Trong toán học, một phép biến đổi tuyến tính (còn được gọi là toán tử tuyến tính hoặc là ánh xạ tuyến tính) là một ánh xạ
giữa hai mô đun (cụ thể, hai không gian vectơ) mà bảo toàn được các thao tác cộng và nhân vô hướng vectơ. Nói một cách khác, nó bảo toàn tổ hợp tuyến tính. Nếu ánh xạ tuyến tính là một song ánh thì nó được gọi là đẳng cấu tuyến tính.
Một trường hợp quan trọng là khi
, khi đó ánh xạ tuyến tính được gọi là một tự đồng cấu (tuyến tính) trong
. Đôi khi thuật ngữ toán tử tuyến tính chỉ ánh xạ trong trường hợp này,[1] nhưng nó có thể mang ý nghĩa khác tùy theo các quy ước: ví dụ, thuật ngữ này có thể được dùng để nhấn mạnh rằng
và
là các không gian vectơ thực (không nhất thiết là
),[cần dẫn nguồn] hay để nhấn mạnh rằng
là một không gian hàm (đây là một quy ước thông thường trong giải tích hàm).[2] Đôi khi thuật ngữ hàm tuyến tính cũng mang nghĩa là ánh xạ tuyến tính, nhưng không phải trong hình học giải tích.
Một biến đổi tuyến tính từ V vào W luôn ánh xạ gốc tọa độ của V tới gốc tọa độ của W. Hơn nữa, nó luôn là ánh xạ từ một không gian con (tuyến tính) vào một không gian con (có thể với số chiều khác nhau);[3] ví dụ, ánh xạ từ một mặt phẳng qua gốc tọa độ trong V vào một mặt phẳng qua gốc tọa độ trong W, hoặc tới một đường thẳng đi qua gốc tọa độ trong W, hoặc chỉ tới điểm gốc tọa độ của W. Ánh xạ tuyến tính có thể được biểu diễn bởi các ma trận, các ví dụ đơn giản là các ma trận của các phép biến đổi tuyến tính quay và phản xạ.
Trong ngôn ngữ của đại số trừu tượng, một phép biến đổi tuyến tính là một đồng cấu giữa các mô đun. Trong ngôn ngữ của lý thuyết phạm trù, nó là một cấu xạ trong phạm trù các mô đun trên một vành đã cho.
Một cách chính thức, nếu
và
là các không gian vectơ trên cùng một trường
, chúng ta nói rằng ánh xạ
là một (phép) biến đổi tuyến tính nếu cho bất kỳ hai vectơ
và bất kỳ vô hướng
, chúng ta có
![{\displaystyle f(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} )+f(\mathbf {v} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256fc2225265eb1b65c5db0a1cbff14885094f59) |
tính cộng / phép toán cộng |
![{\displaystyle f(c\mathbf {u} )=cf(\mathbf {u} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d488d3cd72341e710e5c24927bd9e6a45f10ba3) |
tính thuần nhất bậc 1 / phép toán nhân vô hướng |
Điều này có ý nghĩa tương đương với khẳng định
"bảo toàn tổ hợp tuyến tính", có nghĩa là không quan trọng là ánh xạ được áp dụng trước (vế phải ở các đẳng thức trên) hay sau (vế trái) khi thực hiện các phép toán cộng và nhân vô hướng.
Cho bất kỳ các vectơ
và các vô hướng
bởi tính kết hợp của phép cộng chúng ta có[4][5]
![{\displaystyle \mathbf {f} (c_{1}u_{1}+\cdots +c_{m}u_{m})=c_{1}\mathbf {f} (u_{1})+\cdots +c_{m}\mathbf {f} (u_{m}).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b746e158eb712f8804420b6d69491f47a894596e)
Ký hiệu các phần tử không của các không gian vectơ
và
tương ứng là
và
, ta suy ra ![{\textstyle f(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cfb881efeac08d176d7cb5909e700529465bb5b)
Cho
và
trong phương trình của tính thuần nhất bậc 1:
![{\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=f(0\mathbf {v} )=0f(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c844bd0eacf51dc36c7c090eb2da4ee51ed9cf69)
Thông thường,
và
có thể xem như là các không gian vectơ trên các trường khác nhau, và khi đó điều quan trọng là xác định trường nào được dùng cho định nghĩa "tuyến tính". Nếu
và
là các không gian trên trường
như xác định ở trên, chúng ta nói về
-ánh xạ tuyến tính. Ví dụ, phép lấy liên hợp của một số phức là một
-ánh xạ tuyến tính
, nhưng nó không phải là
-tuyến tính, trong đó các trường
và
tương ứng là các trường số thực và số phức.
Một ánh xạ tuyến tính
với trường
được xem như là một không gian vectơ 1 chiều trên chính nó được gọi là một phiếm hàm tuyến tính.[6]
Các mệnh đề trên đây có thể được tổng quát hóa đối với một mô đun trái bất kỳ
trên một vành
mà không cần sửa lại, và đối với một mô đun phải bất kỳ nhưng phải đổi thứ tự của phép nhân vô hướng.
- Ví dụ đơn giản nhất bắt nguồn cho các ánh xạ tuyến tính cái tên của chúng là hàm số
, với đồ thị là một đường thẳng qua gốc tọa độ.[7]
- Tổng quát hơn, bất kỳ một phép vị tự nào lấy tâm là gốc tọa độ của một không gian vectơ,
trong đó
là vô hướng thì là một toán tử tuyến tính. Tuy nhiên, điều này nói chung không đúng đối với mô đun, khi một ánh xạ như vậy có thể chỉ là nửa tuyến tính.
- Ánh xạ không
giữa hai mô đun trái (hoặc hai mô đun phải) trên cùng một vành luôn là tuyến tính.
- Ánh xạ đồng nhất trên một mô đun bất kỳ là một toán tử tuyến tính.
- Đối với số thực, ánh xạ
không phải ánh xạ tuyến tính.
- Đối với số thực, ánh xạ
không là ánh xạ tuyến tính (nhưng là một biến đổi afin; còn
là một phương trình tuyến tính, bởi thuật ngữ này được dùng trong hình học giải tích.)
- Nếu
là một ma trận
, thì
định nghĩa một phép biến đổi tuyến tính từ
vào
bằng việc chuyển một vectơ cột
tới một vectơ cột
. Tất cả các phép biến đổi tuyến tính giữa các không gian vectơ hữu hạn chiều xuất hiện theo cách này; xem thêm mục sau.
- Nếu
là một phép đẳng cự giữa hai không gian định chuẩn thực sao cho
thì
là một ánh xạ tuyến tính. Kết quả này có thể không đúng cho không gian định chuẩn phức.
- Phép vi phân định nghĩa một ánh xạ tuyến tính từ không gian các hàm khả vi vào không gian tất cả các hàm số. Nó cũng xác định một toán tử tuyến tính trên không gian các hàm trơn (toán tử tuyến tính này là một tự đồng cấu tuyến tính, tức là một ánh xạ tuyến tính mà miền xác định và miền giá trị là bằng nhau). Ví dụ:
.
- Một tích phân xác định trên một đoạn I là một ánh xạ tuyến tính từ không gian các hàm khả tích thực trên I vào ℝ. Ví dụ,
.
- Một tích phân không xác định (hay nguyên hàm) với một điểm cố định khởi đầu tích phân định nghĩa ra một ánh xạ tuyến tính từ không gian các hàm khả tích thực trên
vào không gian các hàm giá trị thực khả vi trên
. Không có điểm khởi đầu cố định, một kết quả[cái gì?] trong lý thuyết nhóm sẽ cho thấy phép lấy nguyên hàm ánh xạ vào không gian thương của các hàm khả vi trên quan hệ tương đương "sai khác một hằng số", trong đó lớp tương đương đồng nhất gồm các hàm có giá trị hằng số
.[cần giải thích]
- Nếu
và
là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường
, thì các hàm đưa các ánh xạ tuyến tính
vào không gian các ma trận với kích thước
(theo cách được mô tả trong phần sau) cũng là các ánh xạ tuyến tính (và là đẳng cấu tuyến tính).
- Giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên (thực chất là một hàm, và là phần tử của một không gian vectơ) là tuyến tính, bởi đối với hai biến ngẫu nhiên
và
ta có
và
, nhưng phương sai của một biến ngẫu nhiên không là tuyến tính.
Hàm
![Thumb](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06d7fc6902e01c04ce84cf57e41c7bd122f1556)
với
![Thumb](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba4d012acc208d82dc8599aa34fa1823f4e6b33)
là ánh xạ tuyến tính. Hàm này nhân thành phần
![Thumb](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d951e0f3b54b6a3d73bb9a0a005749046cbce781)
của một vectơ với hệ số
![Thumb](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78ed0cd8140e5a15b6fcce83602df58458e0f3b0)
.
Hàm
![Thumb](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba4d012acc208d82dc8599aa34fa1823f4e6b33)
là cộng tính: Không quan trọng các vectơ được cộng trước hay sau khi áp dụng ánh xạ:
![Thumb](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4bd2d7c5d3bfd1b45746f8d695eab2a9ce3b8a7)
Hàm
![Thumb](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba4d012acc208d82dc8599aa34fa1823f4e6b33)
có tính đồng nhất: Không quan trọng là một vectơ được nhân trước khi áp dụng ánh xạ hay ánh xạ trước rồi mới được nhân:
Nếu
và
là các không gian vectơ hữu hạn chiều và một cơ sở được xác định cho mỗi không gian vectơ, thì mọi ánh xạ tuyến tính từ
vào
có thể được biểu diễn bởi một ma trận.[9] Điều này hữu ích vì nó cho phép tính toán các ánh xạ một cách cụ thể. Các ma trận chính là các ví dụ của ánh xạ tuyến tính: Nếu
là ma trận thực
, thì
mô tả một ánh xạ tuyến tính
(xem không gian Euclid).
Cho
là một cơ sở của V. Vậy thì mỗi vectơ
được xác định duy nhất bởi các hệ số (tọa độ)
trong trường
:
![{\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b50d14d0b681acfcfcda927d5d6e42e7a279ee7)
Nếu
là một ánh xạ tuyến tính thì ta có
![{\displaystyle f\left(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\right)=c_{1}f\left(\mathbf {v} _{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(\mathbf {v} _{n}\right),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c2e57a6025896f00af39005d8d648abeab3177)
từ điều này suy ra rằng hàm
hoàn toàn được xác định bởi các vectơ
. Ta có
là một cơ sở của
. Vậy thì ta có thể biểu diễn từng vectơ
dưới dạng
![{\displaystyle f\left(\mathbf {v} _{j}\right)=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0e3356cf3ba015255eefd60542861ebe5d7963)
Vì vậy, biến đổi
hoàn toàn được xác định bởi các giá trị
. Nếu ta đặt các giá trị này vào một ma trận
với kích thước
, thì ta có thể sử dụng để tính toán một cách thuận tiện vectơ đầu ra của
cho một vectơ bất kỳ trong
. Để xây dựng
, mỗi cột
của
là một vectơ
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1j}&\cdots &a_{mj}\end{pmatrix}}^{\textsf {T}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ce56bef38465820a3b7d60585048d88bc754e4)
tương ứng với
được định nghĩa như trên. Để định nghĩa một cách rõ ràng hơn, đối với một cột
tương ứng với ánh xạ
thì
![{\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}\ \cdots &a_{1j}&\cdots \ \\&\vdots &\\&a_{mj}&\end{pmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88fc3d2881ac77b9cebf084d847154f36f5c7499)
trong đó
là ma trận của biến đổi
. Nói cách khác, ở mỗi cột
có một vectơ tương ứng
với tọa độ
là các phần tử của cột
. Một ánh xạ tuyến tính có thể được biểu diễn bởi nhiều ma trận. Điều này là bởi các giá trị của các phần tử trong một ma trận phụ thuộc vào cơ sở được chọn.
Ánh xạ hợp của các ánh xạ tuyến tính cũng là ánh xạ tuyến tính: nếu các ánh xạ f: V → W và g: W → Z là tuyến tính, thì ánh xạ hợp
cũng vậy. Từ đây suy ra rằng lớp các không gian vectơ trên một trường cho trước K, cùng với các K-ánh xạ tuyến tính là các cấu xạ, tạo thành một phạm trù.
Ánh xạ ngược của một ánh xạ tuyến tính nếu tồn tại cũng là tuyến tính.
Nếu
và
là tuyến tính, thì hàm tổng của chúng
cũng tuyến tính, được định nghĩa là
.
Nếu
là tuyến tính và
là một phần tử của trường bên dưới
, thì ánh xạ
, định nghĩa bởi
cũng là tuyến tính.
Vì thế tập hợp
gồm các ánh xạ tuyến tính từ
vào
cũng là một không gian vectơ trên trường
,[10] đôi khi ký hiệu là
.[11] Hơn nữa, trong trường hợp
thì không gian này, ký hiệu
, là một đại số kết hợp dưới phép hợp ánh xạ, vì hợp của hai ánh xạ tuyến tính cũng là một ánh xạ tuyến tính, và phép hợp ánh xạ có tính kết hợp. Trường hợp này được nói cụ thể hơn ở dưới.
Trong trường hợp hữu hạn chiều, nếu các cơ sở đã được chọn trước thì phép hợp các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép nhân ma trận, phép cộng các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép cộng ma trận, và phép nhân vô hướng các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép nhân ma trận với vô hướng.
Nếu biến đổi
là tuyến tính, ta định nghĩa hạt nhân của
ký hiệu
, ảnh của
và hạng của
như sau:
![{\displaystyle \operatorname {\ker } (f)=\{\,x\in V:f(x)=\mathbf {0} \,\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/615e67ddeb413146801ebf3e0a913c1cd8e647c8)
![{\displaystyle \operatorname {im} (f)=\{\,f(x):x\in V\,\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b88f799e3b0ed2ab24d3fd3d7b7ec4706321f7)
là một không gian con của
và
là không gian con của
. Công thức sau đây được xem là định lý về số chiều:
.[12]
Số
cũng được gọi là hạng của
ký hiệu là
, hoặc
;[13] còn số
được gọi là số vô hiệu (nullity) của
và ký hiệu là
hay
. Nếu
và
là hữu hạn chiều, và
được biểu diễn bởi ma trận
, thì hạng và số vô hiệu của
tương ứng bằng hạng và số vô hiệu của ma trận
.
Không có cách phân loại các biến đổi tuyến tính nào là triệt để. Sau đây là một số phân loại đặc biệt mà không xét bất kỳ cấu trúc bổ sung nào trên không gian vectơ.
Cho
và
là các không gian vectơ trên một trường
và cho
là một ánh xạ tuyến tính.
Định nghĩa:
được gọi là biến đổi đơn ánh hay là một đơn cấu không gian vectơ nếu một trong số các điều kiện tương đương sau đây được thỏa mãn:
là một ánh xạ đơn ánh giữa các tập hợp
![{\displaystyle \ker T=\{\mathbf {0} _{V}\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/230e8e7a49ce4a252c927302f6c9a800be8d3dbc)
![{\displaystyle dim(\ker T)=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87c28693697200a6699a13d4000779575f154f12)
là đơn cấu hay khử trái được, nói cách khác, đối với bất kỳ một không gian vectơ
và một cặp ánh xạ tuyến tính
và
, từ đẳng thức
suy ra
.
khả nghịch trái, tức là tồn tại một ánh xạ tuyến tính
sao cho
là ánh xạ đồng nhất trên
.
Định nghĩa:
được gọi là biến đổi toàn ánh hay một toàn cấu không gian vectơ nếu một trong các điều kiện tương đương sau đây được thỏa mãn:
là một ánh xạ toàn ánh giữa các tập hợp
![{\displaystyle {\text{coker }}T=\{\mathbf {0} _{W}\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a7c5245ca487c04711c858fb33d861ce5622d4)
là toàn cấu hay khử phải được, nói cách khác, đối với bất kỳ một không gian vectơ
và một cặp ánh xạ tuyến tính
và
, từ đẳng thức
suy ra
.
khả nghịch phải, tức là tồn tại một ánh xạ tuyến tính
sao cho
là ánh xạ đồng nhất trên
.
Định nghĩa:
được gọi là một đẳng cấu nếu nó đồng thời là khả nghịch trái và là khả nghịch phải. Điều này là tương đương với
đồng thời là đơn ánh và là toàn ánh (tức là một song ánh) hay
đồng thời là một đơn cấu và là một toàn cấu.
Cho
gọi là một tự đồng cấu, ta có:
- Nếu với một số nguyên dương
, tác động lặp lần thứ
của
(tức là
) bằng 0 thì
được gọi là lũy linh.
- Nếu
, thì
được gọi là lũy đẳng.
- Nếu
, trong đó
là một vô hướng thì
gọi là một phép phóng tỉ lệ hay phép biến đổi nhân vô hướng.
Cho một ánh xạ tuyến tính và là một tự đồng cấu có biểu diễn ma trận là A, đối với cùng một cơ sở B của không gian, A biến đổi tọa độ vectơ [u] thành [v] = A[u]. Khi chuyển từ một cơ sở khác sang B ta thực hiện biến đổi [v] = B[v'].
Thay vào biểu thức thứ nhất ta được
![{\displaystyle B\left[v'\right]=AB\left[u'\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2855717373418c2c2134151c0d0f4d5957292f8)
suy ra
![{\displaystyle \left[v'\right]=B^{-1}AB\left[u'\right]=A'\left[u'\right].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65eb8aa4babed0054fcf025303d23fd58309bf7e)
Vì vậy, ma trận của biến đổi ấy trong cơ sở kia là A′ = B−1AB, trong đó B là ma trận của cơ sở đã cho. Hai ma trận A và A' được gọi là hai ma trận đồng dạng.
Một ứng dụng cụ thể của ánh xạ tuyến tính là cho các biến đổi hình học, ví dụ như trong đồ họa máy tính, khi các phép di chuyển tịnh tiến, quay và phóng tỉ lệ một đối tượng 2D hoặc 3D được thực hiện nhờ sử dụng một ma trận biến đổi. Các ánh xạ tuyến tính cũng được sử dụng như một cơ chế để mô tả sự thay đổi: như trong giải tích ứng với đạo hàm; hay trong thuyết tương đối, được dùng như một phương tiện để theo dõi các biến đổi cục bộ trong các hệ quy chiếu.
Một ứng dụng khác của các biến đổi tuyến tính là trong việc tối ưu hóa trình biên dịch đối với các đoạn mã lồng nhau, và trong việc song song hóa kỹ thuật biên dịch.
"Linear transformations of
into
are often called linear operators on
." Rudin 1976, tr. 207
Let
and
be two real vector spaces. A mapping a from
into
Is called a 'linear mapping' or 'linear transformation' or 'linear operator' [...] from
into
, if
for all
,
for all
and all real λ. Bronshtein & Semendyayev 2004, tr. 316Lỗi harv: nhiều mục tiêu (2×): CITEREFBronshteinSemendyayev2004 (trợ giúp)
Rudin 1991, tr. 14Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFRudin1991 (trợ giúp)Here are some properties of linear mappings
whose proofs are so easy that we omit them; it is assumed that
and
:![{\textstyle \Lambda 0=0.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e4eeb6ccfcb9ad2de35e3887d7b7040d8c6c13)
- If A is a subspace (or a convex set, or a balanced set) the same is true of
![{\textstyle \Lambda (A)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d7d605d1df780e24a44a0f0ba6a4cccb7a197c2)
- If B is a subspace (or a convex set, or a balanced set) the same is true of
![{\textstyle \Lambda ^{-1}(B)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a667bcca2e645e4b3f6713039da2884871d34c1c)
- In particular, the set:
![{\displaystyle \Lambda ^{-1}(\{0\})=\{x\in X:\Lambda x=0\}={N}(\Lambda )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e685a21de396162ec17b6c07b1f5b3e6dd63bdf)
is a subspace of X, called the null space of
.
Rudin 1991, tr. 14Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFRudin1991 (trợ giúp). Suppose now that X and Y are vector spaces over the same scalar field. A mapping
is said to be linear if
for all
and all scalars
and
. Note that one often writes
, rather than
, when
is linear.
Rudin 1976, tr. 206. A mapping A of a vector space X into a vector space Y is said to be a linear transformation if:
for all
and all scalars c. Note that one often writes
instead of
if A is linear.
Rudin 1991, tr. 14Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFRudin1991 (trợ giúp).
Linear mappings of X onto its scalar field are called linear functionals.
Rudin 1976, tr. 210
Suppose
and
are bases of vector spaces X and Y, respectively. Then every
determines a set of numbers
such that
![{\displaystyle A\mathbf {x} _{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {y} _{i}\quad (1\leq j\leq n).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b673e7b68877f5f787161706b01e065ac3f85fc2)
It is convenient to represent these numbers in a rectangular array of
rows and
columns, called an
by
matrix:
![{\displaystyle [A]={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\ldots &a_{m,n}\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f53d08efeacd19a7270d82ee81484d772f4e8ef)
Observe that the coordinates
of the vector
(with respect to the basis
) appear in the jth column of
. The vectors
are therefore sometimes called the column vectors of
. With this terminology, the range of A is spanned by the column vectors of
.
Horn & Johnson 2013, 0.2.3 Vector spaces associated with a matrix or linear transformation, p. 6
- Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (ấn bản 3). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
- Bronshtein, I. N.; Semendyayev, K. A. (2004). Handbook of Mathematics (ấn bản 4). New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43491-7.
- Halmos, Paul R. (1974). Finite-Dimensional Vector Spaces. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90093-4.
- Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83940-2.
- Lang, Serge (1987), Linear Algebra , New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-96412-6
- Bronshtein, I. N.; Semendyayev, K. A. (2004). Handbook of Mathematics (ấn bản 4). New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43491-7.
- Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Terse) Introduction to Linear Algebra. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9.
- Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (ấn bản 3). New York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
- Tu, Loring W. (2011). An Introduction to Manifolds (ấn bản 2). Springer. ISBN 978-0-8218-4419-9.