负整数

负整数，在数学中是指小于0的整数。负整数是负数与整数的交集。和整数一样，负整数也是一个可数的无限集合。这个集合在数学上通常用粗体Z^-或${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$来表示。^[1]在任何大于0的自然数前面加上性质符号“−”，所得的数即为负整数，例如−1、−2、−3等。负整数可以被认为是自然数的扩展。负整数与0则统称为非正整数。

各种各样的数

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代数数 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 复数 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 负数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 负整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分数 单位分数 二进分数 规矩数 无理数 超越数 虚数 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次无理数 艾森斯坦整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元数 四元数 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元数 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超实数 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大实数 上超实数 双曲复数 双复数 复四元数 共四元数（英语：Dual quaternion） 超复数 超数 超现实数

其他

质数 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可计算数 基数 阿列夫数 同余 整数数列 公称值 规矩数 可定义数 序数 超限数 p进数 数学常数 圆周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然对数的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虚数单位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 无限大 ${\displaystyle \infty }$

查 论 编

性质

负整数是指小于零的整数^{[注 1]}。负整数存在最大值负一，但不存在最小值；负整数与负整数的和仍是负整数，而负整数与负整数的积会变为正整数。

负整数的平方

由于负整数与负整数的积会变为正整数，因此负整数的平方与其相反数的平方数相同

${\displaystyle {(-n)}^{2}={n}^{2}}$

负整数的方根

若不考虑复数，负整数不能取平方根，但能够取奇数次的方根。在复数域中，负整数的平方根为其相反数平方根的虚数单位倍。

${\displaystyle {\sqrt {-n}}=i{\sqrt {n}}}$

负整数的对数

在实数域中，负整数的对数不存在。但在复数域，根据欧拉恒等式${\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}$，可以得出-1的自然对数${\displaystyle \ln {(-1)}=i\pi }$，再依据对数性质${\displaystyle \log _{\alpha }MN=\log _{\alpha }\!M+\log _{\alpha }\!N}$，负整数的对数${\displaystyle \ln {(-n)}=\ln {(-1\times n)}=\ln {(-1)}+\ln {(n)}}$，得到：

${\displaystyle \ln {(-n)}=\ln {(n)}+i\pi }$

负整数的因数

负整数的正因数与其相反数的正因数相同^[2]。在质因数分解中，能够透过将负一提出来完成质因数分解^[3][4]，而除了-1外，其他的质因数亦与其相反数相同。

部分的负整数

-1

参见：-1

• 负数单位。
• 最大的负整数、最大的负奇数。
• 平方根为虚数单位。

-2

参见：-2

• 负数，因数有-2、-1、1和2。

  质因数分解，${\displaystyle -1\times 2}$。

• 最大的负偶数。
• 立方体下闭集合中欧拉示性数的最小值^[5]。

-3

参见：-3

• 负数，因数有-3、-1、1和3。

  质因数分解，${\displaystyle -1\times 3}$。

• 负三分贝为半能点。
• 二次域${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]}$为简单欧几里得整环。^{[注 2]}
• 四维超立方体（或四维超方形）下闭集合中欧拉示性数的最小值^[5]

-4

• 负数，因数有-4、-2、-1、1、2和4。

  质因数分解，${\displaystyle -1\times 2^{2}}$。

• 五维超立方体（或五维超方形）下闭集合中欧拉示性数的最小值^[5]
• 平方根为2i

-6

• 负数，因数有-6、-3、-2、-1、1、2、3和6。

  质因数分解，${\displaystyle -1\times 2\times 3}$。

• 广义的三角形数、广义的六边形数与双Pochhammer三角形（Double Pochhammer triangle）（OEIS数列A039683）。

-7

• 负数，因数有-7、-1、1和7。

  质因数分解，${\displaystyle -1\times 7}$。

• 二次域${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-7}}]}$为简单欧几里得整环。^{[注 2]}

-10

• 负数，因数有-10、-5、-2、-1、1、2、5和10。

  质因数分解，${\displaystyle -1\times 2\times 5}$。

• 六维超立方体（英语：6-cube）（或六维超方形）下闭集合中欧拉示性数的最小值^[5]

-11

• 负数，因数有-11、-1、1和11。

  质因数分解，${\displaystyle -1\times 11}$。

• 二次域${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-11}}]}$为简单欧几里得整环。^{[注 2]}

-14

• 负数，因数有-14、-7、-2、-1、1、2、7和14。

  质因数分解，${\displaystyle -1\times 2\times 7}$。

• -14是Glaisher's chi数（OEIS数列A002171）
• -14是广义的斯特灵三角数（OEIS数列A049444）

-40

• 负数，因数有-40、-20、-10、-8、-5、-4、-2、-1、1、2、4、5、8、10、20和40。

  质因数分解，${\displaystyle -1\times 2^{3}\times 5}$。

• 华氏及摄氏温标的平等点，即-40℉=-40℃。

参见

• 正整数

注释

1. 在资讯领域中提到的负零一般不属于数论中的负整数集合中。
2. 有此性质的负数只有-11, -7, -3, -2, -1（OEIS数列A048981）^[6]

参考文献

1. Weisstein, Eric W. (编). Negative Integer. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2023-11-24]. （原始内容存档于2023-06-06） （英语）.
2. Factors of a Negative Number. sciencing.com. 2018-03-18 [2020-03-20]. （原始内容存档于2017-07-01）.
3. José Luis Gómez Pardo. Introduction to Cryptography with Maple. SpringerLink : Bücher. Springer Berlin Heidelberg. 2012: 336. ISBN 9783642321665. LCCN 2012944964.
4. Bard, G.V. Sage for Undergraduates. American Mathematical Society. 2015: 269. ISBN 9781470411114. LCCN 14033572.
5. Sloane, N.J.A. (编). Sequence A214283 (Smallest Euler characteristic of a downset on an n-dimensional cube). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
6. LeVeque, William J. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications. 2002: II:57,81 [1956]. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 負整數. MathWorld.