Квадратне рівняння

Квадра́тне рівня́ння — алгебраїчне рівняння виду:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$ де ${\displaystyle a\neq 0}$,

де x є невідомою змінною, а a, b, і c є сталими відомими числами, такими що a не дорівнює нулю 0. Якщо a = 0, тоді рівняння буде лінійним, а не квадратним рівнянням. Числа a, b, і c є коефіцієнтами рівняння, і аби розрізнити їх можна називати відповідно, квадратичним коефіцієнтом, лінійним коефіцієнтом і вільною сталою.^[1]

Квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою процедури розкладання на множники, методу виділення квадрата, за допомогою побудови графіка функції, або з використанням квадратичної формули, що є загальним розв'язком цього рівняння:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Рішення задачі, еквівалентної квадратному рівнянню були відомі ще в 2000 році до нашої ери.

Перші згадки

Стародавній Вавилон

Уже в другому тисячолітті до нашої ери вавилоняни знали, як розв'язувати квадратні рівняння. Розв'язання їх в Стародавньому Вавилоні було тісно пов'язане з практичними завданнями, в основному такими, як обчислення площі земельних ділянок, земельні роботи, пов'язані з військовими потребами; наявність цих знань також обумовлена розвитком математики та астрономії взагалі. Були відомі способи розв'язання як повних, так і неповних квадратних рівнянь.

Наведемо приклад квадратного рівняння, які розв'язувалися в Стародавньому Вавилоні, використовуючи сучасний алгебраїчний запис:

${\displaystyle x^{2}+x=3/4}$

Правила розв'язування квадратних рівнянь багато в чому аналогічні сучасним, проте в вавилонських текстах не зафіксовано міркування, шляхом яких ці правила були отримані.

Загальні відомості

Квадратні рівняння є різновидом рівнянь другого степеня з однією змінною. Числа ${\displaystyle \ a,b,c}$ — його коефіцієнти, при чому ${\displaystyle \ a}$ також називається першим коефіцієнтом, ${\displaystyle \ b}$ — другим, ${\displaystyle \ c}$ — вільним членом. Будь-яке квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами має

• або два різних дійсних корені,
• або два однакові дійсних корені (тобто, по суті, один),
• або взагалі не має дійсних коренів, а має два комплексні корені.

(Зазвичай, коли кажуть, що коренів немає, то мається на увазі, що немає дійсних коренів: в такому разі обидва корені є комплексними. Вони позначаються як ${\displaystyle x_{1}}$ та ${\displaystyle x_{2}}$ або, якщо йдеться про обидва корені одночасно, то ${\displaystyle x_{1,2}.}$ В деякій літературі зустрічається ще й таке позначення: ${\displaystyle x_{+}}$ і ${\displaystyle x_{-}.}$.)

Неповні квадратні рівняння

Згідно з означенням, перший коефіцієнт квадратного рівняння не може дорівнювати нулю: якщо ${\displaystyle \ a=0}$, то ${\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}$ перетворюється у лінійне рівняння ${\displaystyle \ bx+c=0}$. Якщо хоч один коефіцієнт ${\displaystyle \ b}$ або ${\displaystyle \ c}$ дорівнює нулю, то квадратне рівняння називається непо́вним.

Розв'язування неповних квадратних рівнянь

• ${\displaystyle ax^{2}=0}$ рівносильне рівнянню ${\displaystyle x^{2}=0}$ і тому завжди має тільки один корінь ${\displaystyle x=0}$.
• ${\displaystyle ax^{2}+bx=0}$ розв'язується винесенням за дужки ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle x(ax+b)=0}$. Таке рівняння має два корені: ${\displaystyle x_{1}=0,x_{2}=-b/a}$
• ${\displaystyle ax^{2}+c=0}$ рівносильне рівнянню ${\displaystyle x^{2}=-c/a}$. Якщо ${\displaystyle -c/a>0}$, воно має два дійсних розв'язки, якщо ${\displaystyle -c/a<0}$ — жодного дійсного.

Зведені квадратні рівняння

Зведеними називаються такі квадратні рівняння, у яких перший коефіцієнт дорівнює одиниці ${\displaystyle (a=1)}$. Будь-яке квадратне рівняння можна перетворити у зведене, іншими словами, звести його. Для цього треба обидві частини рівняння поділити на ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.}$

Повне квадратне рівняння

Повним називається таке квадратне рівняння, у якому жодний з коефіцієнтів ${\displaystyle a,b,c}$ не дорівнює нулю.

Виділення квадрату

Докладніше: Виділення квадрату

Для зведеного квадратного рівняння

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.}$

використаємо формулу скороченого множення про квадрат суми, щоб позбутись доданка з першим степенем:

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.}$

Дискримінант

Докладніше: Дискримінант

Оскільки ${\displaystyle 4a^{2}>0,}$ то кількість коренів залежить тільки від знаку чисельника правої частини

${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$

який називають дискриміна́нтом (лат. diskriminans — розрізняючий), та позначають латинською літерою ${\displaystyle D}$.

Формула

Якщо ${\displaystyle D>0}$, то квадратне рівняння рівносильне рівнянню ${\displaystyle (2ax+b)^{2}=\left({\sqrt {D}}\right)^{2}}$, звідки

${\displaystyle 2ax+b={\sqrt {D}},\qquad x={\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}},}$

або

${\displaystyle 2ax+b=-{\sqrt {D}},\qquad x={\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}}.}$

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед ${\displaystyle {\sqrt {D}}}$. Коротко ці корені записують так:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}}$, де ${\displaystyle D=b^{2}-4ac\qquad (1).}$

Якщо ${\displaystyle D=0}$, то ${\displaystyle 2ax+b=0}$, звідки ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$ — єдиний корінь (точніше — два однакові корені)

У випадку, якщо дискримінант менший за нуль, то дане рівняння не має дійсних коренів. Але при цьому є можливість знайти два комплексних корені за формулою (1) або, скориставшись наступною формулою, щоб не добувати корінь з від'ємного числа:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i\cdot {\sqrt {-b^{2}+4ac}}}{2a}}.}$

Якщо коефіцієнти в рівнянні мають великі числові значення для уникнення довгих розрахунків можна скористатися формулою:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-k\pm {\sqrt {k^{2}-ac}}}{a}},}$ де :${\displaystyle k={\frac {b}{2}}.}$

Приклад:

${\displaystyle 2x^{2}+3x-5=0.}$

${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle b=3}$ ${\displaystyle c=-5}$

${\displaystyle D=3^{2}-4\cdot 2\cdot (-5)=9+40=49=7^{2}}$

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед ${\displaystyle {\sqrt {D}}}$

${\displaystyle x_{1}={\frac {-3-7}{4}}=-2,5}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {-3+7}{4}}=1}$

Теорема Вієта

Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнтові рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток — вільному члену. Для прикладу візьмемо зведене рівняння ${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0}$ і позначимо ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$ через ${\displaystyle p,}$ а ${\displaystyle {\frac {c}{a}}}$ через ${\displaystyle q.}$ Тоді воно матиме такий вигляд:

${\displaystyle x^{2}+px+q=0,}$

отже за теоремою Вієта:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-p,}$

${\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}=q.}$

Доведення

Якщо рівняння ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ має корені ${\displaystyle x_{1}}$ і ${\displaystyle x_{2},}$ то їх можна знаходити за формулами:

${\displaystyle x_{1}={\frac {-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}}$ і ${\displaystyle x_{2}={\frac {-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}.}$

При додаванні та множенні коренів отримуємо відповідно:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}+{\frac {-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}=-p,}$

${\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}*{\frac {-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}=q.}$

Теорема обернена до теореми Вієта

Якщо сума і добуток чисел ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle n}$ дорівнюють відповідно ${\displaystyle -p}$ і ${\displaystyle q}$, то ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle n}$ — корені рівняння ${\displaystyle x^{2}+px+q=0.}$

Використання теореми Вієта та оберненої до неї

Використовуючи теорему Вієта можна перевіряти правильність розв'язання квадратних рівнянь. А користуючись оберненою теоремою, можна навіть усно розв'язувати більшість зведених рівнянь. Для прикладу розв'яжемо таке рівняння:

${\displaystyle 2x^{2}+16x+14=0.}$

Щоб звести рівняння поділимо його на 2 (незведене рівняння матиме такі ж корені, як і зведене)

${\displaystyle x^{2}+8x+7=0.}$

Оскільки 7 (вільний член) — це добуток коренів рівняння, то коренями має бути пара чисел 7 та 1 або −7 та −1. Так як сума коренів дорівнює −8 (другий коефіцієнт з протилежним знаком), то шукана пара — −7 і −1. Отже:

${\displaystyle x_{1}=-7,\quad x_{2}=-1.}$

Інші методи розв'язування

Для знаходження коренів існують формули, які можуть стати в пригоді у деяких окремих випадках. Так, наприклад, формулу

${\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}}$

зручно використовувати при парному p. Її перевага полягає в непотрібності окремого знаходження дискримінанта, що значно спрощує необхідні обчислення.

Також поширеною є формула

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}\qquad (2),}$

але суттєвим її недоліком є неможливість отримати два корені при ${\displaystyle c=0}$. Тобто у випадку відсутності вільного члена з її допомогою не вдасться добути другий корінь (перший дорівнюватиме нулю). Цю проблему можна вирішити використовуючи змішаний вигляд вищезазначеної формули:

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b-\operatorname {sgn} b\,{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}},}$

де ${\displaystyle \operatorname {sgn} b}$ — sign-функція. Цей спосіб розв'язування рівнянь дещо простіший за звичайний метод і позбавлений недоліку формули (2).

Аналітична геометрія

Графік функції y = x² − x − 2 перетинає вісь абсцис у точках з координатами, що дорівнюють кореням рівняння x² − x − 2 = 0

Корені рівняння

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

є також нулями функції

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c.}$

В точках перетину її графіка з віссю абсцис значення x-координати дорівнюватиме кореням рівняння. У випадку, коли дискримінант цього рівняння більший нуля, графік перетинається з віссю у двох точках; коли ${\displaystyle D=0}$, графік дотикається до неї в одній точці; якщо ж дискримінант менший за нуль, графік не перетинає вісь Ox взагалі.

Факторизація

Див. також: Факторизація многочленів

Ліва частина квадратного рівняння, яка також називається квадратним тричленом, може бути розкладена на множники за такою формулою:
${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})}$, де ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ — корені цього рівняння.

Доповнення до квадрата

В процесі доповнення до квадрата використовують алгебраїчне рівняння

${\displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}$

яке визначає чітко визначений алгоритм, який можна використати для розв'язку квадратного рівняння.^[2] Розпочнемо із квадратного рівняння наступної форми, ax² + bx + c = 0

1. Розділимо кожну його частину на a, коефіцієнт при квадратному члені рівняння.
2. Віднімемо сталу c/a з обох частин рівняння.
3. Додайте квадрат половини значення b/a, коефіцієнта при x, до обох частин рівняння. Це «доповнює квадрат», перетворюючи ліву частину у ідеальний квадрат.
4. Перепишіть ліву частину у вигляді квадрата і спростіть праву частину при необхідності.
5. Отримаємо два лінійні рівняння прирівнявши квадратний корінь у лівій частині із додатнім і від'ємним квадратним коренями правої частини.
6. Знайдемо розв'язок двох лінійних рівнянь.

Наведемо приклад роботи алгоритму, розв'язавши рівняння 2x² + 4x − 4 = 0

${\displaystyle 1)\ x^{2}+2x-2=0}$

${\displaystyle 2)\ x^{2}+2x=2}$

${\displaystyle 3)\ x^{2}+2x+1=2+1}$

${\displaystyle 4)\ \left(x+1\right)^{2}=3}$

${\displaystyle 5)\ x+1=\pm {\sqrt {3}}}$

${\displaystyle 6)\ x=-1\pm {\sqrt {3}}}$

Подвійний знак плюс-мінус «±» означає, що обидва варіанти x = −1 + √3 і x = −1 − √3 є розв'язками квадратного рівняння.^[3]

Рівняння, що зводяться до квадратних

До квадратних можна звести біквадратне, а також будь-яке рівняння виду ${\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}+c=0}$, зробивши заміну ${\displaystyle t=x^{n}}$. Для прикладу розв'яжемо наступне рівняння:

${\displaystyle 3x^{6}-21x^{3}+30=0.}$

Зробимо заміну ${\displaystyle t=x^{3}}$:

${\displaystyle 3t^{2}-21t+30=0.}$

Це звичайне квадратне рівняння, корені якого знайдемо за формулою (2):

${\displaystyle t_{1}={\frac {2\cdot 30}{21+{\sqrt {(-21)^{2}-4\cdot 3\cdot 30}}}}={\frac {60}{21+{\sqrt {441-360}}}}={\frac {60}{30}}=2,}$

${\displaystyle t_{2}={\frac {2\cdot 30}{21-{\sqrt {(-21)^{2}-4\cdot 3\cdot 30}}}}={\frac {60}{21-{\sqrt {441-360}}}}={\frac {60}{12}}=5.}$

Маючи значення ${\displaystyle t}$ легко знайти корені початкового рівняння:

${\displaystyle x_{1}={\sqrt[{3}]{t_{1}}}={\sqrt[{3}]{2}},}$

${\displaystyle x_{2}={\sqrt[{3}]{t_{2}}}={\sqrt[{3}]{5}}.}$

Приклади і застосування

Траєкторія польоту при стрибанні з кручі у воду параболічна, оскільки горизонтальне переміщення є лінійною функцією від часу ${\displaystyle x=v_{x}t}$, а вертикальне переміщення є квадратичною функцією від часу ${\displaystyle y={\tfrac {1}{2}}at^{2}+v_{y}t+h}$. В результаті, шлях буде задаватися квадратним рівнянням ${\displaystyle y={\tfrac {a}{2v_{x}^{2}}}x^{2}+{\tfrac {v_{y}}{v_{x}}}x+h}$, де ${\displaystyle v_{x}}$ і ${\displaystyle v_{y}}$ — горизонтальна і вертикальна компоненти початкової швидкості, a є гравітаційним прискоренням, а h є початковою висотою. Значення a слід задавати від'ємним, оскільки напрям падіння (вниз) є протилежним до вимірювання висоти (вгору).

Золотий перетин можна знайти як додатній розв'язок квадратного рівняння ${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$.

Рівняння кола і інших конічних перетинів — еліпса, параболи, і гіперболи — є квадратними рівняннями двох змінних.

При відомому косинусі або синусі кута, знайти косинус або синус половини цього кута можна за допомогою вирішення квадратного рівняння.

Теорема Декарта стверджує, що для будь-яких чотирьох взаємно дотичних кіл, їх радіуси задовольнятимуть певному квадратному рівнянню.

Теоремою Фаусса визначається рівняння, яке задає співвідношення між радіусом кола вписаного в біцентричний чотирикутник і радіусом описаного кола та відстанню між центрами цих кіл. Рівняння можна представити у вигляді квадратного рівняння, в якому розв'язком буде відстань між двома центрами кіл із заданими радіусами. Іншим розв'язком того ж рівняння, при відповідних радіусах дасть відстань між центрами описаного кола і зовнішнього кола зовні-описаного чотирикутника.

Історія

Стародавня Греція

У стародавній Греції квадратні рівняння розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, вперше наводить Діофант Александрійський у III ст. У своїх книгах «Арифметика» він наводить приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь. Його книги з описом способів розв'язування повних квадратних рівнянь до нашого часу не збереглися.

Індія

Завдання, які розв'язувалися за допомогою квадратних рівнянь, зустрічаються в трактаті з астрономії «Аріабхаттіам», написаним індійським астрономом і математиком Аріабхатою І в 499 році нашої ери. Один з перших відомих висновків формули коренів квадратного рівняння належить індійському вченому Брамагупті (близько 598 р.) [1]; Брамагупта виклав універсальне правило розв'язування квадратного рівняння, зведеного до канонічного вигляду: ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$причому передбачалося, що в ньому всі коефіцієнти, крім ${\displaystyle a}$, можуть бути від'ємними. Сформульоване вченим правило по своїй суті збігається з сучасним.

Аль-Хорезмі описав алгоритм знаходження коренів всіх шести підвидів квадратного рівняння.

Європа

Загальне правило розв'язування квадратних рівнянь було сформоване німецьким математиком М. Штифелем (1487 — 1567). Виведенням формули загального розв'язку квадратних рівнянь займався Франсуа Вієт. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році. Після праць нідерландського математика А. Жирара (1595 — 1632), а також Декарта і Ньютона спосіб розв'язування квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

Див. також

• Рівняння
• Кубічне рівняння
• Теорема Вієта
• Формули скороченого множення