Quan hệ (toán học)

Trong toán học, quan hệ là một khái niệm khái quát hóa các quan hệ thường gặp, ví dụ như các quan hệ bằng, nhỏ hơn, lớn hơn, đồng dư giữa các số, hay các quan hệ bằng nhau, đồng dạng giữa các hình tam giác. Tất cả các ví dụ này đều là các quan hệ hai ngôi.

Mục từ này nói về quan hệ trong toán học. Để xem các nghĩa khác, xem Quan hệ.

Khái niệm

Định nghĩa

• Cho hai tập hợp A,B. Mỗi tập con ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ của tích Descartes A x B được gọi là quan hệ hai ngôi từ A vào B. Nếu ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ là quan hệ từ A vào B và cặp (a,b)${\displaystyle \in {\mathcal {R}}}$ thì ta ký hiệu ${\displaystyle a{\mathcal {R}}b}$.^[1]
• Nếu A = B thì một tập con ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ của tích Descartes AxA được gọi là quan hệ trên A.
• Mở rộng của quan hệ hai ngôi là quan hệ n ngôi dẫn đến cấu trúc bảng trong cơ sở dữ liệu quan hệ.
• Lưu ý rằng tập tích Descarter là tập các cặp có thứ tự nên quan hệ định nghĩa ở đây là quan hệ có hướng từ A vào B. Ta hình dung như các phần tử thuộc tập A là các phần tử "chủ động" trong quan hệ, còn các phần tử của B (nếu có mặt trong quan hệ) là các phần tử "bị động". Điều lưu ý này rất hữu ích cho các quan hệ xã hội như quý và được quý, hâm mộ và bị hâm mộ, hay trong quan hệ bao hàm:chứa và được chứa trong...

Ví dụ

• Các quan hệ trong đời sống xã hội đều là các quan hệ theo nghĩa toán học: quan hệ hôn nhân (khác giới) là quan hệ từ tập người là nam vào tập người là nữ, quan hệ bạn bè, quan hệ đồng nghiệp, đồng hương, quan hệ chống đối... đều là các quan hệ giữa các tập người.
• Các quan hệ trong toán như quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn giữa các số thực, quan hệ chia hết giữa các số tự nhiên....
• Các quan hệ tuỳ ý giữa các tập hữu hạn có thể dẫn ra làm ví dụ rất nhiều, chẳng hạn cho A = {a, b, c, d}; B= {1, 2, 3}.

Quan hệ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$={ (a,1), (a, 2), (b, 2), (c, 2)}.

Để biểu diễn quan hệ (trên các tập hữu hạn), nhất là khi phải giải quyết các bài toán về quan hệ trên máy tính, ta có biểu diễn bằng ma trận logic hoặc bằng đồ thị

Ma trận logic của quan hệ hai ngôi

Cho tập A có m phần tử

A = {a₁,a₂,...,a_m}

và tập B có n phần tử

B = {b₁,b₂,...,b_n}

Ma trận logic của quan hệ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \subset }$ A x B là ma trận cấp m ${\displaystyle \times }$ n với các phần tử r _i,j xác định như sau:

${\displaystyle r_{i,j}={\begin{cases}1&{\mbox{khi }}a_{i}{\mathcal {R}}b_{j}\\0&{\mbox{khi }}a_{i}{\overline {\mathcal {R}}}b_{j}\end{cases}}}$

Ví dụ ma trận biểu diễn quan hệ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ở trên là

${\displaystyle M_{\mathcal {R}}={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&1&0\\0&0&0\ \end{pmatrix}}}$

Quan hệ n ngôi

Một quan hệ ${\displaystyle n}$ ngôi giữa các tập hợp ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}}$ là một tập hợp con của tích Descartes ${\displaystyle A_{1}\times \dots \times A_{n}}$.

Quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự

Một số tính chất của quan hệ trên một tập

Cho ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ là một quan hệ trên tập A:

• ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ được gọi là quan hệ có tính chất phản xạ nếu ${\displaystyle \forall a\in A}$:${\displaystyle a{\mathcal {R}}a}$^[2]
• ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ được gọi là quan hệ có tính chất đối xứng nếu ${\displaystyle \forall a,b\in A}$:nếu ${\displaystyle a{\mathcal {R}}b}$ thì ${\displaystyle b{\mathcal {R}}a}$^[2]
• ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ được gọi là quan hệ có tính chất phản đối xứng nếu ${\displaystyle \forall a,b\in A}$:nếu ${\displaystyle a{\mathcal {R}}b}$ và ${\displaystyle b{\mathcal {R}}a}$ thì ${\displaystyle a=b}$^[3]
• ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ được gọi là quan hệ có tính chất bắc cầu nếu ${\displaystyle \forall a,b,c\in A}$:nếu ${\displaystyle a{\mathcal {R}}b}$ và ${\displaystyle b{\mathcal {R}}c}$ thì ${\displaystyle a{\mathcal {R}}c}$^[2]

Quan hệ tương đương

Bài chi tiết: Quan hệ tương đương

Quan hệ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ trên A được gọi là quan hệ tương đương nếu nó có ba tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu.^[2]

Cho ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ là quan hệ tương đương trên tập A và phần tử ${\displaystyle a\in A}$. Tập con của A gồm các phần tử b có quan hệ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ với a được gọi là lớp tương đương của phần tử a, ký hiệu là ${\displaystyle {[a]}_{\mathcal {R}}}$^[4].

Cho ${\displaystyle a,b\in A}$ và quan hệ tương đương ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$. Khi đó

1. ${\displaystyle {[a]}_{\mathcal {R}}\neq \emptyset }$,${\displaystyle {[b]}_{\mathcal {R}}\neq \emptyset }$
2. hoặc ${\displaystyle {[a]}_{\mathcal {R}}\cap {[b]}_{\mathcal {R}}=\emptyset }$,hoặc ${\displaystyle {[a]}_{\mathcal {R}}={[b]}_{\mathcal {R}}}$.

Từ đó tập các lớp tương đương của ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ tạo thành một phân hoạch (hay một sự chia lớp) của tập A.^[5]

Một ví dụ minh hoạ cho quan hệ tương đương là quan hệ đồng dư theo môđun m trên tập hợp các số nguyên ${\displaystyle \mathbb {Z} }$(m là số tự nhiên lớn hơn 1), mỗi lớp tương đương là tập các số nguyên có cùng số dư theo môđun m. Trong số học nó còn được gọi là các lớp thặng dư theo môdun m.

Quan hệ thứ tự

Bài chi tiết: Tập hợp sắp thứ tự một phần

• Quan hệ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ trên tập A được gọi là quan hệ thứ tự trên A nếu nó có ba tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu.^[3]

Ví dụ về các quan hệ thứ tự là các quan hệ "≤", "≥" trên các tập hợp số. Một ví dụ khác là quan hệ chia hết "\" trên tập số tự nhiên, quan hệ bao hàm "${\displaystyle \subset }$" (quan hệ tập con) trong các tập hợp cũng là các quan hệ thứ tự.

• Sau đây ta dùng ký hiệu ${\displaystyle \sqsubseteq }$ để chỉ một quan hệ thứ tự trong trường hợp tổng quát.
• Quan hệ thứ tự ${\displaystyle \sqsubseteq }$ được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần trên tập A nếu với hai phần tử bất kỳ ${\displaystyle a,b\in A}$ một trong hai quan hệ ${\displaystyle a\sqsubseteq b}$ hoặc ${\displaystyle b\sqsubseteq a}$ sẽ xảy ra. Trong trường hợp ngược lại nó được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận. Khi đó, tương ứng ta nói tập A được sắp thứ tự toàn phần/bộ phận. Khi không muốn nói vào chi tiết ta đơn giản gọi chúng là tập được sắp. Các quan hệ "≤" và "≥" trên tập số thực là quan hệ thứ tự toàn phần. Quan hệ chia hết trên tập số nguyên, quan hệ bao hàm trên các tập hợp là các quan hệ thứ tự bộ phận.

Các phần tử đặc biệt trong tập được sắp

Xem thêm: Phần tử tối đại và phần tử tối tiểu

Xem thêm: Phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất

Xem thêm: Infimum và supremum

Xem thêm: Cận trên đúng

• Trong tập A được sắp theo quan hệ ${\displaystyle \sqsubseteq }$, một phần tử m được gọi là nhỏ nhất nếu ${\displaystyle m\sqsubseteq a}$ với mọi ${\displaystyle a\in A}$. Ví dụ như phần tử nhỏ nhất của tập các số tự nhiên dương là 1, phần tử nhỏ nhất theo quan hệ bao hàm trên các tập hợp là tập rỗng, theo quan hệ chia hết trên tập các số tự nhiên phần tử nhỏ nhất là số 1.
• Cho S là tập con của tập được sắp A theo quan hệ ${\displaystyle m\sqsubseteq a}$. Phần tử m (nếu có) được gọi là infimum của S, ký hiệu là inf(S) hay ^S, nếu ${\displaystyle m\sqsubseteq a}$ với mọi ${\displaystyle a\in S}$ và nếu ${\displaystyle \forall a\in S:n\sqsubseteq a}$ thì ${\displaystyle n\sqsubseteq m}$.
• Nếu S= {a, b} ${\displaystyle \subset A}$ thì inf({x,y}) được ký hiệu là x^y. Trong quan hệ chia hết trên tập các số tự nhiên, x^y chính là ƯCNN(x,y), còn theo quan hệ bao hàm giữa các tập hợp, A^B chính là tập ${\displaystyle A\cap B}$.
• Khái niệm tương tự theo chiều ngược lại là khái niệm supremum, ký hiệu là sub(S)

Tích các quan hệ và bao đóng bắc cầu

Quan hệ tích

Cho quan hệ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ từ tập A vào tập B và quan hệ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ từ B vào C. Quan hệ tích ${\displaystyle ({\mathcal {RS}})}$ là quan hệ từ A vào C, xác định bởi ${\displaystyle a({\mathcal {RS}})c}$ khi và chỉ khi tồn tại ${\displaystyle b\in B}$ sao cho ${\displaystyle a{\mathcal {R}}b}$ và ${\displaystyle b{\mathcal {S}}c}$

Tính chất của quan hệ bắc cầu

Bài chi tiết: Quan hệ bắc cầu

• Quan hệ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ là quan hệ có tính chất bắc cầu khi và chỉ khi

${\displaystyle {\mathcal {RR}}}$=${\displaystyle {\mathcal {R}}^{2}\subset {\mathcal {R}}}$.

• Quan hệ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ nhỏ nhất có tính chất bắc cầu chứa quan hệ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ được gọi là bao đóng bắc cầu (một số người gọi là bao đóng truyền ứng) của quan hệ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ký hiệu là ${\displaystyle [{\mathcal {R}}]}$.
• Nếu tập A hữu hạn gồm n phần tử thì

${\displaystyle [{\mathcal {R}}]={\mathcal {R}}\cup {\mathcal {R}}^{2}\cup {\mathcal {R}}^{3}...\cup {\mathcal {R}}^{n}}$

Biểu diễn đồ thị của quan hệ hai ngôi

Ta có thể biểu diễn quan hệ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ từ tập X và tập Y bằng một đồ thị có hướng như hình bên. Nếu A ${\displaystyle \cap B}$ = ${\displaystyle \emptyset }$ thì đồ thị biểu diễn ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ là đồ thị hai phía.

Trong hình bên phần tử A có thể "chủ động" quan hệ với ba phần tử 1, 2, 5 của Y, còn B chủ động không quan hệ với phần tử nào. Về phía Y, phần tử 2 và 5 bị hai phần tử cùng quan tâm, còn 3, 4 không được phần tử nào của X quan hệ tới.

Biểu diễn đồ thị của quan hệ

Ánh xạ là một loại quan hệ trong đó tất cả các phần tử của tập chủ động đều có quan hệ và chỉ quan hệ với một phần tử thuộc tập bị động

Quan hệ và ánh xạ

Từ biểu diễn đồ thị của quan hệ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ và biểu diễn ánh xạ, có thể nhận ra rằng ánh xạ (hay hàm) là một quan hệ đặc biệt, mà ta gọi là quan hệ hàm.

Ánh xạ f : A ${\displaystyle \to }$ B là một quan hệ từ A vào B thoả mãn điều kiện sau:

Mỗi phần tử a ${\displaystyle \in }$ A đều có quan hệ f với đúng một phần tử b ${\displaystyle \in }$ B.

Chú ý rằng trong định nghĩa này không loại trừ khả năng hai (hoặc nhiều hơn) phần tử của A cùng có quan hệ f với một phần tử ${\displaystyle b\in B}$

Quan hệ như là cấu xạ

Trong phạm trù các quan hệ Rel, một quan hệ cũng là một cấu xạ giữa các tập hợp.

Tham khảo

1. Hoàng Xuân Sính (1972), Định nghĩa 1, tr.23
2. Hoàng Xuân Sính (1972), Định nghĩa 2, tr. 24
3. Hoàng Xuân Sính (1972), Định nghĩa 6, tr. 26
4. Hoàng Xuân Sính (1972), Định nghĩa 3, tr. 25
5. Hoàng Xuân Sính (1972), Định nghĩa 4 và Định lí 1, tr. 25

Thư mục

• Hoàng Xuân Sính, 1972, Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám), Nhà xuất bản giáo dục

Liên kết ngoài