Окружність

У геометрії, окружністю (від латинського circumferentia, що означає «обійти довкола») кола це лінійна довжина довкола нього.^[1] Тобто, окружність визначає довжину кола, якби його випрямили і розтягнули в вигляді прямого відрізка. Оскільки коло це зовнішня межа круга (диску), окружність це особливий випадок периметра.^[2] Периметр це довжина довкола будь-якої замкненої фігури і цей термін застосовують до всіх фігур окрім кола і подібних округлих фігур, таких як Еліпси.

Крім того, слово «окружність» може стосуватися самої межі кола, а не поняття довжини цієї межі.

Окружність кола

Ілюстрація кола з окружністю (C) показаною чорним, діаметром (D) блакитним, радіусом (R) червоним, із центром у точці (O), що виділена фіолетовим. Окружність = π × діаметр = 2 × π × радіус.

Окружність кола, це відстань довкола нього, але якщо, як у більшості елементарних трактуваннях, відстань визначається по прямій лінії, таке пояснення не може використовуватися як визначення. З таких міркувань, окружність кола можна визначити як границю периметрів вписаних правильних багатокутників із нескінченним збільшенням кількості їх сторін.^[3] Поняття окружності використовують при вимірювання фізичних об'єктів, також при розгляді абстрактних геометричних форм.

Якщо діаметр кола дорівнює 1, його окружність дорівнює π.

Якщо радіус кола дорівнює 1, що називається одиничним колом—його окружність становить 2π.

Зв'язок із числом π

Окружність кола пов'язана з однією з найважливіших математичних констант. Ця константа, пі, позначається грецькою літерою π. Першими декількома десятковими цифрами чисельного значення π є 3,141592653589793… (див.  A000796). π визначається як відношення довжини окружності кола C до його діаметру d:

${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}.}$

Або, аналогічним способом, як відношення довжини окружності до двох радіусів. Вищезгадану формулу можна виразити так, щоб знаходити окружність:

${\displaystyle {C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!}$

Математична константа π широко використовується в математиці, техніці, і науці.

У своїй праці Вимірювання кола^[en], написаній 250 до н. е., Архімед показав, що відношення (C/d, хоча він тоді не використовував назву π), є більшим за 310/71 але меншим за 31/7 розраховуючи периметри вписаного і описаного правильного полігону із 96 сторонами.^[4] Цей метод наближення значення π використовувався століттями, що дозволяло отримувати більшої точності використовуючи полігони з усе більшою і більшою кількістю сторін. Останній подібний розрахунок в 1630 виконав Крістоф Гріенбергер^[en], що використав полігони із 10⁴⁰ сторонами.

Окружність еліпса

Термін окружність використовується іноді для визначення периметру еліпса. Не існує загальної формули для визначення окружності еліпса через велику і малу піввісі еліпса, яка б використовувала лише елементарні функції. Однак, для цих параметрів існують наближені формули. Однією з таких апроксимацій, є формула Ейлера (1773), для конічного еліпса,

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

це

${\displaystyle C_{\rm {ellipse}}\sim \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}.}$

Деякими нижніми і верхніми межами окружності конічного еліпса із ${\displaystyle a\geq b}$ є наступні^[5]

${\displaystyle C\leq 2\pi a,}$

${\displaystyle \pi (a+b)\leq C\leq 4(a+b),}$

${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leq C\leq \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}.}$

Тут верхньою межею ${\displaystyle 2\pi a}$ є окружність описаного концентричного кола, що проходить через крайні точки великої піввісі еліпса, а нижньою межею ${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ є периметр вписаного ромба із вершинами, що лежать на крайніх точках великої і малої півосей.

Окружність еліпса можна точно виразити за допомогою повного еліптичного інтегралу другого роду.^[6] Більш точно, ми будемо мати

${\displaystyle C_{\rm {ellipse}}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta ,}$

де, знову ж таки, ${\displaystyle a}$ є довжиною великої піввісі і ${\displaystyle e}$ є ексцентриситетом ${\displaystyle {\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.}$

Окружність графу

В теорії графів окружність графу відноситься до найдовшого (простого) циклу, що міститься в графі.^[7]

Примітки

1. San Diego State University (2004). Perimeter, Area and Circumference (PDF). Addison-Wesley. Архів оригіналу (PDF) за 6 жовтня 2014.
2. Bennett, Jeffrey; Briggs, William (2005), Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (вид. 3rd), Addison-Wesley, с. 580, ISBN 978-0-321-22773-7
3. Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W. H. Freeman and Co., с. 565, ISBN 0-7167-0456-0
4. Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (вид. 2nd), Addison-Wesley Longman, с. 109, ISBN 978-0-321-01618-8
5. Jameson, G.J.O. (2014). Inequalities for the perimeter of an ellipse. Mathematical Gazette. 98: 227—234. doi:10.2307/3621497.
6. Almkvist, Gert; Berndt, Bruce (1988), Gauss, Landen, Ramanujan, the arithmetic-geometric mean, ellipses, π, and the Ladies Diary, American Mathematical Monthly, 95: 585—608, MR 0966232
7. Harary, Frank (1969), Graph Theory, Addison-Wesley, с. 13, ISBN 0-201-02787-9

Посилання

• Numericana — Circumference of an ellipse [Архівовано 16 грудня 2017 у Wayback Machine.] (англ.)