Паралелограм

Паралелогра́м — чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.

Паралелограм
Цей паралелограм є ромбоїдом, оскільки він не має прямих кутів і його сторони не рівні.
Вид	Чотирикутник
Ребра і вершини	4
Група симетрії[en]	C2, [2]+, (22)
Площа	b × h (основа × висота); ab sin θ (добуток прилеглих сторін на синус кута при будь-якій вершині)
Властивості	опуклий

Існує декілька видів паралелограм

• Прямокутник — паралелограм, всі кути якого прямі;
• Ромб — паралелограм, всі чотири сторони якого рівні між собою;
• Квадрат — рівнобічний прямокутник або ромб з прямими кутами при вершинах.

Паралелограм є плоскою геометричною фігурою, його аналогом у тривимірному.

Особливі випадки

• Ромбоїд — чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні, а прилеглі сторони не рівні, а його кути не є прямими кутами.
• Прямокутник — паралелограм, чотири кути якого рівні (прямі).
• Ромб — паралелограм, чотири сторони якого є рівними.
• Квадрат — паралелограм, чотири сторони і чотири кути якого є рівними.

Властивості

Простий (не перехрещений) чотирикутник є паралелограмом тоді й лише тоді якщо одне із наведених нижче тверджень є вірним:^[1][2]

• Протилежні сторони паралелограма рівні, тобто ${\displaystyle AB=DC}$ та ${\displaystyle AD=BC}$.
• Протилежні кути паралелограма рівні, тобто ${\displaystyle \angle A=\angle C}$ та ${\displaystyle \angle B=\angle D}$.
• Діагоналі паралелограма перетинаються та точкою перетину діляться навпіл.
• Одна пара протилежних сторін є паралельними і мають однакову довжину.
• Кожна з діагоналей поділяє чотирикутник на два конгруентні трикутники.
• Сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює ${\displaystyle 180^{\circ }}$. Загальна сума кутів паралелограма дорівнює ${\displaystyle 360^{\circ }}$.
• Сума квадратів діагоналей дорівнює подвоєній сумі квадратів двох його суміжних сторін (правило паралелограма).
• Сума відстаней від будь-якої внутрішньої точки до сторін не залежить від місця розташування точки.^[3] (Це твердження є продовженням теореми Вівіані.)

Інші властивості

• В паралелограмі дві сторони рівні та паралельні.
• В паралелограмі протилежні сторони попарно рівні.
• В паралелограмі протилежні кути попарно рівні.
• Точка перетину діагоналей є центром симетрії паралелограма.
• Будь-яка пряма, яка проходить через центр паралелограма поділяє його площу навпіл.^[4]
• Сума кутів при кожній стороні становить ${\displaystyle 180^{\circ }}$.
• В паралелограмі діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.
• Діагоналі паралелограма поділяють його на чотири трикутника однакової площі.

Площа паралелограма

Паралелограм можна перебудувати у прямокутник з такою ж площею.

Анімація для формули визначення площі ${\displaystyle S=bh}$.

Паралелограм із основою b і висотою h можна розділити на трапецію і прямокутний трикутник, і перебудувати у прямокутник, як показано на малюнку праворуч. Це означає, що площа паралелограма є такою ж як у прямокутника із такою ж основою і висотою:

${\displaystyle S=bh.}$

Іншими словами, площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, яка перпендикулярна до цієї сторони:

${\displaystyle S=DC\cdot h_{DC}=BC\cdot h_{BC}}$.

Площа паралелограма, це площа внутрішньої області, що виділена синім і визначається як :${\displaystyle S=B\cdot C\cdot \sin \theta \,}$, де B і C — сторони паралелограма.

Також площа паралелограма рівна добутку двох його непаралельних сторін та синуса кута між ними:

${\displaystyle S=DC\cdot AD\cdot \sin \angle D=DC\cdot BC\cdot \sin \angle C.}$

Якщо розглядати паралелограм як геометричну фігуру, яка побудована на двох векторах ${\displaystyle {\vec {DA}}}$ та ${\displaystyle {\vec {DC}}}$, то площа паралелограма буде дорівнювати модулю векторного добутку цих векторів: ${\displaystyle S=|{\vec {DC}}\times {\vec {DA}}|=|DC|\cdot |DA|\cdot \sin \angle ADC.}$

Площа паралелограма (як і будь-якого чотирикутника без самоперетинів) рівна півдобутку діагоналей, помноженому на синус кута між ними: ${\displaystyle S={\frac {d_{1}d_{2}\sin \gamma }{2}}}$.

Площа паралелограма із сторонами B і C (B ≠ C) і кутом ${\displaystyle \gamma }$ утвореним перетином діагоналей дорівнює наступному^[5]

${\displaystyle S={\frac {|{\tan \gamma }|}{2}}\cdot \left|B^{2}-C^{2}\right|.}$

Якщо паралелограм заданий довжинами B і C двох прилеглих сторін і довжиною однієї з діагоналей D₁, тоді площу можна знайти за допомогою формули Герона. Що задається наступним чином

${\displaystyle S=2{\sqrt {K(K-B)(K-C)(K-D_{1})}}}$

де ${\displaystyle K=(B+C+D_{1})/2}$ і перший множник 2 додано оскільки, будь-яка обрана діагональ поділяє паралелограм на два конгруентні трикутники.

Площа паралелограма при відомих декартових координатах вершин

Нехай існують вектори ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{2}}$ і нехай ${\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}}$ позначає матрицю елементів a і b. Тоді площею паралелограма, що заданий за допомогою a і b буде ${\displaystyle |\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,}$.

Нехай існують вектори ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}$ і нехай ${\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\dots &b_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times n}}$. тоді площа паралелограма, що задана за допомогою a і b буде дорівнювати ${\displaystyle {\sqrt {\det(VV^{\mathrm {T} })}}}$.

Нехай існують точки ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} ^{2}}$. Тоді площа паралелограма із вершинами в точках a, b і c є еквівалентною абсолютному значенню детермінанта матриці, що побудована так, що a, b і c є її рядками і остання колонка доповнена одиницями, як наведено нижче:

${\displaystyle S=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{bmatrix}}\right|.}$

Доведення, що діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл

Паралелограм ABCD

Аби довести, що діагоналі паралелограма перетинаються, використаємо конгруентні трикутники:

${\displaystyle \angle ABE\cong \angle CDE}$ (внутрішні різносторонні кути рівні за розміром)

${\displaystyle \angle BAE\cong \angle DCE}$ (внутрішні різносторонні кути рівні за розміром).

(оскільки це кути, що утворені перетином прямої із двома паралельними прямими AB і DC).

Також, сторона AB має таку ж саму довжину, що і сторона DC, оскільки протилежні сторони паралелограма є рівними.

Таким чином, трикутники ABE і CDE конгруентні (постулат Кут-Сторона-Кут (КСК), два відповідні кути і прилегла сторона).

Тому,

${\displaystyle AE=CE}$

${\displaystyle BE=DE.}$

Оскільки діагоналі AC і BD поділяють одна одну на відрізки однакової довжини, діагоналі перетинають одна одну.

Відповідно, оскільки діагоналі AC і BD перетинають одна одну в точці E, точка E є серединою кожної діагоналі.

Див. також

• Правило паралелограма
• Трапеція
• Паралелограм сил
• Антипаралелограм

Примітки

1. Owen Byer, Felix Lazebnik and Deirdre Smeltzer, Methods for Euclidean Geometry, Mathematical Association of America, 2010, pp. 51-52.
2. Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, «The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition», Information Age Publishing, 2008, p. 22.
3. Chen, Zhibo, and Liang, Tian. «The converse of Viviani's theorem», The College Mathematics Journal 37(5), 2006, pp. 390—391.
4. Dunn, J.A., and J.E. Pretty, «Halving a triangle», Mathematical Gazette 56, May 1972, p. 105.
5. Mitchell, Douglas W., «The area of a quadrilateral», Mathematical Gazette, July 2009.

Посилання

• Паралелограм // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 145. — ISBN 978-966-7407-83-4.
• Eric W. Weisstein, Parallelogram at MathWorld.
• Геометрія: Підруч. для 7— 9 кл. серед. шк./ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев та ін. — К.: Освіта, 1993. — 304 с.