Якщо і — групи з операціями і відповідно, той прямий добуток визначається так:
- Множиною є декартівдобуток, . Його елементами є упорядковані пари , де і .
- Бінарна операція на визначається покомпонентно:
Отриманий алгебричний об'єкт задовольняє аксіомам групи:
- Асоціативність бінарної операції
- Бінарна операція на асоціативна, що перевіряється покомпонентно.
- Існування одиничного елемента
- Прямий добуток має одиничний елемент , де — одиничний елемент і — одиничний елемент .
- Існування оберненого елемента
- Обернений елемент до елемента у — це пара , де є оберненим до в , а — оберненим до в .
- Нехай — група дійсних чисел із операцією додавання. Тоді прямий добуток — група всіх двокомпонентних векторів з операцією додавання векторів:
- .
- Нехай — група додатних дійсних чисел із операцією множення. Тоді прямий добуток — група всіх векторів у першій координатній чверті з операцією покомпонентного множення:
- .
- Нехай і — циклічні групи, кожна з яких містить два елементи:
Більше інформації ...
* |
1 |
a |
1 |
1 | a |
a |
a | 1 |
Закрити
Більше інформації ...
* |
1 |
b |
1 |
1 | b |
b |
b | 1 |
Закрити
Тоді прямий добуток ізоморфний 4-групі Кляйна:
Більше інформації ...
* |
(1,1) |
(a,1) |
(1, b) |
(a, b) |
(1,1) |
(1,1) |
(a,1) |
(1, b) |
(a, b) |
(a,1) |
(a,1) |
(1,1) |
(a, b) |
(1, b) |
(1, b) |
(1, b) |
(a, b) |
(1,1) |
(a,1) |
(a, b) |
(a, b) |
(1, b) |
(a,1) |
(1,1) |
Закрити
Нехай і — групи, а . Розглянемо наступні дві підмножини :
- і .
Обидві ці підмножини є підгрупами , при цьому канонічно ізоморфна , а канонічно ізоморфна . Якщо ми ототожнимо їх із і відповідно, ми зможемо вважати, що прямий добуток містить початкові групи і як підгрупи.
Зазначені підгрупи мають такі три важливі властивості:
- Перетин тривіальний.
- Кожен елемент із можна однозначно подати як добуток елемента з та елемента з .
- Кожен елемент із комутує з кожним елементом із .
Разом ці три властивості повністю визначають алгебричну структуру прямого добутку . Іншими словами, якщо — будь-яка група, що має підгрупи і , що задовольняють зазначені вище властивості, то ізоморфна прямому добутку і . У цій ситуації іноді називають внутрішнім прямим добутком її підгруп і .
У деяких випадках третя з наведених властивостей замінюється такою:
- 3′. і нормальні в .
Ця властивість еквівалентна властивості 3, оскільки елементи двох нормальних підгруп із тривіальним перетином обов'язково комутують, що можна довести, розглядаючи комутатор , де — будь-який елемент у , а — будь-який елемент у .
Приклади внутрішнього прямого добутку
Більше інформації ∙, a ...
V ∙ | 1 | a | b | c
|
---|
1 | 1 | a | b | c
|
---|
a | a | 1 | c | b
|
---|
b | b | c | 1 | a
|
---|
c | c | b | a | 1
|
---|
Закрити
- Нехай — 4-группа Кляйна:
Тоді — внутрішній прямий добуток двоелементних підгруп і .
- Нехай — циклічна група порядку , де і — взаємно прості числа. Тоді і — циклічні підгрупи порядків і відповідно, і — внутрішній прямий добуток цих підгруп.
- Нехай — група ненульових комплексних чисел із операцією множення. Тоді є внутрішнім прямим добутком колової групи , що складається з комплексних чисел із модулем , і групи додатних дійсних чисел із операцією множення.
- Комплексна повна лінійна група — внутрішній прямий добуток спеціальної лінійної групи та підгрупи, що складається зі всіх скалярних матриць.
- Якщо — непарне число, то дійсна повна лінійна — внутрішній прямий добуток спеціальної лінійної групи і підгрупи, що складається зі всіх скалярних матриць.
- Аналогічно, коли непарне, ортогональна група є внутрішнім прямим добутком спеціальної ортогональної групи і двоелементної підгрупи , де означає одиничну матрицю.
- Група симетрії куба — внутрішній прямий добуток підгрупи обертань куба та двоелементної групи , де — одиничний елемент, а — точкове відбиття через центр куба. Аналогічний факт справедливий і для групи симетрії ікосаедра.
- Нехай непарне, і нехай — діедральна група порядку :
Тоді є внутрішнім прямим добутком підгрупи (яка ізоморфна ) і двоелементної підгрупи .
Задання прямого добутку
Алгебричну структуру можна використати для задання прямого добутку за допомогою задань і . Зокрема, припустимо, що
- і
де і — (неперетинні) породжувальні множини групи, а і — множини співвідношень між породжувальними. Тоді
де — множина співвідношень, які визначають, що кожен елемент у комутує з кожним елементом у .
Наприклад, якщо
- і
то
Підгрупи
Якщо — підгрупа і — підгрупа , то прямий добуток є підгрупою . Наприклад, ізоморфною копією в є добуток , де — тривіальна підгрупа .
Якщо і нормальні, то — нормальна підгрупа в . Більш того, фактор-група прямих добутків ізоморфна прямому добутку часток:
- .
Зверніть увагу, що, взагалі кажучи, неправда, що кожна підгрупа з є добутком підгрупи з та підгрупи з . Наприклад, якщо — будь-яка нетривіальна група, то добуток має діагональну підгрупу[en]
яка не є прямим добутком двох підгруп .
Підгрупи прямих добутків описує лема Ґурса́[en].
Спряженість та централізатори
Два елементи і спряжені в тоді й лише тоді, коли і спряжені в і одночасно і спряжені в . Звідси випливає, що кожен клас спряженості в є декартовим добутком класу спряженості в і класу спряженості в .
Аналогічно, якщо , то централізатор є добутком централізаторів і :
- .
Також центр є добутком центрів і :
- .
Нормалізатори поводяться складніше, оскільки всі підгрупи прямих добутків самі розкладаються на прямі добутки.
Автоморфізми та ендоморфізми
Якщо — автоморфізм , а — автоморфізм , то добуток функцій , що визначається формулою
є автоморфізмом . З цього випливає, що містить у собі підгрупу, ізоморфну прямому добутку .
У загальному випадку неправда, що кожен автоморфізм має вищезгаданий вигляд. Наприклад, якщо — будь-яка група, то існує автоморфізм групи , який міняє місцями два множники, тобто
- .
Інший приклад: групою автоморфізмів групи є є група всіх матриць розміру зі цілочисельними значеннями та визначником, рівним . Ця група автоморфізмів нескінченна, але лише скінченна кількість автоморфізмів задаються як .
Загалом, кожен ендоморфізм можна записати у вигляді матриці розміру
де — ендоморфізм , — ендоморфізм , а і — гомоморфізми. Ця матриця повинна мати властивість, що кожен елемент образу комутує з кожним елементом образу , а кожен елемент образу комутує з кожним елементом образу .
Коли і — нерозкладні групи з тривіальними центрами, то група автоморфізмів прямого добутку відносно проста: , якщо і не ізоморфні, та , якщо , де позначає сплетення[en]. Це частина теореми Крулля — Шмідта[en], в загальному випадку вона справедлива для скінченних прямих добутків.
Скінченні прямі добутки
Можна знайти прямий добуток більш ніж двох груп одночасно. Для скінченної послідовності груп прямий добуток
визначають так:
- Елементами є кортежі , де для будь-якого .
- Операцію на визначають покомпонентно:
- .
Він має багато властивостей, які має прямий добуток двох груп, і може бути алгебрично схарактеризованим в аналогічний спосіб.
Нескінченні прямі добутки
Також можна отримати прямий добуток нескінченної кількості груп. Для нескінченної послідовності груп його можна визначити так само, як для скінченного прямого добутку, з елементами нескінченного прямого добутку, що є нескінченними кортежами.
У загальнішому сенсі, для індексованого сімейства груп прямий добуток визначають так:
- Елементи це елементи нескінченного декартового добутку множин ; тобто, елементи нескінченного декартового добутку можна розуміти як функції з такою властивістю, що для будь-якого .
- Добуток двох елементів визначають покомпонентно:
- .
На відміну від скінченного прямого добутку, нескінченний прямий добуток не породжується елементами ізоморфних підгруп . Натомість ці підгрупи породжують підгрупу прямого добутку, відому як нескінченна пряма сума, яка складається з усіх елементів, що мають лише скінченне число неодиничних компонентів.
Інші добутки
Напівпрямі добутки
Нагадаємо, що група з підгрупами і ізоморфна прямому добутку і , якщо вона задовольняє такі три умови:
- Перетин є тривіальною групою.
- Кожен елемент із можна однозначно подати як добуток елемента з та елемента з .
- І , і є нормальними в .
Напівпрямий добуток і отримують ослабленням третьої умови, так що тільки одна з двох підгруп , має бути нормальною. Отриманий добуток, як і раніше, складається з упорядкованих пар , але з трохи складнішим правилом множення.
Також можна повністю послабити третю умову, не вимагаючи від жодної з підгруп нормальності. У цьому випадку групу називають добутком Заппи — Сепа[en] груп і .