Phép đẳng cự

Bản mẫu:Chuyên ngành Trong toán học, một phép đẳng cự là một phép biến đổi bảo toàn khoảng cách giữa các không gian metric, thường được giả sử là một song ánh.^[1]

Hợp của hai phép đối xứng tạo thành một phép đẳng cự trực tiếp: trong trường hợp này, nó là một phép tịnh tiến.

Định nghĩa

Gọi X và Y là hai không gian metric với metric tương ứng d_X và d_Y. Một hàm f: X → Y được gọi là một phép đẳng cự hoặc bảo toàn khoảng cách nếu với mọi a, b ∈ X ta có

${\displaystyle d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right)=d_{X}(a,b).}$ ^[2]

Đa tạp

Định nghĩa

Xét hai đa tạp Riemann ${\displaystyle R=(M,g)}$ và ${\displaystyle R'=(M',g')}$, và một phép vi phôi ${\displaystyle f:R\to R'}$. ${\displaystyle f}$ được gọi là một phép đẳng cự nếu

${\displaystyle g=f^{*}g',\,}$

với ${\displaystyle f^{*}g'}$ là pull-back của ${\displaystyle g'}$ bởi ${\displaystyle f}$.

Tương đương, sử dụng push-forward ${\displaystyle f_{*}}$,ta có với mọi trường vectơ ${\displaystyle v,w}$ trên ${\displaystyle M}$ (tức là các nhát cắt của phân thớ tiếp tuyến ${\displaystyle \mathrm {T} M}$),

${\displaystyle g(v,w)=g'\left(f_{*}v,f_{*}w\right).\,}$

Nếu ${\displaystyle f}$ là một vi phôi địa phương sao cho ${\displaystyle g=f^{*}g'}$, thì ${\displaystyle f}$ được gọi là một đẳng cự địa phương.

Phạm trù

Phép đẳng cự là phép đẳng cấu trong phạm trù các không gian metric và trong phạm trù các không gian Riemann.

Định nghĩa về điểm liên hợp đẳng cự

Cho tam giác ABC. Lấy D,E,F thuộc BC, CA, AB. AD, BE, CF là các đường đồng quy khi đó ta lấy lần lượt các điểm D', E', F' sao cho chúng đối xứng với D, E, F qua trung điểm của BC, CA, AB. Khi đó AD', BE', CF' đồng quy tại một điểm gọi là điểm liên hợp đẳng cự (conjugate point) của giao điểm AD, BE, CF.

Tham khảo

1. Coxeter 1969
2. Beckman, F. S.; Quarles, D. A., Jr. (1953). “On isometries of Euclidean spaces” (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 4 (5): 810–815. doi:10.2307/2032415. JSTOR 2032415. MR 0058193.
   Let T be a transformation (possibly many-valued) of ${\displaystyle E^{n}}$ (${\displaystyle 2\leq n<\infty }$) into itself.
   Let ${\displaystyle d(p,q)}$ be the distance between points p and q of ${\displaystyle E^{n}}$, and let Tp, Tq be any images of p and q, respectively.
   If there is a length a > 0 such that ${\displaystyle d(Tp,Tq)=a}$ whenever ${\displaystyle d(p,q)=a}$, then T is a Euclidean transformation of ${\displaystyle E^{n}}$ onto itself.

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0070542365. OCLC 21163277.CS1 maint: ref=harv (link)
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.CS1 maint: ref=harv (link)
• Trèves, François (ngày 6 tháng 8 năm 2006) [1967]. Topological vector spaces, distributions and kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0486453521. OCLC 853623322.CS1 maint: ref=harv (link) CS1 maint: date and year (link)

Thư mục

• Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometry, Second edition. Wiley. ISBN 9780471504580.
• Lee, Jeffrey M. (2009). Manifolds and Differential Geometry. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4815-9.