表示，也可以简写为 ${\displaystyle \left(3\,{.}\,5\right)^{2}}$ ^[2]。

截半二十面体每十条棱可以成为一个正十边形，共有六个独立的十边形。而这六个独立的十边形也可以独立地与立体中的三角形或五边形单独构成星形多面体。

体积与表面积

边长为a的截半二十面体的表面积约为${\displaystyle 29.3059828a^{2}}$、体积约为${\displaystyle 13.8355259a^{3}}$，可由下列算式计算^[3]：

${\displaystyle A=\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5}}{\sqrt {3+4\phi }}\right)a^{2}}$ ${\displaystyle =\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 29.3059828a^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\left(14+17\phi \right)a^{3}={\frac {1}{6}}\left(45+17{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 13.8355259a^{3}.}$

二面角

截半二十面体是一种棱可递的多面体，即每个棱、二面角以及组成二面角的两个面和其他棱的组成都具相同的性质，因此其具有所有二面角相等的性质。截半二十面体的二面角为^[4]：

${\displaystyle \arccos {(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}})}\approx 142.62^{\circ }}$

顶点坐标

边长为单位长且几何中心位于原点的截半二十面体，其顶点坐标为^[5][6]：

${\displaystyle \left(0\,,0\,,\pm \varphi \right)}$^[7]

(±1/2, ±φ/2, ±1 + φ/2)^[7]

其中φ是黄金比例，值为${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$。

作法

将一个正十二面体或正二十面体进行截半变换即可得到一个截半二十面体，因此截半二十面体又称截半十二面体，即截半与对偶截半等价。

正交投影

截半二十面体有四种具有特殊对称性的正交投影，分别是顶点为中心、边为中心、三角形面为中心以及五边形面为中心。所述后者两种正交投影，其对称性对应于A₂ 和 H₂的考克斯特平面^[8]。

截半二十面体的正交投影

建立于	顶点	边	三角形面	五边形面
图像
投影对称性	${\displaystyle \left[2\right]}$	${\displaystyle \left[2\right]}$	[6]	[10]
对偶图像

相关多面体及镶嵌

相关多面体

有八种均匀的星形多面体以及2种复合多面体与截半二十面体有着相同的顶点排布：

原始形状	星形	截半二十面体	小二十面半十二面体[9]	小十二面半十二面体[9]
星形多面体		大截半二十面体	大十二面半十二面体	大二十面半十二面体
		十二合十二面体	小十二面半二十面体	大十二面半二十面体
复合多面体		五复合正八面体	五复合四面半六面体

截半二十面体是正二十面体经过截半变换后的结果，其他也是由正二十面体透过康威变换得到的多面体有：

正二十面体家族半正多面体

对称群: [5,3]（英语：Icosahedral symmetry）, (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t0,1{5,3}	t1{5,3}	t0,1{3,5}	{3,5}	t0,2{5,3}	t0,1,2{5,3}	s{5,3}
半正多面体对偶
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

参见

• 正十二面体
• 正二十面体

参考文献

1. Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, p. 137, 1987. ISBN 978-0486253572
2. Cundy, H. and Rollett, A. "Icosidodecahedron. (3.5)²." §3.7.8 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 108, 1989.
3. Weisstein, Eric W. (编). Icosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
4. Archimedean Solids: Icosidodecahedron. dmccooey.com. （原始内容存档于2016-03-24）.
5. The Icosidodecahedron. eusebeia. [2016-08-30]. （原始内容存档于2016-12-03）.
6. Weisstein, Eric W. (编). Icosahedral group. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
7. Klitzing, Richard. icosidodecahedron: o3x5o - id. bendwavy.org. [2016-08-30]. （原始内容存档于2016-03-24）.
8. Coxeter Planes （页面存档备份，存于互联网档案馆） and More Coxeter Planes （页面存档备份，存于互联网档案馆） 约翰·史坦布里奇（英语：John Stembridge）
9. icosidodecahedron:Id-facetings. polyedergarten. [2016-08-30]. （原始内容存档于2017-01-11）.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因, 截半二十面体 （参阅阿基米德立体） 于MathWorld（英文）
• Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra o3x5o - id. bendwavy.org.
• Editable printable net of an icosidodecahedron with interactive 3D view （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The Uniform Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Virtual Reality Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆） The Encyclopedia of Polyhedra