Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Математична константа — величина, значення якої не змінюється; в цьому вона протилежна змінній. Зазвичай — це дійсне або комплексне число, яка виводиться в самій математиці, тому на відміну від фізичних констант, математичні константи визначені незалежно від якихось фізичних вимірювань.
Математична константа | |
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
---|---|
Математична константа у Вікісховищі |
Використані скорочення: Р — раціональне число, І — ірраціональне число, А — алгебраїчне число, Т — трансцендентне число, ? — невідомо; мат — звичайна математика, ТЧ — теорія чисел, ТХ — теорія хаосу, комб — комбінаторика.
Символ | Наближене значення | Назва | Галузь | Значення | Вперше описана | Число відомих знаків |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | нуль | мат | Р | 7 ст. до Р.Х.- 5 ст. до Р.Х. | ||
1 | одиниця, Unity | мат | Р | |||
уявна одиниця | мат, мат. аналіз | А | 16 століття | |||
≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88 | пі, константа Архімеда | мат | Т | 2000 рік до Р.Х. | 1 241 100 000 000 | |
≈ 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 49 | константа Непера, число Ейлера, основа натурального логарифма | мат | Т | 12 884 901 000 | ||
≈ 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 07 | константа Піфагора, квадратний корінь з 2 | мат | І | 137 438 953 444 | ||
≈ 1,732 050 807 568 877 293 527 446 341 505 | константа Теодоруса, квадратний корінь з 3 | мат | І | |||
≈ 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 43 | стала Ейлера — Маскероні | мат, ТЧ | ? | 108 000 000 | ||
≈ 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 11 | золотий перетин | мат | І | 3 141 000 000 | ||
0,702 58 | константа Ембрі — Трефетена | ТЧ | ||||
≈ 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 201 61 | константи Фейгенбаума | ТХ | 1975 | |||
≈ 2,502 907 875 095 892 822 283 902 873 218 215 78 | константи Фейгенбаума | ТХ | ||||
≈ 0,660 161 815 846 869 573 927 812 110 014 555 77 | константа простих близнюків | ТЧ | 5 020 | |||
≈ 0,261 497 212 847 642 783 755 426 838 608 695 85 | константа Майсселя — Мертенса | ТЧ | 1866; 1874 | 8010 | ||
≈ 1,902 160 582 3 | константа Бруна для простих близнюків | ТЧ | 1919 | 10 |
Стала π (пі) має натуральне визначення в Евклідовій геометрії (співвідношення між окружністю і діаметром кола), але її можна зустріти в багатьох математичних поняттях: наприклад, Гаусівський інтеграл у комплексному аналізі, у Корінь з одиниці в теорії чисел, і Розподіл Коші імовірностей. Однак, її поширення не обмежується лише класичною математикою. Вона використовується в багатьох фізичних формулах, і деякі фізичні константи визначені через π. Однак, об'єктом дискусій щодо того, наскільки її використання є фундаментальним в таких випадках. Наприклад, нерелятивістська хвильова функція основного стану атома водню є такою:
де це радіус Бора. Формула містить число π, але залишається не ясним, наскільки це коректно у фізичному плані, або це лише відображає π в виразі для розрахунку площі поверхні сфери із радіусом . Крім того, ця формула дає лише приблизне описання фізичної реальності, оскільки вона не враховує спін, релятивізм, і квантову природу електромагнітного поля. Аналогічно, поява числа π у формулі, що описує закон Кулона в одиницях вимірювання СІ, залежить від вибору системи одиниць, і історично це пов'язано з тим як була введена в практику так звана діелектрична проникність вільного простору, яку запропонував Джованні Джорджі[en] в 1901. Константа π, як в наведеному рівнянні, часто мають чисто з математичну природу і сенс, а не фізичну.
Числове значення π приблизно дорівнює 3.1415926535 (послідовність A000796 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Запам'ятовування як змога більшої кількості цифр числа π є свого типу змаганням за встановлення світового рекорду.
Число Ейлера e, що також відоме як стала експоненційного зростання, застосовується у багатьох галузях математики і одним із можливих визначень її значення є наступний вираз:
Наприклад, математик Якоб Бернуллі встановив, що число e виникає в розрахунках складних відсотків: рахунок, який починається із суми в $1, і дає відсоток із річною ставкою R при постійному зростанні, акумулюватиме до eR доларів до кінця одного року. Константа e також має своє застосування у теорії ймовірностей, де вона очевидно не пов'язана із експоненціальним зростанням. Уявімо ігровий автомат із ймовірністю один із n отримати виграш. Нехай з ним зіграли n разів. Тоді, для великих значень n (настільки великих як один мільйон) імовірність того, що нічого не буде виграно дорівнюватиме приблизно 1/e і прямує до цього значення з тим як n прямує до нескінченності.
Іншим застосуванням числа e, яку вирішив Якоб Бернулі одночасно з французьким математиком П'єром де Монмором, є задача перестановок без нерухомих точок, що також називається безладом.[1] Нехай, наприклад, n це кількість гостей, яких запросили на вечірку, і на вході кожен гість віддає свого капелюха дворецькому, який складає їх у підписані комірки. Дворецький не знає імен гостей, і тому розкладає їх капелюхи навмання. Задачею де Монмора є знайти ймовірність того, що жоден з капелюхів гостей не буде покладений в правильну комірку. Відповіддю до цієї задачі буде
із тим як n прямує до нескінченності, pn наближатиметься до 1/e.
Числове значення сталої e приблизно становить 2.7182818284 (послідовність A001113 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).
Квадратний корінь з двох, відомий як константа Піфагора і записується як √2, є додатнім алгебраїчним числом, при множенні якого на самого себе результатом буде число 2. Більш точно його називати головний корінь числа 2, аби відрізнити його від від'ємного числа, яке має таку ж властивість.
В геометричному сенсі квадратний корінь числа 2 це довжина діагоналі, що розділяє квадрат, сторони якого дорівнюють одиниці. Це випливає із теореми Піфагора. Ймовірно, це перше відоме ірраціональне число. Його числове значення із точністю до 65 десяткових знаків є наступним:
Часто для спрощення розрахунків використовується наближене значення у вигляді дробу 99/70 (≈ 1.41429). Дане число відрізняється від правильного менше ніж на 1/10000 (приблизно 7.2 × 10 −5).
Уявна одиниця, позначається як i, є математичним поняттям, що розширює систему дійсних чисел ℝ до системи комплексних чисел ℂ, що в свою чергу визначає принаймні один корінь будь-якого поліному P(x) (див Основна теорема алгебри). Основною властивістю уявної одиниці є те, що i2 = −1. Термін "уявне" використовується тому, що не існує такого дійсного числа, що б мало від'ємний квадрат.
Насправді існує два комплексні квадратні корені −1, а саме i і −i, так само як існує два комплексні квадратні корені будь-якого іншого дійсного числа, крім числа нуль.
Наведені в цьому розділі сталі зустрічаються у задачах вищої математики.
Ітерації неперервних відображень є найпростішим прикладом моделювання динамічних систем.[2] Із такого ітеративного процесу виникають дві константи Фейгенбаума, названі на честь математичного фізика Мітчелла Фейгенбаума. Ці констати є математичними інваріантами логістичних відображень із квадратичними точками максимумів[3] і їх діаграм біфуркації[en].
Логістичне відображення це поліноміальне поліноміальне відображення, яку часто описують за допомогою архітипного прикладу того як вз дуже простих рівнянь не лінійної динаміки може виникнути хаотична поведінка. Це відображення було опубліковано у статті 1976 австралійського біолога Роберта Мейя,[4] в рамках дослідження демографічної моделі дискретного часу аналогічної до логістичного рівняння, яке вперше створив П'єр Франсуа Ферхюльст. Різницеве рівняння призначене для описання двох ефектів відтворення популяції та голоду.
Числове значення α приблизно становить 2.5029. Числове значення δ приблизно є 4.6692.
Попри те, що вона є частковим значенням Дзета-функції Рімана, стала Апері природним чином зустрічається в багатьох фізичних задачах, зокрема в термах другого і третього порядку гіромагнітного співвідношення для електронів, розрахованого за допомогою квантової електродинаміки.[5] Числовим значенням сталої ζ(3) приблизно є 1,2020569. Визначається вона наступним виразом:
Число φ, що називається золотим перетином, часто зустрічається у геометрії, зокрема при розгляді фігур із п'ятикутною симетрією. Дійсно, довжина діагоналі правильного п'ятикутника дорівнює числу φ помноженому на сторону. Вершини правильного ікосаедра утворюють три взаємно ортогональні золоті прямокутники. Воно також з'являється у послідовності Фібоначчі, і пов'язане зі зростанням за допомогою рекурсії.[6] Кеплер в свою чергу довів, що воно є границею співвідношення послідовних чисел Фібоначі.[7] Золотий перетин має найменшу збіжність із усіх ірраціональних чисел.[8] Саме з цієї причини, золотий перетин є одним із найгірших випадків теореми апроксимації Лагранжа і є екстремальним випадком теореми Гурвіца для Діофантової апроксимації. Це може бути причиною, чому при зростанні рослин часто виникають кути близькі до золотого перетину.[9] Золотий перетин приблизно дорівнює 1.6180339887498948482, або більш точно визначається як 2sin(54°) =
Стала Ейлера—Маскероні є важливою сталою із теорії чисел. Бельгійський математик Шарль Жан де ла Валле-Пуссен в 1898 довів, що якщо взяти будь-яке додатне число n і поділити його на кожне додатне ціле число m, що є меншим за n, середнє значення дробу, при якому відношення n/m є найближчим до наступного цілого прямує до (а не до 0.5) при n що прямує до нескінченності. Стала Ейлера—Маскероні також зустрічається у третій теоремі Мартенеса і має зв'язок із гамма функцією, Дзета-функцією Рімана і багатьма різними інтегралами і рядами. Визначення сталої Ейлера—Маскероні виявляє тісний зв'язок між дискретністю і неперервністю (див зображення ліворуч).
Числове значення сталої приблизно становить 0.57721.
Деякі сталі, такі як квадратний корінь з двох, число Ліувілля і стала Чемперноуна[en] :
не є важливими математичними інваріантами, але все ж таки викликають інтерес, оскільки є простими представниками особливих наборів чисел, вони є ірраціональними числами,[11] трансцендентними числами[12] і нормальними числами (із основою 10)[13] відповідно. Відкриття ірраціональних чисел як правило приписують Піфагорійцю Гіппасу Метапонтському, який геометричним способом довів ірраціональність квадратного кореня із 2. Щодо числа Ліувілля, названого в честь французького математика Жозефа Ліувілля, то це було перше число, щодо якого було доведено, що воно є трансцендентним.[14]
В Алгоритмічній теорії інформації, що є галуззю комп'ютерних наук, постійна Чайтіна[en] це дійсне число, що представляє собою імовірність, що довільно обрана Машина Тюрінга зупиниться. Хоча постійна Чайтіна не є обчислювальною[en], було доведено, що воно є трансцендентним і нормальним числом. Постійна Чайтіна не універсальна, і значно залежить від числового кодування, що було використане для машин Тюрінга; однак, її основні цікаві властивості не залежать від кодування.
У разі якщо константа невизначена, вона може ідентифікувати клас подібних об'єктів, як правило функцій, що є в практичному сенсі рівними з точністю до сталої, і можуть розглядатися 'подібними до сталої'. Такі сталі часто з'являються в задачах пов'язаних з інтегральними і диференціальними рівняннями. Хоча вони мають певне значення, значення таких невизначених констант неважливе.
Невизначені інтеграли називаються так, тому що їх розв'язок є визначеним лише до сталої. Наприклад, якщо річ іде про поле дійсних чисел
де C, є сталою інтегрування — довільним дійсним числом.[15] Іншими словами, яким би не було значення C, диференціювання виразу sin x + C по відношенню до x завжди дасть в результаті cos x.
Аналогічним чином, константи з'являються при розв'язуванні диференційних рівнянь в яких не задано достатніх початкових значень або граничних умов. Наприклад, звичайне диференціальне рівняння y' = y(x) має розв'язок Cex де C є довільною сталою.
Маючи справу із диференціальними рівняннями із частинними похідними, сталі можуть бути функціями, що є сталими по відношенню до деяких змінних (але не обов'язково до всіх із них). Наприклад, наступне рівняння із частинними похідними
має множину рішень f(x,y) = C(y), де C(y) є довільною функцією із змінною y.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.