Quan hệ bắc cầu

Trong toán học, một quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X được gọi là có tính bắc cầu (hay còn đựoc gọi là tính chuyển tiếp, tính truyền ứng) khi và chỉ khi điều kiện sau đây được thỏa mãn: nếu một phần tử a có quan hệ với một phần tử b, và phần tử b có quan hệ với phần tử c; thì phần tử a có quan hệ với phần tử c.^[1]

Quan hệ hai ngôi
Đối xứng Phản đối xứng Toàn phần Lập tốt Có nối Có gặp Quan hệ tương đương ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Tiền thứ tự (giả thứ tự) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Thứ tự riêng phần ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ Tiền thứ tự toàn phần ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ Thứ tự toàn phần ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ ✗ Tiền thứ tự tốt ✗ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ Giả thứ tự tốt ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Thứ tự tốt ✗ ✓ ✓ ✓ ✗ ✗ Dàn ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✓ Nửa dàn có nối ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ Nửa dàn có gặp ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓
Dấu "✓" chỉ tính chất trong cột đó cần phải có trong định nghĩa của hàng đó. Ví dụ, định nghĩa của quan hệ tương đương buộc nó phải có tính đối xứng. Tất cả định nghĩa đều yêu cầu tính bắc cầu và tính phản xạ.

Định nghĩa

Quan hệ thuần nhất R trên tập hợp X là quan hệ bắc cầu nếu:^[2]

với mọi a, b, c ∈ X, nếu a R b và b R c, thì a R c.

Nếu viết theo ngôn ngữ logic bậc nhất thì:

${\displaystyle \forall a,b,c\in X:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc}$,

Các ví dụ

Ví dụ không dùng toán học sau: quan hệ "là tổ tiên của" là quan hệ bắc cầu. Ví dụ, nếu An là tổ tiên của Bình, và Bình là tổ tiên của Cường, thì An cũng là tổ tiên của Cường.

Mặt khác, "là người đẻ ra" không phải là quan hệ bắc cầu, vì kể cả An đẻ ra Bình, Bình đẻ ra Cường, thì không có nghĩa An là người đẻ ra Bình. Hơn nữa, tính chất này còn được gọi là phản bắc cầu bởi An sẽ không bao giờ đẻ ra Cường.

Các quan hệ "lớn hơn", "lớn hơn hoặc bằng", và "bằng với" là các quan hệ bắc cầu trên rất nhiều tập, trong đó bao gồm tập số thực và số hữu tỉ:

nếu x > y và y > z, thì x > z

nếu x ≥ y và y ≥ z, thì x ≥ z

nếu x = y và y = z, thì x = z.

Các ví dụ khác về tính bắc cầu:

• "là tập con của" (trên tập của các tập hợp)
• "chia hết" (tính chia hết trên tập các số tự nhiên)
• "suy ra" (phép kéo theo, ký hiệu bởi "⇒", là quan hệ trên các mệnh đề)

Các ví dụ của quan hệ không bắc cầu là:

• "là số tiếp theo của" (trên tập các số tự nhiên)
• "là phần tử của tập" (ký hiệu bởi "∈")^[3]
• "vuông góc với" (quan hệ trên các đường thẳng trong hình học Euclid)

Quan hệ rỗng trên bất cứ tập ${\displaystyle X}$ đều có tính bắc cầu ^[4][5] bởi không có 3 phần tử ${\displaystyle a,b,c\in X}$ sao cho ${\displaystyle aRb}$ và ${\displaystyle bRc}$. Quan hệ R chỉ chứa duy nhất một cặp được sắp cũng được coi là có tính bắc cầu bởi: nếu cặp đó có dạng ${\displaystyle (x,x)}$ với ${\displaystyle x\in X}$ thì chỉ có đúng một bộ ${\displaystyle a,b,c\in X}$ có quan hệ là ${\displaystyle a=b=c=x}$, và do vậy ${\displaystyle aRc}$, nếu cặp đó không có dạng ${\displaystyle (x,x)}$ thì không có bộ ${\displaystyle a,b,c\in X}$ sao cho ${\displaystyle aRb}$ và ${\displaystyle bRc}$, do vậy quan hệ đó vẫn được coi là tính bắc cầu vì chưa đủ số phần tử để xét.

Tính chất

Tính bao đóng

• Quan hệ ngược (hay nghịch đảo) của quan hệ bắc cầu là quan hệ bắc cầu. Áp dụng ví du, bởi quan hệ "là tập con của" có tính bắc cầu và quan hệ "là tập mẹ của" là ngược của nó, nên ta có thể kết luận quan hệ sau cũng có tính bắc cầu.
• Giao của hai quan hệ bắc cầu thì cũng bắc cầu^[6]. Quan hệ "sinh trước" và "cùng tên với" có tính bắc cầu, nên quan hệ "sinh trước và có cùng tên" cũng có tính bắc cầu.
• Hợp của hai quan hệ bắc cầu không nhất thiết phải bắc cầu. Ví dụ chẳng hạn, "sinh trước hoặc có cùng tên" không có tính bắc cầu, (Herbert Hoover có quan hệ với Franklin D. Roosevelt, và Franklin D.Roosevelt có quan hệ với Franklin Pierce, nhưng Hoover thì không có quan hệ gì với Franklin Pierce.
• Bù của quan hệ bắc cầu không nhất thiết phải bắc cầu.^[7] Ví dụ chẳng hạn, mặc dù "bằng với" là quan hệ bắc cầu, "không bằng với" chỉ bắc cầu trên các tập có tối đa một phần tử.

Các tính chất khác

Quan hệ bắc cầu bất đối xứng khi và chỉ khi nó hoàn toàn không phản xạ.^[8]

Quan hệ bắc cầu không nhất thiết phải phản xạ. Nhưng khi nó có, thì nó được gọi là tiền thứ tự. Ví dụ chẳng hạn, trên tập X = {1,2,3}:

• R = { (1,1), (2,2), (3,3), (1,3), (3,2) } có tính phản xạ nhưng không bắc cầu, bởi thiếu tập (1,2),
• R = { (1,1), (2,2), (3,3), (1,3) } vừa phản xạ vừa bắc cầu nên nó là tiền thứ tự,
• R = { (1,1), (2,2), (3,3) } vừa phản xạ vừa bắc cầu nên nó là tiền thứ tự.

Mở rộng bắc cầu và bao đóng bắc cầu

Bài chi tiết: Bao đóng bắc cầu

Gọi R là quan hệ hai ngôi trên tập hợp X. Mở rộng bắc cầu của R, được ký hiệu là R₁, là quan hệ hai ngôi nhỏ nhất trên X sao cho R₁ chứa R, và nếu (a, b) ∈ R và (b, c) ∈ R thì (a, c) ∈ R₁.^[9] Lấy ví dụ sau, giả sử X là tập hợp các xã được nối với nhau bởi các đường đi. Gọi R là quan hệ (A, B) ∈ R nếu có đường đi giữa xã A và xã B. Quan hệ này không nhất thiết phải bắc cầu, mở rộng bắc cầu của nó được định nghĩa như sau: (A, C) ∈ R₁ nếu ta có từ di chuyển từ xã A sang xã C tối đa hai đường. Mở rộng này không nhất thiết phải bắc cầu.

Nếu quan hệ có tính bắc cầu thì mở rộng bắc cầu của nó là chính nó, nghĩa là, nếu R là quan hệ bắc cầu thì R₁ = R.

Mở rộng bắc cầu của R₁ sẽ là R₂, và cứ tiếp tục như vậy, mở rộng bắc cầu của R_i sẽ là R_{i + 1}. Bao đóng bắc cầu của R, ký hiệu bởi R* hay R^∞ là hợp của các tập R, R₁, R₂, ... .^[10]

Bao đóng bắc cầu của quan hệ luôn có tính bắc cầu.^[10]

Ví dụ: quan hệ "là cha mẹ của" trên tập con người không phải là quan hệ bắc cầu. Tuy nhiên, trong sinh học ta thường cần phải xét tính chất tổ tiên qua nhiều thế hệ và do đó ta thường dùng quan hệ "là tổ tiên của". Quan hệ này có tính bắc cầu và là bao đóng bắc cầu của quan hệ "là cha mẹ của".

Đối với ví dụ dùng các xã và đường ở trên, (A, C) ∈ R* có nghĩa là ta có thể di chuyển từ A sang C dùng bất kỳ số đường nào.

Các loại quan hệ yêu cầu tính chất bắc cầu

• Tiền thứ tự – quan hệ phản xạ và bắc cầu
• Quan hệ thứ tự riêng phần – tiền thứ tự phản đối xứng
• Tiền thứ tự toàn phần – tiền thứ tự có tính liên thông
• Quan hệ tương đương - tiền thứ tự đối xứng
• Quan hệ thứ tự yếu nghiêm ngặt – quan hệ thứ tự riêng phần nghiêm ngặt trong đó tính không so sánh được là quan hệ tương đương
• Quan hệ thứ tự toàn phần – Quan hệ bắc cầu, liên thông và phản đối xứng

Đếm số quan hệ bắc cầu

Chưa tìm được công thức chung để đếm số quan hệ bắc cầu trên tập (dãy số A006905 trong bảng OEIS).^[11] Tuy nhiên, có các công thức có thể đếm số quan hệ vừa phản xạ, đối xứng và bắc cầu, hay nói cách khác đếm số quan hệ tương đương – (dãy số A000110 trong bảng OEIS), và đếm số quan hệ đối xứng và bắc cầu, số quan hệ đối xứng, bắc cầu toàn phần, bắc cầu và phản đối xứng.Pfeiffer^[12] là người tiến bộ nhiều nhất theo hướng này bằng cách biểu diễn các quan hệ trên tổ hợp các tính chất bằng các phần tử của mỗi tính chất đó, song việc tìm ra công thức để tính ra chúng vẫn còn nhiều trở ngại. Xem thêm cả Brinkmann và McKay (2005).^[13] Mala đã chứng minh rằng không có đa thức hệ số nguyên có thể biểu diễn thành công thức đếm số quan hệ bắc cầu trên một tập hợp ,^[14] và tìm một số hàm đệ quy cho biết cận dưới của số đó.

Số các quan hệ từng loại của tập hợp có n phần tử

Số phần tử	Bất kì	Bắc cầu	Phản xạ	Đối xứng	Tiền thứ tự	Thứ tự bộ phận	Tiền thứ tự toàn phần	Thứ tự toàn phần	Quan hệ tương đương
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65536	3994	4096	1024	355	219	75	24	15
n	2n2		2n2−n	2n(n+1)/2			${\textstyle \sum _{k=0}^{n}k!S(n,k)}$	n!	${\textstyle \sum _{k=0}^{n}S(n,k)}$
OEIS	A002416	A006905	A053763	A006125	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

Trong đó S(n, k) là số Stirling loại thứ hai.

Ghi chú

1. Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 26
2. Smith, Eggen & St. Andre 2006, p. 145Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFSmithEggenSt._Andre2006 (trợ giúp)
3. However, the class of von Neumann ordinals is constructed in a way such that ∈ is transitive when restricted to that class.
4. Smith, Eggen & St. Andre 2006, p. 146Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFSmithEggenSt._Andre2006 (trợ giúp)
5. https://courses.engr.illinois.edu/cs173/sp2011/Lectures/relations.pdf ^{[liên kết URL chỉ có mỗi PDF]}
6. Bianchi, Mariagrazia; Mauri, Anna Gillio Berta; Herzog, Marcel; Verardi, Libero (12 tháng 1 năm 2000). “On finite solvable groups in which normality is a transitive relation”. Journal of Group Theory. 3 (2). doi:10.1515/jgth.2000.012. ISSN 1433-5883.
7. Robinson, Derek J. S. (tháng 1 năm 1964). “Groups in which normality is a transitive relation”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (bằng tiếng Anh). 60 (1): 21–38. doi:10.1017/S0305004100037403. ISSN 0305-0041.
8. Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. (2007). Transitive Closures of Binary Relations I (PDF). Prague: School of Mathematics - Physics Charles University. tr. 1. Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 2 tháng 11 năm 2013. Lemma 1.1 (iv). Note that this source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".
9. Liu 1985, p. 111Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFLiu1985 (trợ giúp)
10. Liu 1985, p. 112Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFLiu1985 (trợ giúp)
11. Steven R. Finch, "Transitive relations, topologies and partial orders" Lưu trữ 2016-03-04 tại Wayback Machine, 2003.
12. Götz Pfeiffer, "Counting Transitive Relations", Journal of Integer Sequences, Vol. 7 (2004), Article 04.3.2.
13. Gunnar Brinkmann and Brendan D. McKay,"Counting unlabelled topologies and transitive relations"
14. Mala, Firdous Ahmad (14 tháng 6 năm 2021). “On the number of transitive relations on a set”. Indian Journal of Pure and Applied Mathematics (bằng tiếng Anh). doi:10.1007/s13226-021-00100-0. ISSN 0975-7465.

Tham khảo

• Ralph P. Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, ISBN 0-201-19912-2.
• Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.
• Hoàng Xuân Sính, 1972, Đại số đại cương

Liên kết ngoài

• Transitivity in Action at cut-the-knot