Ảnh (toán học)

Trong toán học, ảnh của một hàm là tập hợp tất cả các giá trị đầu ra mà nó có thể tạo ra.

f là một hàm từ miền X đến đối miền Y. Hình bầu dục màu vàng bên trong Y là ảnh của f.

Định nghĩa

Ảnh của một phần tử

Nếu x là một phần tử của X, thì f(x)=y (giá trị của f tại x) được gọi ảnh của x tạo bởi f.

Ảnh của một tập con

Ảnh của một tập con A ⊆ X tạo bởi f là tập con

${\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}}$

Ảnh của một hàm

Ảnh của một hàm là ảnh của toàn bộ miền xác định của nó.

Nghịch ảnh

Đặt f là một hàm từ X đến Y. Nghịch ảnh (hay tạo ảnh) của tập hợp B ⊆ Y dưới f là tập con của X được xác định bởi^[1]

${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.}$

Nghịch ảnh của một điểm y còn được gọi là thớ của f tại y hoặc tập mức của y.

Tính chất

Chung

Với mọi ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ các tập con ${\displaystyle A\subseteq X}$, ${\displaystyle B\subseteq Y}$, ta có:

Hình ảnh	Tiền đề
${\displaystyle f(X)\subseteq Y}$	${\displaystyle f^{-1}(Y)=X}$
${\displaystyle f(f^{-1}(Y))=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(X))=X}$
${\displaystyle f(f^{-1}(B))\subseteq B}$ (ta có dấu bằng nếu ${\displaystyle B\subseteq f(X)}$, ví dụ như nếu ${\displaystyle f}$ là một toàn ánh) [2][3]	${\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}$ (ta có dấu bằng bằng nếu ${\displaystyle f}$ là một đơn ánh)
${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)}$	${\displaystyle (f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(A)=\varnothing \Leftrightarrow A=\varnothing }$	${\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing \Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)}$
${\displaystyle f(A)\supseteq B\Leftrightarrow \exists C\subseteq A:f(C)=B}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B}$
${\displaystyle f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X}$
${\displaystyle f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B}$ [4]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B}$	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)}$

• ${\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }$

Nhiều hàm

Cho hai hàm ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ và ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$ và các tập con ${\displaystyle A\subseteq X}$, ${\displaystyle C\subseteq Z}$, ta có:

• ${\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}$
• ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}$

Nhiều tập hợp

Cho hàm ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ và các tập con ${\displaystyle A_{1},A_{2}\subseteq X}$, ${\displaystyle B_{1},B_{2}\subseteq Y}$, ta có:

Hình ảnh	Tiền đề
${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})}$	${\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})}$ [4][5]	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})}$ (ta có dấu bằng nếu ${\displaystyle f}$ là đơn ánh [6])	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})}$ (ta có dấu bằng nếu ${\displaystyle f}$ là đơn ánh)	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\triangle A_{2})\supseteq f(A_{1})\triangle f(A_{2})}$ (ta có dấu bằng nếu ${\displaystyle f}$ là đơn ánh)	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\triangle B_{2})=f^{-1}(B_{1})\triangle f^{-1}(B_{2})}$

Ngoài ra

• ${\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})}$
• ${\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}$