Інтерполяційна формула Брамагупти

Інтерполяці́йна фо́рмула Брамагу́пти (англ. Brahmagupata's interpolation formula) — інтерполяційна формула другого поліноміального порядку, уперше записана індійським математиком і астрономом Брамагуптою на початку VII століття.

Історична довідка

Віршований опис цієї формули на санскриті міститься у додатковій частині «Кхандакхадьяки» — праці, завершеної Брамагуптою у 665 році^[1]. Такий же куплет є й у більш ранній праці «Дхьяна-граха-адхикара», точна дата створення якої не встановлена. Однак внутрішній взаємозв'язок робіт дозволяє припустити, що вона була створена раніше від завершеної у 628 році основної праці вченого — «Брахма-спхута-сіддханта^[en]», тому час створення інтерполяційної формули другого порядку може бути віднесений до першої чверті VII століття^[1]. Брамагупта був першим в історії математики, хто записав і використовував формулу в скінченних різницях другого порядку^[2][3].

Формула Брамагупти збігається з інтерполяційною формулою другого порядку Ньютона, котра була записана (повторно виведена) через понад тисячу років.

Задача

Будучи астрономом, Брамагупта був зацікавлений в отриманні точних значень синуса на основі невеликої кількості відомих табульованих значень цієї функції. Отже, перед ним стояла задача знайти величину ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle x_{r}<x<x_{r+1}}$ за наявними у таблиці значеннями функції:

${\displaystyle x}$	${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}}$	…	${\displaystyle x_{r}}$	${\displaystyle x_{r+1}}$	${\displaystyle x_{r+2}}$	…	${\displaystyle x_{n}}$
${\displaystyle f(x_{r})}$	${\displaystyle f_{1}}$	${\displaystyle f_{2}}$	…	${\displaystyle f_{r}}$	${\displaystyle f_{r+1}}$	${\displaystyle f_{r+2}}$	…	${\displaystyle f_{n}}$

За умови, що значення функції обчислені у точках з однаковим кроком ${\displaystyle h}$, (${\displaystyle x_{r+1}-x_{r}=h}$ для усіх ${\displaystyle r}$), Аріабхата запропонував використовувати для розрахунків (табличні) перші скінченні різниці:

${\displaystyle D_{r}=f_{r+1}-f_{r}}$

Математики до Брамагупти використовували очевидну формулу лінійної інтерполяції

${\displaystyle f(x)=f_{r}+tD_{r}}$,

де ${\displaystyle t=(x-x_{r})/h}$.

Брамагупта замінив у цій формулі ${\displaystyle D_{r}}$ функцією другого порядку від скінченних різниць, що дозволило отримувати точніші значення інтерпольованої функції.

Алгоритм обчислень Брамагупти

У термінології Брамагупти різниця ${\displaystyle D_{r-1}}$ називається минулий відрізок (गत काण्ड), ${\displaystyle D_{r}}$ називається корисний відрізок (भोग्य काण्ड). Довжина відрізка ${\displaystyle x-x_{r}}$ до точки інтерполювання в мінутах називається обрубком (विकल). Новий вираз, що має замінити ${\displaystyle D_{r}}$ називається правильним корисним відрізком (स्फुट भोग्य काण्ड). Обчислення правильного корисного відрізка описане у куплеті^[4][1]:

Згідно з коментарем Бхуттопали (X століття) вірші перекладаються так^[1][5]:

Помнож обрубок на піврізницю корисного і минулого відрізків та поділи результат на 900. Додай результат до півсуми корисного й минулого відрізків, якщо ця півсума є меншою за корисний відрізок. Якщо є більшою, то відніми. Отримаєш правильну корисну різницю^[6].

900 мінут (15 градусів) — це інтервал ${\displaystyle h}$ між аргументами табличних значень синуса, якими користувався Брамагупта.

Формула Брамагупти у сучасних позначеннях

У сучасних позначеннях алгоритм обчислень Брамагупти виражається формулами:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f_{r}+t({\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}+t{\frac {D_{r}-D_{r-1}}{2}})\\&=f_{r}+t{\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}+t^{2}{\frac {D_{r}-D_{r-1}}{2}}.\end{aligned}}}$

Це інтерполяційна формула Ньютона другого порядку^[7][8].

Доведення

Невідомо як Брамагупта отримав цю формулу^[1]. В наш час такі формули отримують розкладанням функцій ${\displaystyle f(x+kh),k=1,2,...}$ у ряд Тейлора. Однак довести формулу можна й елементарними методами: після заміни ${\displaystyle t=(x-x_{r})/h}$ формула Брамагупти задає параболу, що проходить через три точки ${\displaystyle (x_{r-1},f_{r-1}),(x_{r},f_{r}),(x_{r+1},f_{r+1})}$. Для виведення цієї формули достатньо знайти коефіцієнти рівняння цієї параболи за допомогою вирішення системи трьох лінійних рівнянь, що визначаються цими точками.

Точність формули

Комп'ютерний розрахунок показує, що на основі таблиці із 7-ми значеннями синуса у вузлах з кроком у 15°, Брамагупта міг обчислювати цю функцію с максимальною похибкою не більшою від 0,0012 і середньою похибкою, що не перевищує 0,00042.

Див. також

• Многочлен Ньютона
• Ряд Тейлора

Примітки

1. Gupta, R. C. Second-order interpolation in Indian mathematics upto the fifteenth century. Indian Journal of History of Science. 4 (1 & 2): 86—98.
2. Van Brummelen, Glen (2009). The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry. Princeton University Press. с. 329. ISBN 9780691129730. (p.111)
3. Meijering, Erik (March 2002). A Chronology of Interpolation From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing. Proceedings of the IEEE. 90 (3): 319—342. doi:10.1109/5.993400. {{cite journal}}: |access-date= вимагає |url= (довідка)
4. Dhyana-Graha-Upadesa-Adhyaya, 17; Khandaka Khadyaka, IX, 8
5. Raju, C K (2007). Cultural foundations of mathematics: the nature of mathematical proof and the transmission of the calculus from India to Europe in the 16th c. CE. Pearson Education India. с. 138–140. ISBN 9788131708712.
6. Завершальна частина алгоритму пов'язана з тим, що математики до Брамагупти і тривалий час після нього не користувались поняттям від'ємного числа. Тому реально обчислювалась не різниця, а модуль різниці ${\displaystyle {\frac {|D_{r-1}-D_{r}|}{2}}}$, а потім це додатне число додавалось або віднімалось, залежно від знаку, що визначався за допомогою нерівності.
7. Milne-Thomson, Louis Melville (2000). The Calculus of Finite Differences. AMS Chelsea Publishing. с. 67—68. ISBN 9780821821077.
8. Hildebrand, Francis Begnaud (1987). Introduction to numerical analysis. Courier Dover Publications. с. 138–139. ISBN 9780486653631.