集論

集論者，當世算術之本也。凡數學之物，殆必為集。若夫光大其者，乃德意志疇人康托爾（Georg Cantor）耳。

一八七四年，康托爾撰文曰：「夫實數集者，不可一一對應自然數集，故實數遠多於自然數耳。」遂始集論之學。

文出，訿譽參半。訿者曰：「數，有限之量也；以有限之理則，論無限之事，誠不可也。」

未幾，代數、幾何、運算、測度諸學，咸以集論言之。

初，物聚皆可成集，遂生悖論。故後人脩之曰︰「凡合乎公理者，方能成集耳。」至若希爾伯特（Hilbert）著《樸素集合論》，言康托爾之說，舊集論遂亦名樸素集論耳。

羅素悖論（Russell's paradox）曰：「無己之集，聚以集成，問此集有已乎？則自相矛盾而不可解。」

言以公理集論，無己之集，聚莫集成，故羅素悖論不再耳!

今疇人多宗ZFC集論，Z者，策梅羅（Zermelo）也；F者，弗蘭克爾（Fraenkel）也；C者，選擇公理（Axiom of Choice）也。其公理有十：

一曰外延公理︰甲乙之元素咸同，則甲乙亦同。

三曰配對公理︰凡有二物，必成一集。若二物同，則得一物之集耳。

四曰並集公理︰若有集，則有其元素之並集。

五曰無窮公理︰馮諾曼定義之自然數，亦為集耳。

六曰分類公理：有集甲及命題乙，則甲之物合命題乙者，亦成集耳。又曰子集公理。

七曰替代公理︰有集甲及一單射，則甲之元素所射者，亦成集耳。

八曰冪集公理︰若有集，則其冪集亦存。

九曰正規公理︰若有非空集甲，則有元素乙，而甲乙之交集為空。

十曰選擇公理︰若有非空集，則有其元素之直積。

問：有如斯集，小於實數集而大於自然數集乎？此為連續統是也。

答：無論有無，咸可證無矛盾於ZFC集論，蓋有無皆有新集論耳。故曰︰「ZFC集論未足善耳。」

希爾伯特嘗期完備之集論。然於一九三一年，哥德爾（Godel）證曰：「凡合自然數之公理集論，無矛盾則弗足善耳。」此即為不完備定理耳。誠如是，則集論之限，可曰無窮耳！

樸素集論