Довжина кола

Коло^[1] — замкнена крива, всі точки якої однаково віддалені від точки центра кола. У геометрії, довжина кола - це лінійна довжина довкола нього (від лат. circumferentia, що означає «обійти довкола»).^[2] Тобто, визначити довжину кола, це якби його випрямили і розтягнули в вигляді прямого відрізка. Оскільки коло це зовнішня межа круга (диску), довжина кола це особливий випадок периметра.^[3] Периметр це довжина довкола будь-якої замкненої фігури і цей термін застосовують до всіх фігур окрім кола і подібних округлих фігур, таких як Еліпси.

Крім того, слово «коло» може стосуватися самої межі кола, а не поняття довжини цієї межі.

Довжина кола

Ілюстрація кола (C) показаного чорним, з діаметром (D) блакитним, радіусом (R) червоним, із центром у точці (O) виділеного фіолетовим. Довжина кола = π × діаметр = 2 × π × радіус.

Окружність кола, це відстань довкола нього, але якщо, як у більшості елементарних трактуваннях, відстань визначається по прямій лінії, таке пояснення не може використовуватися як визначення. З таких міркувань, окружність кола можна визначити як границю периметрів вписаних правильних багатокутників із нескінченним збільшенням кількості їх сторін.^[4] Поняття окружності використовують при вимірювання фізичних об'єктів, також при розгляді абстрактних геометричних форм.

Якщо діаметр кола дорівнює 1, його окружність дорівнює π.

Якщо радіус кола дорівнює 1, що називається одиничним колом—його окружність становить 2π.

Зв'язок із числом π

Окружність кола пов'язана з однією з найважливіших математичних констант. Ця константа, пі, позначається грецькою літерою π. Першими декількома десятковими цифрами чисельного значення π є 3,141592653589793… (див.  A000796). π визначається як відношення довжини окружності кола C до його діаметру d:

${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}.}$

Або, аналогічним способом, як відношення довжини окружності до двох радіусів. Вищезгадану формулу можна виразити так, щоб знаходити окружність:

${\displaystyle {C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!}$

Математична константа π широко використовується в математиці, техніці, і науці.

У своїй праці Вимірювання кола^[en], написаній 250 до н. е., Архімед показав, що відношення (C/d, хоча він тоді не використовував назву π), є більшим за 310/71 але меншим за 31/7 розраховуючи периметри вписаного і описаного правильного полігону із 96 сторонами.^[5] Цей метод наближення значення π використовувався століттями, що дозволяло отримувати більшої точності використовуючи полігони з усе більшою і більшою кількістю сторін. Останній подібний розрахунок в 1630 виконав Крістоф Гріенбергер^[en], що використав полігони із 10⁴⁰ сторонами.

Окружність еліпса

Термін окружність використовується іноді для визначення периметру еліпса. Не існує загальної формули для визначення окружності еліпса через велику і малу піввісі еліпса, яка б використовувала лише елементарні функції. Однак, для цих параметрів існують наближені формули. Однією з таких апроксимацій, є формула Ейлера (1773), для конічного еліпса,

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

це

${\displaystyle C_{\rm {ellipse}}\sim \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}.}$

Деякими нижніми і верхніми межами окружності конічного еліпса із ${\displaystyle a\geq b}$ є наступні^[6]

${\displaystyle C\leq 2\pi a,}$

${\displaystyle \pi (a+b)\leq C\leq 4(a+b),}$

${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leq C\leq \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}.}$

Тут верхньою межею ${\displaystyle 2\pi a}$ є окружність описаного концентричного кола, що проходить через крайні точки великої піввісі еліпса, а нижньою межею ${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ є периметр вписаного ромба із вершинами, що лежать на крайніх точках великої і малої півосей.

Окружність еліпса можна точно виразити за допомогою повного еліптичного інтегралу другого роду.^[7] Більш точно, ми будемо мати

${\displaystyle C_{\rm {ellipse}}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta ,}$

де, знову ж таки, ${\displaystyle a}$ є довжиною великої піввісі і ${\displaystyle e}$ є ексцентриситетом ${\displaystyle {\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.}$

Окружність графу

В теорії графів окружність графу відноситься до найдовшого (простого) циклу, що міститься в графі.^[8]