Trong toán học, ảnh của một hàm là tập hợp tất cả các giá trị đầu ra mà nó có thể tạo ra. f là một hàm từ miền X đến đối miền Y. Hình bầu dục màu vàng bên trong Y là ảnh của f. Ảnh của một phần tử Nếu x là một phần tử của X, thì f(x)=y (giá trị của f tại x) được gọi ảnh của x tạo bởi f. Ảnh của một tập con Ảnh của một tập con A ⊆ X tạo bởi f là tập con f [ A ] = { f ( x ) ∣ x ∈ A } {\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}} Ảnh của một hàm Ảnh của một hàm là ảnh của toàn bộ miền xác định của nó. Đặt f là một hàm từ X đến Y. Nghịch ảnh (hay tạo ảnh) của tập hợp B ⊆ Y dưới f là tập con của X được xác định bởi[1] f − 1 [ B ] = { x ∈ X | f ( x ) ∈ B } . {\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.} Nghịch ảnh của một điểm y còn được gọi là thớ của f tại y hoặc tập mức của y. Chung Với mọi f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} các tập con A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} , B ⊆ Y {\displaystyle B\subseteq Y} , ta có: Thêm thông tin , ... Hình ảnh Tiền đề f ( X ) ⊆ Y {\displaystyle f(X)\subseteq Y} f − 1 ( Y ) = X {\displaystyle f^{-1}(Y)=X} f ( f − 1 ( Y ) ) = f ( X ) {\displaystyle f(f^{-1}(Y))=f(X)} f − 1 ( f ( X ) ) = X {\displaystyle f^{-1}(f(X))=X} f ( f − 1 ( B ) ) ⊆ B {\displaystyle f(f^{-1}(B))\subseteq B} (ta có dấu bằng nếu B ⊆ f ( X ) {\displaystyle B\subseteq f(X)} , ví dụ như nếu f {\displaystyle f} là một toàn ánh) [2][3] f − 1 ( f ( A ) ) ⊇ A {\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A} (ta có dấu bằng bằng nếu f {\displaystyle f} là một đơn ánh) f ( f − 1 ( B ) ) = B ∩ f ( X ) {\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)} ( f | A ) − 1 ( B ) = A ∩ f − 1 ( B ) {\displaystyle (f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)} f ( f − 1 ( f ( A ) ) ) = f ( A ) {\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)} f − 1 ( f ( f − 1 ( B ) ) ) = f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)} f ( A ) = ∅ ⇔ A = ∅ {\displaystyle f(A)=\varnothing \Leftrightarrow A=\varnothing } f − 1 ( B ) = ∅ ⇔ B ⊆ Y ∖ f ( X ) {\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing \Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)} f ( A ) ⊇ B ⇔ ∃ C ⊆ A : f ( C ) = B {\displaystyle f(A)\supseteq B\Leftrightarrow \exists C\subseteq A:f(C)=B} f − 1 ( B ) ⊇ A ⇔ f ( A ) ⊆ B {\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B} f ( A ) ⊇ f ( X ∖ A ) ⇔ f ( A ) = f ( X ) {\displaystyle f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)} f − 1 ( B ) ⊇ f − 1 ( Y ∖ B ) ⇔ f − 1 ( B ) = X {\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X} f ( X ∖ A ) ⊇ f ( X ) ∖ f ( A ) {\displaystyle f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)} f − 1 ( Y ∖ B ) = X ∖ f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)} f ( A ∪ f − 1 ( B ) ) ⊆ f ( A ) ∪ B {\displaystyle f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B} [4] f − 1 ( f ( A ) ∪ B ) ⊇ A ∪ f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)} f ( A ∩ f − 1 ( B ) ) = f ( A ) ∩ B {\displaystyle f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B} f − 1 ( f ( A ) ∩ B ) ⊇ A ∩ f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)} Đóng f ( A ) ∩ B = ∅ ⇔ A ∩ f − 1 ( B ) = ∅ {\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing } Nhiều hàm Cho hai hàm f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} và g : Y → Z {\displaystyle g:Y\rightarrow Z} và các tập con A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} , C ⊆ Z {\displaystyle C\subseteq Z} , ta có: ( g ∘ f ) ( A ) = g ( f ( A ) ) {\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))} ( g ∘ f ) − 1 ( C ) = f − 1 ( g − 1 ( C ) ) {\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))} Nhiều tập hợp Cho hàm f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} và các tập con A 1 , A 2 ⊆ X {\displaystyle A_{1},A_{2}\subseteq X} , B 1 , B 2 ⊆ Y {\displaystyle B_{1},B_{2}\subseteq Y} , ta có: Thêm thông tin , ... Hình ảnh Tiền đề A 1 ⊆ A 2 ⇒ f ( A 1 ) ⊆ f ( A 2 ) {\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})} B 1 ⊆ B 2 ⇒ f − 1 ( B 1 ) ⊆ f − 1 ( B 2 ) {\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})} f ( A 1 ∪ A 2 ) = f ( A 1 ) ∪ f ( A 2 ) {\displaystyle f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})} [4][5] f − 1 ( B 1 ∪ B 2 ) = f − 1 ( B 1 ) ∪ f − 1 ( B 2 ) {\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})} f ( A 1 ∩ A 2 ) ⊆ f ( A 1 ) ∩ f ( A 2 ) {\displaystyle f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})} (ta có dấu bằng nếu f {\displaystyle f} là đơn ánh [6]) f − 1 ( B 1 ∩ B 2 ) = f − 1 ( B 1 ) ∩ f − 1 ( B 2 ) {\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})} f ( A 1 ∖ A 2 ) ⊇ f ( A 1 ) ∖ f ( A 2 ) {\displaystyle f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})} (ta có dấu bằng nếu f {\displaystyle f} là đơn ánh) f − 1 ( B 1 ∖ B 2 ) = f − 1 ( B 1 ) ∖ f − 1 ( B 2 ) {\displaystyle f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})} f ( A 1 △ A 2 ) ⊇ f ( A 1 ) △ f ( A 2 ) {\displaystyle f(A_{1}\triangle A_{2})\supseteq f(A_{1})\triangle f(A_{2})} (ta có dấu bằng nếu f {\displaystyle f} là đơn ánh) f − 1 ( B 1 △ B 2 ) = f − 1 ( B 1 ) △ f − 1 ( B 2 ) {\displaystyle f^{-1}(B_{1}\triangle B_{2})=f^{-1}(B_{1})\triangle f^{-1}(B_{2})} Đóng Ngoài ra f ( ⋃ s ∈ S A s ) = ⋃ s ∈ S f ( A s ) {\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})} f ( ⋂ s ∈ S A s ) ⊆ ⋂ s ∈ S f ( A s ) {\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})} f − 1 ( ⋃ s ∈ S B s ) = ⋃ s ∈ S f − 1 ( B s ) {\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})} f − 1 ( ⋂ s ∈ S B s ) = ⋂ s ∈ S f − 1 ( B s ) {\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})} [1]Nguyễn Tiến Quang (2008), tr. 16 [2]See p.39 of Halmos, Paul R. (1960). Naive Set Theory. [3]See p.19 of Munkres, James R. (2000). Topology. [4]See p.388 of Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed. [5]Kelley (1985), p. 85 [6]See p.21 of Munkres, James R. (2000). Topology. Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9. Kelley, John L. (1985). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. 27 (ấn bản thứ 2). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1. Munkres, James R. (2000). Topology (ấn bản thứ 2). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. Nguyễn Tiến Quang (2008), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục TS Blyth, Dàn và các cấu trúc đại số sắp thứ tự, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.Wikiwand in your browser!Seamless Wikipedia browsing. On steroids.Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.Wikiwand for ChromeWikiwand for EdgeWikiwand for Firefox
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
, ví dụ như nếu 
là một toàn ánh) [2][3]
là một đơn ánh)
[4]
, 
...
, 
...![{\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0252606caa691849fb8e56d74486a185e75bc061)
![{\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721a130e5a1ea872e75c1058ca861a40b2dda5db)
