自然數

自然數者，為一、二、三、四等，泰西人以為不言而喻，蓋「自然」之數也。或曰正整數，或曰非負整數，觀乎零為自然數否。若夫零者，自然數耶？非自然數耶？無定案也。今中華人民共和國教育部以零為自然數也。聚之成集，記曰 $\mathbb {N}$ 。

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

自然數有四用：一乃數量，曰基數；二乃次序，曰序數；三乃歸納法；四乃實數。此四用之引申，殆盡一切數學，故公理集論亦以自然數起，見無窮公理。自然數之學，曰數論。

自然數者，物之數量也。

有數若干，取物若干。若有二數，則共取二數之和也。從大數取走小數，則得二數之差耳。

有數甲乙，甲個乙相加，曰甲乙之積。以乙減甲，減之又減，至不能減，所減次數，曰商^[1]。

既為不說自明之數，何以定義耶？誠非易事也。今多宗疇人皮亞諾（Peano）及馮諾曼（John von Neumann）之定義。

皮亞諾公理

皮亞諾曰，凡合五公理之集，可作自然數集觀：

公理一，有物曰「本」；
公理二，凡物必有「後」；
公理三，非「本」者，必承他物；
公理四，物異，則其後亦異；
公理五，此乃歸納法也：有子集合公理一，公理二者，實本集是也。

如是，則以「本」為零，零生一，一生二，二生三，三生萬物。^[2]

溤諾曼定義

溤諾曼曰：「皮亞諾公理善，然則何者為「本」，何者為「後」也？」

遂以空集為「本」，以含己之集與己並（記曰「 $\left\{a\right\}\cup a$ 」）為「後」。如是，則零為無物之集（ $0=\left\{\right\}$ ），一為合零之集（記曰「1= $\left\{0\right\}$ 」），二為合「零、一」之集（記曰「2= $\left\{0,1\right\}$ 」），三為含「零、一、二」之集（記曰「3= $\left\{0,1,2\right\}$ 」），類推可也。