映射

映射，或曰函數，東瀛謂之關數，運算之抽象也。四則、開方、立方等，咸為映射之屬。 映射者有二：一曰顯射（顯函）者，可作${\displaystyle y=f(x)}$之制；一曰隱射（隱函）者，弗能作${\displaystyle y=f(x)}$之制也。（後者按映射之目實弗映射也）

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

單射兼滿射（雙射）

單射而非滿射

滿射而非單射

非單射亦非滿射

定義

有甲乙二集，凡甲之一物，相應乙之一物，則曰甲映射乙耳。

夫加，映射也，如「三，四」射七，「二，九」射十一。立方者，亦映射也，如二射八，負一射負一。倍者，亦映射也，如二射四，負三射負六。

凡甲不同之物，射乙不同之物，曰單射，亦曰內射。實數之立方，單射也，蓋異數之立方必異。加法者，非單射耳，蓋二加三即四加一也。

凡乙之物，均為甲物所射，曰滿射，亦曰映上。實數之立方，滿射也，蓋實數必有其立方根射之。實數之平方，非滿射耳，蓋負二無方根射之。

單滿合射者，雙射也，亦曰一一對應。實數之立方，雙射也。倍者，整數雙射偶數也。

集

主文：集

問：當世數學，物皆為集，然則何謂甲（${\displaystyle A}$）映射乙（${\displaystyle B}$）（記曰「${\displaystyle f:A\rightarrow B}$」）耶？

答曰：映射乃甲乙之關係^[1]也。甲取物曰乾（${\displaystyle a}$），射乙之一物，曰乾之象（記曰「${\displaystyle f(a)}$」）。乾與其象，合成一對（記曰「${\displaystyle (a,f(a))}$」），聚以成集，即為映射耳（記曰「${\displaystyle f=\{(a,f(a)):a\in A\}}$」）。甲曰定義域，乙曰陪域，而象之集（記曰「${\displaystyle f(A)=\{f(a):a\in A\}}$」）曰值域。

高等數學教材之釋（大學通用）

二非空集${\displaystyle X,Y}$，以法則${\displaystyle f}$，使${\displaystyle X}$集之每壹元素${\displaystyle x}$，皆對應於唯一確定之元素${\displaystyle y}$於${\displaystyle Y}$集，則謂${\displaystyle f}$爲其之映射自${\displaystyle X}$至${\displaystyle Y}$。記曰

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

其${\displaystyle y}$謂之像之于斯映射，且記作${\displaystyle f(x)}$，${\displaystyle y=f(x)}$；${\displaystyle x}$謂之原像之于斯映射。

限格

1. 組成：定義域${\displaystyle D_{f}=X}$，值域${\displaystyle R_{f}\subset Y}$，法則${\displaystyle f}$，定義域之每元素${\displaystyle x}$皆有唯一確定元${\displaystyle y}$對應之。
2. ${\displaystyle x}$之像${\displaystyle y}$惟一，而${\displaystyle y}$之原像${\displaystyle x}$或惟一或不唯一。值域${\displaystyle R_{f}}$爲${\displaystyle Y}$之子集，記之${\displaystyle R_{f}\subset Y}$。、

殊類

1. 集合${\displaystyle R_{f}=Y}$，謂之滿射
2. ${\displaystyle X}$中任意${\displaystyle f(x_{1})\not =f(x_{2})}$，則謂之單射。
3. 滿射且單射，則謂之一一映射（雙射）

辡名

映射亦名算子，泛函，${\displaystyle X}$上之變换。實數應射則謂之函數，亦可拓至複數${\displaystyle a+bi}$。

例

• 平方者，非實數映射負數耳，蓋平方必正也。
• 平方者，實數映射自身，惟單滿皆非。
• 平方者，實數滿射正數，惟非單射耳。
• 平方者，正數單射實數，惟非滿射耳。
• 平方者，正數雙射自身也。

可見映射之性，定於其定義域及陪域也。

隱射

凡隱射者，其制弗能以為${\displaystyle y=f(x)}$也，或云非單射，是故單甲之值可映於雙（或甚）乙之值。實如橢圓、拋物線、雙曲線諸如此類，皆隱射也。

見

• 族
• 函數術語

註

1. 關係者，直積之子集也。

集論

元素｜ 集｜ 族｜ 子集｜ 交集｜ 併集｜ 補集｜ 冪集｜ 有序對｜ 直積｜ 關係｜ 映射｜ 等價｜ 偏序