Брамагупта
давньоіндійський математик і астроном З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Брамагу́пта (санскр. ब्रह्मगुप्त; 598 — 668) — давньоіндійський математик і астроном, автор важливих праць із математики та астрономії а саме: теоретичний трактат «Брахма-спхута-сіддханта» («Brāhmasphuṭasiddhānta»; може перекладатись як «Удосконалене вчення Брахми» чи «Перегляд системи Брами»), завершений у 628 році, та більш практичний текст «Кхандакхадьяка» («Khaṇḍakhādyaka»), який побачив світ у 665 році[4]. Трактати написано у віршованій формі, що було досить популярним явищем серед індійських математиків. Ці праці справили значний вплив на розвиток астрономії у Візантії та ісламських країнах, поклавши початок використанню алгебраїчних методів для астрономічних обчислень.
Брамагупта | |
---|---|
санскр. ब्रह्मगुप्त | |
Ім'я при народженні | санскр. ब्रह्मगुप्तः[1] |
Народився | 598 Бгінмал[en], Індія |
Помер | 668 Удджайн, Індія[2] |
Місце проживання | Бгінмал[en], тепер у штаті Раджастхан, Індія[3] і Удджайн, тепер у штаті Мадх'я-Прадеш, Індія |
Діяльність | математик, астроном |
Галузь | математика, астрономія |
Відомий завдяки: | «Перегляд системи Брами» |
Батько | Джиснугупта |
Висловлювання у Вікіцитатах Брамагупта у Вікісховищі |
Життєпис
Узагальнити
Перспектива
Вважають, що Брамагупта народився у 598 році. Це випливає з книги «Брахма-спхута-сіддханта», у якій він повідомляє, що написав цей текст у тридцятирічному віці у 628 році (Śaka 550)[5][6]. Народився у Бгілламалі (тепер місто Бгінмал[en] у штаті Раджастхан на північному заході Індії). Він був сином Джиснугупти, за релігією був шиваїтом і працював в Удджайні, місті котре було осередком тогочасної індійської науки[7].
Ймовірно, прожив більшу частину свого життя в Бгілламалі під час правління (і, можливо, під патронажем) короля Вяжрамукха[8], тому його нерідко називають Бгілламакар'я (вчитель з Бгілламали)[9]. Бгілламала була столицею Гурджарадеси, другого за величиною королівства Західної Індії, яке охоплювало південний Раджастхан і північний Гуджарат у сучасній Індії. Вона також була центром вивчення математики та астрономії. Брамагупта став астрономом школи Брахмапакша, однієї з чотирьох основних шкіл індійської астрономії того періоду[10].
Наразі немає даних щодо його освіти або вчителів, але відомо, що він вивчав п'ять традиційних Сиддхант з індійської астрономії. Ресурси, якими він користувався, також включали праці Аріабгата I, Латадева, Прадюмна, Варахаміхіра, Сімха, Срісена, Війаянандіна і Віснукандра. Проте, він ставився до них доволі критично[10].
У 628 році, у віці 30 років, склав «Брахма-спхута-сіддханта» («Покращений трактат Брахми»), який вважається переглянутою та відредагованою версією Сиддханти школи астрономії Брахмапакша. Вчені стверджують, що він вніс багато оригінальних ідей у свою редакцію, додавши значну кількість нового матеріалу. Книга складається з 24 розділів і містить 1008 віршів у метрі арія. Значна частина книги присвячена астрономії, але вона також містить ключові розділи з математики, включаючи алгебру, геометрію, тригонометрію та алгоритміку, які, як вважається, містять нові ідеї та рішення завдяки Брамагупті[10].
Пізніше Брахмагупта переїхав до Удджайну, великого центру астрономії в центральній Індії. Керував астрономічною обсерваторією в Удджайні. Обсерваторія, у якій також працював Варагамігіра, була найкращою в тогочасній Індії[11].
У 665 році, у віці 67 років, він склав свою наступну відому роботу «Кхандакхадьяка», практичний посібник з індійської астрономії в категорії Карана, призначений для використання студентами[10].
Брахмагупта помер у 668 році н.е., вважається, що це сталося в Удджайні.
Внесок у математику
Узагальнити
Перспектива
Арифметика
Уведення поняття нуля
В своїй праці «Брахма-спхута-сіддханта» Брамагупта дав означення нуля як результату віднімання від числа цього самого числа. Він одним з перших установив правила арифметичних операцій над додатними і від'ємними числами та нулем, розглядаючи при цьому додатні числа як майно, а від'ємні — як борг. Далі Брамагупта намагався розширити арифметику давши означення ділення на нуль. Згідно з Брамагуптою[11]:
- Ділення нуля на нуль є нулем;
- Ділення додатного або від'ємного числа на нуль є дробом з нулем у знаменнику;
- Ділення нуля на додатне або від'ємне число дає нуль.
Тотожність Брамагупти
Тотожність Брамагупти стверджує, що добуток двох сум двох квадратів сам є сумою двох квадратів, причому двома способами:
Наприклад,
Геометрія

Теорема Брамагупти
Нехай є вписаний чотирикутник, діагоналі якого взаємно перпендикулярні. Опустимо з точки перетину діагоналей перпендикуляр на одну з його сторін. Якщо продовжити його по інший бік від точки перетину діагоналей, цей перпендикуляр ділить протилежну сторону чотирикутника на дві рівні частини[12].
Формула Брамагупти
Формула Брамагупти є узагальненням формули Герона для площі трикутника на випадок чотирикутника, вписаного у коло. А саме, площа S вписаного у коло чотирикутника зі сторонами a, b, c, d і півпериметром p дорівнює
Відома ще одна формула Брамагупти для радіуса описаного кола довільного трикутника:
де a, b, c — сторони трикутника, , та — його висоти.
Задача Брамагупти

Задача Брамагупти — побудувати за допомогою циркуля та лінійки вписаний чотирикутник за чотирма його сторонами[13]. Один із розв'язків використовує кола Аполлонія.
Алгебра
Розв'язування квадратних рівнянь
Одне з перших відомих виведень формули для знаходження коренів квадратного рівняння належить Брамагупті[14]. Він першим запропонував універсальне правило знаходження коренів рівняння, зведеного до канонічного вигляду . При цьому передбачалося, що в ньому всі коефіцієнти, крім можуть бути від'ємними. Сформульоване правило за своєю суттю збігається зі сучасним.
Інтерполяційна формула Брамагупти
У своїх наукових працях Брамагупта запропонував інтерполяційну формулу другого порядку, що є частковим випадком виведеної більше ніж через 1000 років по тому інтерполяційної формули Ньютона — Стірлінга. Він використовував її для інтерполяції значень синуса у складених ним тригонометричних таблицях[15]. Формула дає оцінку значення функції f при значенні її аргумента a + xh (при h > 0 та −1 ≤ x ≤ 1), коли її значення вже відоме в точках a − h, a та a + h. Вона записується так:
де Δ — оператор висхідної скінченної різниці першого порядку, тобто
Внесок в астрономію
Узагальнити
Перспектива
Деякі дослідники вважають, що араби познайомилися з індійською астрономією у VIII столітті виключно завдяки праці Брамагупти «Брахма-спхута-сіддханта».[16] Халіф Аль-Мансур (712—775) запросив 770 року до Багдаду вченого з Удджайна на ім'я Канака, який викладав індійську систему астрономії на основі «Брахма-спхута-сіддханта». На прохання халіфа математик та філософ Мухаммед аль-Фазарі переклав праці Брамагупти арабською мовою.
Астрономічні відомості Брамагупти, викладені в «Брахма-спхута-сіддханта», свідчать про високий рівень його досліджень та наукову прозорливість. Так, у сьомому розділі праці «Про затемнення Місяця», Брамагупта спростовує уявлення про те, що Місяць розташований далі від Землі, ніж Сонце:[17]
7.1. Якби Місяць був вище від Сонця, то його ближня до Сонця половина завжди була б освітленою.7.2. Аналогічно, освітлену Сонцем частину Місяця завжди було б видно, а неосвітлена частина залишалася б невидимою.
7.3. Яскравість [освітленої частини Місяця] зростає в напрямку до Сонця. Наприкінці світлого півмісяця ближча половина освітлена, а інша половина темна. Відтак, висоту рогів півмісяця можна обчислити.— Plofker, Kim (2007). "Mathematics in India". The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.
Брамагупта пояснює, що оскільки Місяць ближче до Землі, ніж Сонце, ступінь освітленості Місяця залежить від взаємного розташування Сонця та Місяця, і його можна обчислити, виходячи з величини кута між цими двома небесними тілами.
Важливим внеском Брамагупти в астрономію є методи розрахунку положення небесних тіл з плином часу (ефемериди), їх сходів та заходів, сполучень, а також розрахунку сонячних та місячних затемнень. Брамагупта критикував уявлення пуранічної космології про те, що Земля є пласкою або порожнистою. Він стверджував що Земля і небо мають сферичну форму і що Земля рухається. 1030 року газневідський астроном Аль-Біруні у своїй праці «Та'ріх аль-Гінд», прокоментував роботу Брамагупти. Біруні зазначав, що на зауваження критиків теорії кулястої Землі («Якби це було так, то камені та дерева падали б із Землі») Брамагупта відповів:
«Навпаки, якби це було не так, то Земля не могла б зберігати свою форму навіть протягом хвилин. […] Усі важкі речі притягуються до центру землі […] Земля однакова з усіх боків. Всі люди на Землі стоять, і всі важкі речі падають на землю за законом природи, так влаштована природа Землі, щоб притягувати та тримати речі, так як природа води — текти, вогню — горіти, вітру — приводити в рух… Земля — це єдина низька річ, всі предмети завжди повернуться до неї з будь-якого напрямку, куди б ви їх не кинули, і ніколи не піднімуться вгору від Землі».— Брамагупта, Брахма-спхута-сіддханта (628) (cf. al-Biruni (1030), Indica)
Про силу тяжіння Землі Брамагупта говорив:
«Тіла падають на землю, оскільки це в природі Землі — притягувати їх, так само як в природі води — текти.»— Thomas Khoshy, Elementary Number Theory with Applications, Academic Press, 2002, p. 567. ISBN 0-12-421171-2.
Твори
Узагальнити
Перспектива
«Брахма-спхута-сіддханта»
Основна праця Брамагупти, «Брахма-спхута-сіддханта» (628). Переважно присвячена астрономії, та водночас містить декілька розділів з математики. У них викладено відомості про арифметичну прогресію (правило знаходження суми), методи розв'язування квадратних рівнянь з дійсними коренями, а також розв'язування в цілих числах деяких невизначених квадратних рівнянь вигляду ax²+c=y², метод розв'язування невизначених лінійних рівнянь вигляду ax+c=by з використанням методу послідовних дробів[11][18]. У решті розділів описано фази Місяця, сполучення планет, наведено розрахунки положень планет. Значну частину роботи присвячено затемненням Сонця і Місяця, розрахунку розташування планет у гороскопі.
Містить 25 розділів:
- Про стан земної кулі і форму неба та Землі.
- Про обертання світил і про визначення часу; про те, як знаходити середні положення світил; про визначення синуса дуги.
- Про складання таблиці світил.
- Про три проблеми, а саме: про тіні, про частину дня, що минула, і про гороскопи; а також про те, як виводити одне з них з іншого.
- Про те, як світила з'являються з-за проміння Сонця і як вони ховаються за ним.
- Про те, як показується молодий Місяць, і про його два роги.
- Про затемнення Місяця.
- Про затемнення Сонця.
- Про тіні Місяця.
- Про сполучення та протистояння світил.
- Про широти світил.
- Про критику того, що міститься у книгах та таблицях, і про розрізнення правильного від неправильного.
- Про арифметику та її застосування в обчисленні відстаней і в інших випадках.
- Про уточнення середнього положення світил.
- Про виправлення таблиці світил.
- Про точне дослідження трьох проблем.
- Про відхилення затемнень.
- Про точне визначення появи молодого Місяця і його двох рогів.
- Про метод «куттака».
- Про розрахунки в розмірах віршів та метриці.
- Про кола та інструменти.
- Про чотири виміри часу — за Сонцем, за сходом, за Місяцем і за місячними станціями.
- Про знаки для чисел і цифр у віршованих творах із цього предмету.
- Про доведення, що не використовують математики.
771 року математик і філософ Ібрахім аль-Фазарі переклав «Брахма-спхута-сіддханта» арабською. Переклад, виконаний у вигляді таблиць — зіджу — з необхідними поясненнями та рекомендаціями, отримав назву «Великий Сіндгінд». Відомо, що цією роботою користувався перський математик аль-Хорезмі (770—850) для написання своїх праць з астрономії («Зідж аль-Хорезмі») та арифметики («Книга про індійську арифметику»). Вважають, що переклад останньої в XI столітті латиною відіграв вирішальну роль у поширенні позиційної системи числення[19][20].
У VII—IX столітті «Брахма-спхута-сіддханта» переклали китайські математики (відомо принаймні чотири переклади), що дозволило поширити десяткову систему серед китайських вчених[4]. У 1817 році Генрі Томас Колбрук переклав дві математичні глави англійською[9].
«Кхандакхадьяка»
Друга наукова праця Брамагупти, «Кхандакхадьяка» (665), також є фундаментальною працею з астрономії, написана як практичний посібник для використання студентами[21].
Праця складається з двох частин під назвами «Пурва» і «Уттара». Перші дев'ять розділів пояснюють опівнічну систему, наступні 6 містять виправлення та доповнення[10].
У ній Брамагупта уточнив і спростив низку методик астрономічних розрахунків, користуючись багато в чому системою, яку запропонував Аріабхата[22]. Крім цього, вона включає інтерполяційну формулу для обчислення синусів[11].
Ця праця була досліджена великою кількістю коментаторів, від Лалли у восьмому столітті, до Амараджи у дванадцятому[10]. Коментарі до «Кхандакхадьяки» написано в 864, 966, 1040, 1180 роках, деякі з них не збереглись. Саму книгу надруковано в Калькутті в 1925 та 1941 роках. У VIII столітті «Кхандакхадьяку» перекладено арабською під назвою «Арканд»[22]. 1934 року Сенгупта[en] переклав її англійською[9].
Див. також
Примітки
Джерела
Посилання
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.