quan hệ hai ngôi giữa hai tập hợp liên kết mỗi phần tử của tập hợp đầu tiên với đúng một phần tử của tập hợp thứ hai trong toán học From Wikipedia, the free encyclopedia
Trong toán học, ánh xạ (Tiếng Anh: mapping/ Tiếng Hán:映射) là một khái niệm chỉ quan hệ hai ngôi giữa hai tập hợp liên kết mỗi phần tử của tập hợp đầu tiên (được gọi là tập nguồn) với đúng một phần tử của tập hợp thứ hai (được gọi là tập đích). Tập nguồn và tập đích không nhất thiết phải là tập số thực hay tập con của tập số thực mà hoàn toàn có thể là tập hợp của các vector, hàm giải tích, biến ngẫu nhiên, ... Nói cách khác, một ánh xạ biểu hiện một quy tắc hay thao tác biến đổi toán học nhất định từ một phần tử trên một không gian (tập hợp) sang đúng một phần tử (thường được gọi là tạo ảnh) trên không gian (tập hợp) thứ hai. Các ánh xạ có thể là toàn ánh, đơn ánh hoặc song ánh phụ thuộc vào tính chất của tạo ảnh trên tập hợp thứ hai, và có thể được thể hiện bởi các toán tử, ký hiệu toán học hoặc các phép toán từ sơ cấp tới cao cấp. Chẳng hạn, phép biến đổi Laplace là một ánh xạ từ tập chứa các hàm trên miền thời gian sang tập chứa các hàm trên miền tần số phức thông qua một phép biến đổi bằng tích phân. Hay một ma trận thường được sử dụng để thể hiện một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian Euclide.
Khi hai tập hợp là hai tập số thực hoặc tập con của số thực, ánh xạ giữa hai tập này thường được gọi là hàm số. Điều đó có nghĩa là hàm số được coi như một trường hợp đặc biệt của ánh xạ.
Một ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y (ký hiệu ) là một quy tắc cho mỗi phần tử x X tương ứng với một phần tử xác định y Y, phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu ,[1] nghĩa là .
Tập X được gọi là tập nguồn, tập Y được gọi là tập đích.[1]
Với mỗi , tập con của X gồm các phần tử, có ảnh qua ánh xạ f bằng y, được gọi là tạo ảnh của phần tử y qua f, ký hiệu là . Ta có.[2]
Với mỗi tập con , tập con của Y gồm các phần tử là ảnh của qua ánh xạ f được gọi là ảnh của tập A ký hiệu là f(A). Ta có.[2]
Với mỗi tập con , tập con của X gồm các phần tử x có ảnh được gọi là tạo ảnh của tập B ký hiệu là . Ta có.[2]
Trong tương quan với khái niệm quan hệ, ta cũng có thể định nghĩa:
Cho hai ánh xạ và . Hợp của hai ánh xạ f, g, ký hiệu là là ánh xạ từ X vào Z, xác định bởi đẳng thức (cũng được gọi là tích ánh xạ của f và g).[3]
Một số tính chất của ánh xạ hợp
Cho ánh xạ là song ánh. Nếu tồn tại ánh xạ sao cho
thì g được gọi là nghịch đảo, hay ánh xạ ngược, của f, ký hiệu là .
Ánh xạ f có nghịch đảo khi và chỉ khi f là song ánh.[5]
Cho ánh xạ và một tập con . Ánh xạ thu hẹp của về là một ánh xạ từ vào , ký hiệu , xác định bởi đẳng thức .[6] Ánh xạ thu hẹp là duy nhất.
Cho ánh xạ và một tập hợp sao cho . Một ánh xạ mở rộng của tới là một ánh xạ từ vào sao cho .[6] Nói chung, với mỗi ánh xạ đã cho, có nhiều ánh xạ mở rộng khả dĩ.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.