Деформація згину

Деформа́ція зги́ну або згин — тип деформації бруса (балки), що полягає у викривленні осі прямого бруса чи зміні кривини осі кривого бруса в результаті виникнення згинальних моментів у його перерізах від прикладених навантажень (поперечних сил і/або згинальних моментів у площині, що проходить через вісь бруса).

Деформація згину
Формула	${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Частково збігається з	Стійкість
Деформація згину у Вікісховищі

Згин двотавра

Схематичне зображення деформації згину навантаженої балки

Локальна деформація різних частин тіла при згинанні різна. Наприклад, у випадку, зображеному на рисунку, верхня частина балки стискається, а нижня — розтягується.

Основні поняття

Переміщення будь-якої точки осі балки, котра працює на згин, виражається вектором, початок якого суміщено з початковим положенням точки, а кінець — з положенням цієї самої точки у деформованій балці. У прямих балках переміщення точок які спрямовані перпендикулярно до початкового положення осі, називають прогинами і позначається ${\displaystyle w(x)}$. При згинанні відбувається також поворот перерізів стержня навколо осей, що лежать у площинах перерізів і позначається ${\displaystyle \theta (x)}$.

Умовна назва кривої лінії, що її форми набуває вісь балки (бруса) при згині у межах пружної деформації носить назву пружна лінія.

Види згину

Стосовно до бруса розрізняють згин плоский, або простий, та складний. При плоскому (простому) згині зовнішні сили діють в одній з головних площин бруса (вони проходять через вісь бруса і головні осі інерції поперечного перерізу, див. Моменти інерції плоских перерізів), при складному згині — в різних площинах. Різновидом складного є косий згин, коли навантаження діють у площині, що не збігається з будь-якою з головних площин.

Залежно від сил, що діють у поперечному перерізі бруса, згин буває чистим (при наявності лише згинальних моментів), поперечним (діють поперечні сили), поздовжнім (випинання під впливом стискувальних сил, спрямованих вздовж осі) і поперечно-поздовжнім.

Розрахунки при згині

Елемент балки, вирізаний двома суміжними поперечними перерізами, у здеформованому стані

Класична теорія

Наближений розрахунок прямого бруса на дію згину у пружній стадії на основі класичної теорії (теорії Ейлера-Бернуллі) проводиться виходячи з наступних допущень:

• поперечні перерізи, що були плоскими і перпендикулярними до осі балки до деформації, залишаються плоскими і перпендикулярними до її зігнутої осі (пружної лінії) після деформування (гіпотеза плоских перерізів);
• поздовжні волокна бруса при згині не тиснуть одне на одного і не намагаються відірватись одне від одного;
• переміщення і деформації вважаються малими а балка — нерозтяжною;
• розміри перерізів балки вважаються малими у порівняння з радіусом кривини осі балки;
• матеріал балки розглядається як лінійно пружний, що описується законом Гука

При плоскому згині в будь-якій точці поперечного перерізу балки виникають нормальні (σ) і дотичні (τ) напруження. Нормальні напруження визначають за формулою Нав’є:

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon =E{\frac {y}{\rho }}={\frac {M_{z}y}{I_{z}}},}$

де: M_z — згинальний момент;

y — координата досліджуваної точки відносно нейтральної лінії;

I_z — момент інерції відносно нейтральної лінії.

Дотичні напруження визначають за формулою Д. І. Журавського:

${\displaystyle \tau ={\frac {Q_{y}S_{z}}{bI_{z}}},}$

де Q_y — поперечна сила у перерізі;

S_z — статичний момент відносно нейтральної осі частини площі поперечного перерізу, що розташована вище (або нижче) волокна, що розглядається;

_b — ширина перерізу на рівні волокна, що розглядається.

Характер зміни згинальних моментів і поперечних сил по довжині бруса зазвичай зображується графіками (епюрами), за якими визначаються їх розрахункові значення.

Ступінь викривлення осі у межах пружності залежить від величини згинального моменту і жорсткості бруса. Кривина осі визначається виразом:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {M_{z}}{EI_{z}}},}$

де ρ — радіус кривини осі зігнутого бруса у розглянутому перерізі; Е — модуль Юнга матеріалу бруса а I_z — момент інерції. Добуток EI_z називають жорсткістю балки на згин^[1];

Для випадку малих деформацій кривина наближено виражається другою похідною від прогину ${\displaystyle w(x)}$, а тому між координатами зігнутої осі та згинальним моментом існує диференціальна залежність:

${\displaystyle {\frac {d^{2}w(x)}{dx^{2}}}={\frac {M_{z}}{EI_{z}}},}$

що називається диференціальним рівнянням осі зігнутого бруса. Його рішення називається рівнянням пружної лінії балки (бруса).

Відносна деформація при згині визначається як: ε${\displaystyle ={\frac {y}{\rho }}}$, ε${\displaystyle _{max}={\frac {h/2}{\rho }}}$, де h - висота балки.

У практичних дослідах на згин для визначення відносної деформації ε вимірюють прогини зразків. Взаємозв’язок між прогином f , що вимірюється між внутрішніми роликами, розташованими на відстані l₀, за чотириточковим (круговим) згином та радіусом кривизни ρ наступний:

${\displaystyle \rho ={\frac {l_{0}^{2}}{8f}}}$. Тоді ε${\displaystyle _{4t}=f{\frac {4h}{l_{0}^{2}}}}$. Для триточкового згину ця формула буде натупною: ε${\displaystyle _{3t}=f{\frac {6h}{l_{0}^{2}}}}$.

Теорія балок Тимошенка

Докладніше: Теорія балки Тимошенка

Дана теорія базується на тих же гіпотезах, що й класична, однак гіпотеза плоских перерізів має модифікований вид: приймається, що перерізи, які були до деформації плоскими і нормальними до осі балки, залишаються плоскими, але перестають бути нормальними до зігнутої осі. Таким чином, дана теорія враховує деформацію зсуву й дотичні напруження. Врахування дотичних напружень є важливим для композитів та матеріалів, що мають шарувату структуру (деревина), оскільки руйнування може відбуватись по лінії розмежування шарів від зсуву.

Основні залежності:

${\displaystyle M_{z}=EI_{z}{\frac {\,d\theta (x)}{\,dx}}}$

${\displaystyle Q_{y}={\frac {GF}{\alpha }}\left(\theta (x)-{\frac {\,dw(x)}{\,dx}}\right)}$

де ${\displaystyle G}$ — модуль зсуву матеріалу балки, ${\displaystyle F}$ — площа перерізу, ${\displaystyle \alpha }$ — коефіцієнт, що враховує нерівномірність розподілу дотичних напружень по перерізу і залежить від його форми. Величина

${\displaystyle \gamma =\theta (x)-{\frac {\,dw(x)}{\,dx}}}$

є кутом зсуву.

Див. також

• Поздовжній згин
• Випробування на згинання

Примітки

1. КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ з дисципліни «ОПІР МАТЕРІАЛІВ» (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 27 листопада 2021. Процитовано 27 листопада 2021.

Джерела та література

• Згин // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 99. — ISBN 978-966-7407-83-4.
• Опір матеріалів. Підручник / Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський. За ред. Г. С. Писаренка — К.: Вища школа, 1993. — 655 с. — ISBN 5-11-004083-4.
• Опір матеріалів: Навч. посіб. для студентів ВНЗ. Рекомендовано МОН / Шваб'юк В. І. — К., 2009. — 380 с.
• Мильніков О. В. Опір матеріалів. Конспект лекцій [Архівовано 20 січня 2022 у Wayback Machine.] / Олександр Володимирович Мильніков. — Т.: Видавництво ТНТУ, 2010. — 257 с.

Види деформацій

Розтяг-стиск | Зсув | Кручення | Згин