Ізоморфізм груп

Ізоморфі́зм груп — бієктивний гомоморфізм груп.

Визначення

Ізоморфізм груп — взаємно однозначне відображення ${\displaystyle \phi }$ групи ${\displaystyle (G,*)}$ в групу ${\displaystyle (H,\cdot )}$, що зберігає групову операцію, тобто:

${\displaystyle \phi \colon G\rightarrow H\colon \quad \phi (x*y)=\phi (x)\cdot \phi (y)\quad \forall {\mathit {x,y}}\in G}$.

Ізоморфні групи у певному сенсі є еквівалентними.

Приклади

• Група лінійних операторів та група матриць, що відповідають цим операторам за фіксації певного базису, є ізоморфними.

• Група дійсних чисел з додаванням, ізоморфна групі додатних дійсних чисел з множенням:

${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )}$

через ізоморфізм ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ (див. експонента).

Автоморфізм групи

Автоморфізм групи — ізоморфізм групи ${\displaystyle (G,*)}$ в себе. Тобто бієкція

${\displaystyle \phi \colon G\rightarrow G\colon \quad \phi (x*y)=\phi (x)*\phi (y)\quad \forall {\mathit {x,y}}\in G}$.

Автоморфізм групи називається внутрішнім, якщо його можна задати як

${\displaystyle \exists a\in G\;\;\forall x\in G\colon \quad \phi (x)=a*x*a^{-1}}$.

Не внутрішній автоморфізм називають зовнішнім автоморфізмом.

• Автоморфізм завжди переводить одиницю групи в себе ж.
• Композиція двох автоморфізмів є автоморфізмом. Множина всіх автоморфізмів ${\displaystyle G}$, відносно композиції утворює групу — групу автоморфізмів ${\displaystyle G}$, позначається — ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$.
• Множина всіх внутрішніх автоморфізмів є нормальною підгрупою в ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$, і позначається — ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$.
• Фактор-група ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G)}$ називається групою зовнішніх автоморфізмів, і позначається — ${\displaystyle \operatorname {Out} (G)}$.

Див. також

• Ізоморфізм
• Гомоморфізм груп
• Теореми про ізоморфізми

Джерела

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)