Числове значення сталої Ейлера з точністю до 50 знаків після коми:[2]
Константа вперше з'явилася в 1734 році в роботі швейцарського математика Леонарда Ейлера «De Progressionibus harmonicis observationes» (Eneström Index 43). Для константи Ейлер використовував позначення C та O. У 1790 році італійський математик Лоренцо Маскероні[it] використав для константи позначення A та a. Позначення γ ніде не зустрічається в роботах ні Ейлера, ні Маскероні, і було обране[3] пізніше, можливо, через зв'язок константи з гамма-функцією. Наприклад, німецький математик Карл Антон Бретшнайдер[de] використовував позначення γ у 1835 році, [4] а Август де Морган використовував його в підручнику, опублікованому частинами з 1836 по 1842 роки.[5]
Стала Ейлера, серед іншого, зустрічається ('*' означає, що відповідний елемент містить рівняння у явному вигляді), зокрема, в таких поняттях:
модель Фішера—Орра для генетики адаптації в еволюційній біології;[7]
Не доведено чи є число алгебраїчним або трансцендентним. Насправді навіть невідомо, чи є ірраціональним. Використовуючи ланцюгові дроби, Папаніколау показав у 1997 році, що якщо є раціональним, його знаменник повинен бути більшим за 10244663.[8][9] Універсальність числа підтверджується великою кількістю рівнянь нижче, що робить питання ірраціональності є головним відкритим питанням у математиці.[10]
Проте певний прогрес все ж досягнуто.
Курт Малер показав у 1968р., що число є трансцендентним (тут і є функціями Бесселя[11]. У 2009 році Олександр Аптекарев довів, що принаймні одна з констант Ейлера або Ейлера — Гомперца[en] є ірраціональною[12]. Тангі Рівоаль довів у 2012 році, що принаймні одна з них є трансцендентною.[13] У 2010р. М. Рам Мурті[en] та Н.Сарадха показали, що принаймі одне з чисел вигляду
де і , є алгебраїчним; це сімейство включає частинний випадок .[14] У 2013 році М. Рам Мурті та А. Зайцева знайшли іншу сім'ю, що містить , яке базується на сумах обернених цілих чисел, які не діляться на фіксований список простих чисел з однією і тією ж властивістю.[15]
Похибка в останньому рівнянні є швидкоспадною функцією змінної .
У результаті формула добре підходить для ефективного обчислення константи з високою точністю.
Іншими цікавими границями, що дорівнюють сталій Ейлера, є антисиметрична границя:[17]
де функція стелі
Ця формула вказує, що коли беремо будь-яке натуральне число і ділимо його на будь—яке натуральне число менше за , то середня частка до якої спадає частка менша наступного цілого числа, прямує до (ніж до ), якщо прямує до нескінченності.
З цим тісно пов'язане представлення у вигляді раціонального дзета-ряду.
Взявши окремо декілька перших членів ряду наведеного вище, можна отримати оцінку для класичної границі ряду:
де дробове Гармонічне число.
Третю формулу в інтегральному списку можна довести наступним чином:
Інтеграл у третьому рядку— значення функції Дебая в , яке в свою чергу дорівнює .
Визначені інтеграли, у яких зустрічається :
Можна виразити , використовуючи частинний випадок формули Хаджикостаса[18] як подвійний інтеграл з еквівалентним рядом:
Цікавим є порівняння Сондоу:
Це показує, що можна розглядати як «знакозмінну сталу Ейлера».
Ці дві сталі також пов'язані за допомогою пари рядів[19]
де і — відповідно кількість одиниць і нулів у розкладі за основою 2.
Також можна записати за допомогою інтеграла[20]Каталана
Розклад в ряд
У загальному випадку
для будь-якого .
Однак швидкість збіжності цього розкладу значною мірою залежить від .
Зокрема, демонструє набагато швидшу збіжність, ніж стандартний розклад .[21][22] Це тому, що
коли
Тим не менш, існують інші розклади рядів, які збігаються швидше, ніж цей; деякі з них розглянуті нижче.
Цей нескінченний добуток, вперше відкритий Сером у 1926 році, був перевідкритий Сонду за допомогою гіпергеометричних функцій.[42]
Також справедлива наступна формула:[43]
Ланцюговий дріб
Розклад ланцюгового дробу для сталої починається з [2],
і немає видимої закономірності.
Відомо, що цей ланцюговий дріб має щонайменше 475 006 доданків і має нескінченно багато доданків тоді й лише тоді,
[44]
коли стала[45] є ірраціональним числом.
Узагальнені сталі Ейлера визначаються як
для , де є особливим випадком при .[46]
Подальші узагальнення мають вигляд
Спочатку Ейлер обчислив значення константи з точністю до 6 знаків після коми.
У 1781 році він обчислив його до 16 знаків після коми.
Маскероні спробував обчислити константу з точністю до 32 знаків після коми, але допустив помилку в 20-22 і 31-32 знаках після коми; починаючи з 20-ї цифри, він обчислив , хоча правильне значення дорівнює .
Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1998). Buhler, Joe P. (ed.). «Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers». Algorithmic Number Theory.
Sondow, Jonathan (2005), «Double integrals for Euler's constant and and an analog of Hadjicostas's formula», American Mathematical Monthly, 112 (1): 61—65, arXiv: math.CA/0211148, doi:10.2307/30037385, JSTOR 30037385
Vacca, G. (1910). «A new analytical expression for the number and some historical considerations». Bulletin of the American Mathematical Society. 16: 368—369. doi:10.1090/S0002-9904-1910-01919-4
Blagouchine, Iaroslav V. (2016), «Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in and into the formal enveloping series with rational coefficients only», J. Number Theory, 158: 365—396, arXiv:1501.00740, doi:10.1016/j.jnt.2015.06.012.
Blagouchine, Iaroslav V. (2016), «Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in and into the formal enveloping series with rational coefficients only»
hoi, Junesang; Srivastava, H.M. (1 September 2010). «Integral Representations for the Euler—Mascheroni Constant ». Integral Transforms and Special Functions.
Bretschneider, Carl Anton (1837) [1835]. «Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova». Crelle's Journal (in Latin). 17: 257—285.
Ram Murty, M.; Saradha, N. (2010). «Euler—Lehmer constants and a conjecture of Erdos». Journal of Number Theory. 130 (12): 2671—2681. doi:10.1016/j.jnt.2010.07.004. ISSN 0022-314X.
Karatsuba, E. A. (1991). Fast evaluation of transcendental functions. Probl. Inf. Transm. 27 (44): 339—360.
Karatsuba, E.A. (2000). On the computation of the Euler constant γ. Journal of Numerical Algorithms. 24 (1–2): 83—97. doi:10.1023/A:1019137125281. S2CID21545868.