Нехай задана дія групи на просторі групи із збереженням її групової структури.
Це означає, що задано гомоморфізм групи в групу автоморфізмів групи .
Автоморфізм групи , що відповідає елементу із при гомоморфізмі позначимо .
Як група — напівпрямий добуток груп і над гомоморфізмом — береться множина з бінарної операцією , яка діє за правилом:
- для довільних , .
- Групи і природно вкладені в , причому — нормальна підгрупа в .
- Кожен елемент однозначно розкладемо у добуток , де і — елементи груп і відповідно. (Ця властивість виправдовує назву групи як напівпрямого добутку груп і .)
- Задана дія груп на групі збігається з дією на спряженнями (в групі ).
Будь-яка група з властивостями 1-3 ізоморфна групі (властивість універсальності напівпрямогу добутку груп).
Обґрунтування
- Асоціативність операції перевіряється безпосередньо. Використовуються співвідношення
- и .
- Одиницею групи G служить елемент , де и - одиниці в групах N и H відповідно.
(Використовується рівність .)
- Елемент, обернений до , рівний .
- Для доведення того, що цей елемент є оберненим зліва, використовується рівність .
- Відображення и є гомоморфними вкладеннями груп N і H в групу G. Їх образи мають єдиний спільний елемент - одиницю групи G.
- Відображення є епиморфізмом групи G на групу H з ядром N. Звідси слідує, що група N є нормальною в G.
- Рівність дає розклад довільного елемента групи G у добуток елементів n і h з груп N і H відповідно. З цієї ж рівності випливає і єдиність розпаду.
- Рівність показує, що дія групи H на N, котра задається гомоморфізмом співпадає з дією H на N спряженням.
- Щоб довести універсальну властивість напівпрямого добутку, треба скористатися формулою .
З неї випливає, що добуток у групі G с однозначним NH-розкладом (при умові нормальності групи N) повністю визначається правилами множення всередині підгруп N і H и правилами спряження елементів із N елементами із H.
Група діє на (розглядається як адитивна група відповідного кільця) чотирма різними способами:
- , де — фіксований ненульовий елемент , , .
Відповідно, на множині можна ввести 4 структури групи — напівпрямого добутку:
Можна показати, що останні дві групи ізоморфні, а решта — ні, а також, що ці приклади перераховують всі групи порядку 20, що містять елемент порядку 4 (при цьому використовуються теореми Силова).
Подібним чином напівпрямі добутки груп використовуються для класифікації скінченних груп.
Українською
- (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — : Голіней, 2023. — 153 с.