Öklid geometrisi

Öklid geometrisi, İskenderiyeli Yunan matematikçi Öklid’e atfedilen matematiksel bir sistemdir ve onun Elemanlar adlı geometri üzerine ders kitabında tarif edilmektedir. Öklid'in yöntemi, sezgisel olarak çekici küçük bir aksiyom seti varsaymaktan ve bu aksiyomlara dayanarak birçok başka önermeyi (teoremleri) çıkarmaktan ibarettir. Öklid'in sonuçlarının çoğu daha önceki matematikçiler^[1] tarafından ifade edilmiş olsa da, Öklid, bu önermelerin kapsamlı bir tümdengelimli ve mantıksal sisteme^[2] nasıl uyabileceğini gösteren ilk kişi oldu. Elemanlar, ilk aksiyomatik sistem ve resmi ispatın ilk örnekleri olarak ortaokulda (lise) hala öğretilen düzlem geometrisi ile başlar. Üç boyutlu katı geometrisi (uzay geometrisi) ile devam ediyor. Elemanlar’ın çoğu, geometrik dilde açıklanan, şimdi cebir ve sayı teorisi olarak adlandırılan şeyin sonuçlarını belirtir.^[1]

Raphael'in Atina Okulu'ndan bir detay, geometrik bir şekil çizmek için pergel kullanan bir Yunan matematikçiyi -belki de Öklid veya Arşimet'i temsil ediyor.

İki bin yıldan fazla bir dönem için "Öklid" sıfatı gereksizdi çünkü başka hiçbir geometri tasarlanmamıştı. Öklid'in aksiyomları sezgisel olarak o kadar açık görünüyordu (paralellik postülatının olası istisnası dışında), onlardan ispatlanan herhangi bir teorem mutlak, çoğu zaman metafiziksel anlamda doğru kabul edildi. Ancak günümüzde, ilkleri 19. yüzyılın başlarında keşfedilen diğer birçok kendinden tutarlı Öklid dışı geometri bilinmektedir. Albert Einstein'ın genel görelilik teorisinin bir sonucu, fiziksel uzayın kendisinin Öklidsel olmadığı ve Öklid uzayının sadece kısa mesafelerde iyi bir yaklaşım olduğudur (yer çekimi alanının gücüne bağlı olarak).^[3]

Öklid geometrisi, noktalar ve çizgiler gibi geometrik nesnelerin temel özelliklerini tanımlayan aksiyomlar üzerinden mantıksal olarak ilerlediğinden, bu nesnelerle ilgili önermeler için tüm bu nesneleri belirlemek üzere koordinatlar kullanılmayan sentetik geometrinin bir örneğidir. Bu, geometrik önermeleri cebirsel formüllere çevirmek için koordinatları kullanan analitik geometrinin tersidir.

Elemanlar

Elemanlar, daha önceki geometri bilgilerinin sistematikleştirilmesidir. Daha önceki yaklaşımlara göre gelişmesi hızla fark edildi, bunun sonucu olarak daha öncekilerin korunmasıyla ilgili çok az ilgi gösterildi ve şimdiyse neredeyse hepsi kaybolmuş durumdadır.

Öklid'in Elemanlar'ında 13 kitap vardır:

• Kitaplar I–V ve VI düzlem geometrisini tartışır. Düzlem şekilleriyle ilgili birçok sonuç kanıtlanmıştır, örneğin "Herhangi bir üçgende, herhangi bir şekilde birlikte alınan iki açı, iki dik açıdan daha küçüktür." (Kitap 1, Önerme 17) ve Pisagor teoremi "Dik açılı üçgenlerde, dik açıyı oluşturan kenarın karesi, dik açıyı içeren kenarların karelerine eşittir." (Kitap I, Önerme 47)
• Kitap V ve VII–X, sayı teorisini, geometrik olarak doğru parçalarının uzunlukları veya bölgelerin alanları olarak işlem gören sayılarla ilgilenir. Asal sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayılar gibi kavramlar tanıtılır. Sonsuz sayıda asal sayı olduğu kanıtlanmıştır.
• Kitap XI–XIII, katı cisim geometrisi ile ilgilidir. Tipik bir sonuç, bir koninin hacmi ile aynı yükseklik ve tabana sahip bir silindirin hacmi arasındaki 1:3 orandır. Platonik katılar çizildi.

Aksiyomlar

Paralellik postülatı (Postülat 5): Eğer iki doğru, bir taraftaki iç açıların toplamı iki dik açıdan daha az olacak şekilde üçüncü bir doğru ile kesişiyorsa, o zaman iki doğru kaçınılmaz olarak, eğer yeteri kadar uzağa uzanırsa, o tarafta birbiriyle kesişmelidir.

Öklid geometrisi, tüm teoremlerin ("doğru ifadeler") az sayıda basit aksiyomdan türetildiği aksiyomatik bir sistemdir. Öklid dışı geometrinin ortaya çıkmasına kadar, bu aksiyomların fiziksel dünyada açıkça doğru olduğu düşünülüyordu, böylece tüm teoremler de eşit derecede doğru olacaktı. Bununla birlikte, Öklid'in varsayımlardan sonuçlara kadar akıl yürütmesi, onların fiziksel gerçekliğinden bağımsız olarak geçerliliğini korur.^[4]

Elemanlar'ın ilk kitabının başlangıcına yakın bir yerde, Öklid, (Thomas Heath tarafından çevrildiği şekliyle) çizimler açısından belirtilen, düzlem geometri için beş önerme (aksiyom) verir:^[5] Aşağıdakileri varsayalım:

1. İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.
2. Bir doğru parçası iki yöne de sınırsız bir şekilde uzatılabilir.
3. Merkezi ve üzerinde bir noktası (yarıçapı) verilen bir çember çizilebilir.
4. Bütün dik açılar birbirine eşittir.
5. Paralellik varsayımı: İki düz çizgi üzerine düşen bir doğru, aynı taraftaki iç açıları iki dik açıdan daha az yapıyorsa, iki düz çizgi, eğer sonsuza kadar uzatılırsa, açıların iki dik açıdan daha az olduğu tarafta kesişir. (Bir doğruya dışında alınan bir noktadan bir ve yalnız bir paralel çizilebilir.)

Öklid, çizilmiş nesnelerin varlığını yalnızca açık bir şekilde iddia etse de, muhakemesinde dolaylı olarak benzersiz oldukları varsayılır.

Elemanlar ayrıca aşağıdaki beş "ortak kavramı" içerir:

1. Bir şeye eşit olan iki şey, birbirine eşittir. (Öklid bağıntısının geçiş özelliği).
2. Eşit olan ögelere, eşit miktarlar eklenirse bu ögeler yine eşit olur. (Eşitliğin toplama özelliği).
3. Eşit olan ögelerden, eşit miktarlar çıkarılırsa bu ögeler yine eşit olur. (Eşitliğin çıkarma özelliği).
4. Birbirleriyle çakışan şeyler, birbirine eşittir. (Yansıma özelliği)
5. Bütün, parçadan daha büyüktür.

Modern bilim adamları, Öklid'in önermelerinin, Öklid'in sunumu için ihtiyaç duyduğu tam mantıksal temeli sağlamadığı konusunda hemfikirdir.^[6] Modern yaklaşımlar daha kapsamlı ve eksiksiz aksiyom setleri kullanır.

Paralellik postülatı

Antik dönemdekilere göre, paralellik postülatı diğerlerinden daha az açık görünüyordu. Kesinlikle belirli önermelerden oluşan bir sistem yaratmayı amaçladılar ve onlara göre paralel doğru postülatı daha basit ifadelerle kanıt gerektiriyormuş gibi görünüyordu. Paralellik postülatının doğru olduğu ve diğerlerinin yanlış olduğu tutarlı geometri sistemleri (diğer aksiyomlara sadık kalarak) kurulabildiğinden, böyle bir ispatın imkansız olduğu artık bilinmektedir.^[7] Elemanlar’ın organizasyonunun da gösterdiği gibi Öklid'in kendisi de onu diğerlerinden niteliksel olarak farklı olarak değerlendirmiş görünüyor: İlk 28 önermesi onsuz ispatlanabilecek olanlardır.

Paralellik postülatına mantıksal olarak denk olan birçok alternatif aksiyom formüle edilebilir (diğer aksiyomlar bağlamında). Örneğin, Playfair aksiyomu şöyle der:

“	Bir düzlemde, belirli bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan, verilen doğruyu asla kesmeyen en fazla bir doğru çizilebilir.	„

Geriye kalan aksiyomlardan en az bir paralel doğrunun var olduğu kanıtlanabildiğinden, gereken tek şey "en fazla" koşuludur.

Bir doğru parçası verildiğinde, parçayı kenarlarından biri olarak içeren bir eşkenar üçgen oluşturabileceğine dair Öklid'in Elemanlar'ından bir kanıt: bir eşkenar üçgen ΑΒΓ, Α ve Ε noktaları üzerinde ortalanmış daireler çizerek yapılır ve üçgenin üçüncü köşesi olarak dairelerin bir kesişimi alınır.

İspat yöntemleri

Öklid Geometrisi yapıcıdır. 1, 2, 3 ve 5 nolu postülatlar, belirli geometrik şekillerin varlığını ve benzersizliğini ileri sürer ve bu iddialar yapıcı niteliktedir: yani, bize yalnızca belirli şeylerin var olduğu söylenmez, aynı zamanda bir pusula ve işaretsiz bir cetvelden^[8] fazlası ile olmasa da bunları oluşturmak için yöntemler de verilir. Bu anlamda Öklid geometrisi, çoğu kez nesnelerin nasıl çizileceğini söylemeden varlığını iddia eden ve hatta teori içinde çizilemeyen nesnelerin varlığını iddia eden küme teorisi gibi birçok modern aksiyomatik sistemden daha somuttur.^[9] Açıkça söylemek gerekirse, kağıt üzerindeki doğrular, bu nesnelerin örneklerinden ziyade biçimsel sistem içinde tanımlanan nesnelerin modelleridir. Örneğin, bir Öklid doğrusunun genişliği yoktur, ancak herhangi bir gerçek çizilmiş doğrunun genişliği olacaktır. Neredeyse tüm modern matematikçiler yapıcı olmayan yöntemleri yapıcı yöntemler kadar sağlam kabul etseler de, Öklid'in yapıcı kanıtları çoğu zaman yanlış, yapıcı olmayanların yerini aldı - örneğin, Pisagorcuların irrasyonel sayıları içeren bazı kanıtlarının, genellikle ".....'nın en büyük ortak ölçüsünü bulun."^[10] gibi.

Öklid sıklıkla çelişki yoluyla ispat kullandı. Öklid geometrisi, bir şeklin uzayda başka bir noktaya aktarıldığı üst üste binme (süperpozisyon) yöntemine de izin verir. Örneğin, üçgenlerin kenar-açı-kenar benzerliği olan Önerme I.4, iki üçgenden birini, kenarlarından biri, diğer üçgenin eşit kenarı ile çakışacak şekilde hareket ettirerek ve ardından diğer kenarların da çakıştığını kanıtlayarak kanıtlar. Bazı modern yaklaşımlar, üst üste binmeye alternatif olarak kullanılabilen, üçgenin değişmezliği olan altıncı bir varsayım ekler.^[11]

Ölçüm sistemi ve aritmetik

Öklid geometrisinin iki temel ölçüm türü vardır: açı ve mesafe. Açı ölçeği mutlaktır ve Öklid, temel birimi olarak dik açıyı kullanır, böylece, örneğin, 45 derecelik bir açı, bir dik açının yarısı olarak anılacaktır. Mesafe ölçeği görecelidir; birim olarak sıfır olmayan belirli bir uzunluğa sahip bir doğru parçasını rastgele seçer ve diğer mesafeler bununla ilişkili olarak ifade edilir. Mesafelerin eklenmesi, bir doğru parçasının uzunluğunu uzatmak için başka bir doğru parçasının sonuna kopyalandığı ve benzer şekilde çıkarma için tersi işlem yapılan bir yapı ile temsil edilir.

Alan ve hacim ölçümleri mesafelerden elde edilir. Örneğin, genişliği 3 ve uzunluğu 4 olan bir dikdörtgen, çarpımı yani 12'yi temsil eden bir alana sahiptir. Çarpmanın bu geometrik yorumu üç boyutla sınırlı olduğundan, dört veya daha fazla sayının çarpımını yorumlamanın doğrudan bir yolu yoktu ve Öklid, örneğin IX Kitap, Önerme 20'nin ispatında ima edilmesine rağmen bu tür çarpımlardan kaçındı.

Bir denklik örneği: Soldaki iki şekil denktir, üçüncüsü ise onlara benzerdir. Son şekil denk veya benzer değildir. Denklikler, konum ve yön gibi bazı özellikleri değiştirir, ancak mesafe ve açılar gibi diğerlerini değiştirmeden bırakır. İkinci tür özelliklere değişmezler denir ve bunları incelemek geometrinin özüdür.

Öklid, bir çift doğrunun veya bir çift düzlemin veya katı şeklin, sırasıyla uzunlukları, alanları veya hacimleri eşitse "eşit (Grekçe: ἴσος)" olarak işaret eder ve açılar için de benzer şekilde. Daha güçlü olan "eşlenik (denk)" terimi, tüm bir şeklin başka bir şekil ile aynı boyut ve şekilde olduğu fikrine atıfta bulunur. Alternatif olarak, biri diğerinin üzerine hareket ettirilebiliyorsa, iki şekil denktir, böylece tam olarak eşleşir. (Döndürmeye izin verilir). Bu nedenle, örneğin, 2x6 dikdörtgen ve 3x4 dikdörtgen eşittir ancak denk değildir ve R harfi onun ayna görüntüsüyle denktir. Farklı boyutları haricinde eşlenik olacak şekiller benzer olarak adlandırılır. Bir çift benzer şekilde karşılık gelen açılar eştir ve karşılık gelen kenarlar birbiriyle orantılıdır.

Notasyon ve terminoloji

Noktaların ve şekillerin isimlendirilmesi

Noktalar geleneksel olarak alfabenin büyük harfleri kullanılarak adlandırılır. Doğrular, üçgenler veya daireler gibi diğer şekiller, ilgili şeklin net bir biçimde seçilebilmesi için yeterli sayıda nokta listelenerek adlandırılır, örneğin ABC üçgeni tipik olarak A, B ve C noktalarında köşeleri olan bir üçgen olacaktır.

Bütünler ve tümler açılar

Toplamı dik açı olan açılara, tümler denir. Bir ışın aynı tepe noktasını paylaştığında ve dik açıyı oluşturan iki orijinal ışın arasındaki bir yöne işaret edildiğinde tümler açılar oluşur. İki orijinal ışın arasındaki ışınların sayısı sonsuzdur.

Toplamı düz bir açı olan açılar, bütünlerdir. Bir ışın aynı tepe noktasını paylaştığında ve düz açıyı (180 derecelik açı) oluşturan iki orijinal ışın arasındaki bir yöne işaret edildiğinde bütünler açılar oluşur. İki orijinal ışın arasındaki ışınların sayısı sonsuzdur.

Öklid gösteriminin modern versiyonları

Modern terminolojide, açılar normalde derece veya radyan cinsinden ölçülür.

Modern okul ders kitapları genellikle doğrular (sonsuz), ışınlar (yarı-sonsuz) ve doğru parçaları (sonlu uzunlukta) olarak adlandırılan ayrı şekiller tanımlar. Öklid, bir ışını tek yönde sonsuzluğa uzanan bir nesne olarak tanımlamak yerine, zaman zaman "sonsuz doğrulardan" söz etmesine rağmen, normalde "doğru yeterli bir uzunluğa uzatılırsa" gibi konumlandırmaları kullanır. Öklid'deki bir "doğru" ya düz ya da kavisli olabilir ve gerektiğinde daha spesifik olan "düz doğru" terimini kullandı.

Bazı önemli veya iyi bilinen sonuçlar

• 
  Pons asinorum veya eşekler köprüsü teoremi; bir ikizkenar üçgende ${\displaystyle \alpha =\beta }$ ve ${\displaystyle \gamma =\delta }$'dir.
• 
  Üçgen açı toplam teoremi, herhangi bir üçgenin üç açısının toplamının, bu durumda ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ve ${\displaystyle \gamma }$ açılarının her zaman 180 dereceye eşit olacağını belirtir.
• 
  Pisagor teoremi, bir dik üçgenin bacakları (a ve b) üzerindeki iki karenin alanlarının toplamının, hipotenüs (c) üzerindeki karenin alanına eşit olduğunu belirtir.
• 
  Thales teoremi, AC bir çapsa, B'deki açının dik açı olduğunu belirtir.

Pons Asinorum

Pons asinorum (eşek köprüsü), ikizkenar üçgenlerde tabandaki açıların birbirine eşit olduğunu ve eşit düz doğrular daha fazla uzatılırsa, tabanın altındaki açıların birbirine eşit olduğunu belirtir.^[12] Adı, okuyucunun zekasının Elemanlar'daki ilk gerçek sınav olarak sık sık rol oynamasına ve ardından gelen daha zor önermelere bir köprü olarak atfedilebilir. Ayrıca, geometrik şeklin dik bir köprüye benzemesi nedeniyle sadece sağlam ayaklı bir eşeğin geçebileceği biçiminde adlandırılmış olabilir.^[13]

Üçgenlerin denkliği

Üçgenlerin denkliği, iki kenar ve aralarındaki açı (KAK), iki açı ve aralarındaki kenar (AKA) veya iki açı ve karşılık gelen bitişik kenar (AAK) belirtilerek belirlenir. Bununla birlikte, iki kenar ve bitişik bir açı (KKA) belirtmek, belirtilen açı bir dik açı olmadığı sürece iki farklı olası üçgen oluşturabilir.

Üç kenarı da eşitse (KKK), iki kenarı ve aralarındaki açı eşitse (KAK) veya iki açı ve bir kenarı eşitse (AKA) (Kitap I, Önermeler 4, 8 ve 26) üçgenler denktir. Üç eşit açılı (AAA) üçgenler benzerdir, ancak mutlaka denk değildir. Ayrıca, iki eşit kenarlı ve bitişik bir açıya sahip üçgenler mutlaka eşit veya denk değildir.

Üçgenin açıları toplamı

Bir üçgenin açılarının toplamı düz bir açıya (180 derece) eşittir.^[14] Bu, bir eşkenar üçgenin 60 derecelik üç iç açıya sahip olmasına neden olur. Ayrıca, her üçgenin en az iki dar açıya ve bir geniş açıya veya dik açıya sahip olmasına neden olur.

Pisagor teoremi

Ünlü Pisagor teoremi (Kitap I, Önerme 47) herhangi bir dik üçgende, kenarı hipotenüs olan karenin alanının (dik açının karşısındaki kenar), kenarları iki bacak (dik açıyla birleşen iki kenar) olan karelerin alanlarının toplamına eşit olduğunu belirtir.

Thales teoremi

Miletli Thales'in adını taşıyan Thales teoremi, A, B ve C, AC doğrusunun dairenin çapı olduğu bir daire üzerindeki noktalarsa, ABC açısının dik açı olduğunu belirtir. Cantor, Thales'in teoremi Öklid Kitap I, Önerme 32 ile Öklid Kitap III, Önerme 31'in tarzından sonra kanıtladığını varsaydı.^[15][16]

Alan ve hacmin ölçeklendirilmesi

Modern terminolojide, bir düzlem şeklin alanı, doğrusal boyutlarından herhangi birinin karesiyle orantılıdır, ${\displaystyle A\propto L^{2}}$ ve bir katının hacmi küpüyle, ${\displaystyle V\propto L^{3}}$. Öklid, bu sonuçları bir daire alanı^[17] ve paralel yüzlü bir katının^[18] hacmi gibi çeşitli özel durumlarda kanıtladı. Öklid, orantılılığın ilgili sabitlerinin hepsini değil, bazılarını belirledi. Örneğin, bir kürenin hacminin, kendisini çevreleyen silindirin hacminin 2/3'ü olduğunu kanıtlayan onun halefi Arşimet'ti.^[19]

Uygulamalar

Öklid geometrisinin matematikteki temel statüsü nedeniyle, burada uygulamaların temsili bir örneklemesinden fazlasını vermek pratik değildir.

• 
  Bir yerölçümcü bir sabit dürbünlü nivo aygıtı kullanır.
• 
  Küre sıkıştırma, bir yığın portakal için geçerlidir.
• 
  Parabolik bir ayna, paralel gelen ışık ışınlarını bir odakta toplar.

Kelimenin etimolojisinde önerildiği gibi, geometriye ilgi duymanın en eski nedenlerinden biri ölçme idi^[20] ve resmen kanıtlanmadan çok önce^[21] Öklid geometrisinden 3-4-5 üçgeninin dik açı özelliği gibi bazı pratik sonuçlar kullanıldı. Öklid geometrisindeki temel ölçüm türleri, her ikisi de doğrudan bir araştırmacı tarafından ölçülebilen mesafeler ve açılardır. Tarihsel olarak, mesafeler genellikle Gunter zinciri gibi zincirlerle ve dereceli dairelerle ve daha sonra teodolit kullanılarak açılar ile ölçülürdü.

Öklid uzay geometrisinin bir uygulaması, n boyutlu kürelerin en verimli şekilde sıkıştırılmasını bulma problemi gibi, sıkıştırma düzenlemelerinin belirlenmesidir. Bu problemin hata tespiti ve düzeltilmesinde uygulamaları vardır.

Geometrik optik, ışığın mercekler ve aynalarla odaklanmasını analiz etmek için Öklid geometrisini kullanır.

• 
  Geometri, sanatta ve mimaride kullanılır.
• 
  Su kulesi bir koni, bir silindir ve bir yarım küreden oluşur. Hacmi uzay geometri kullanılarak hesaplanabilir.
• 
  Geometri, origami tasarlamak için kullanılabilir.

Geometri, mimaride yaygın olarak kullanılmaktadır.

Geometri, origami tasarlamak için kullanılabilir. Geometrinin bazı klasik yapım problemlerini, yalnızca pergel ve çizgilik (yani eş ölçeksiz, sadece doğru çizmeye yarayan bir cetvel) kullanılarak gerçeklemek imkansızdır, ancak origami kullanılarak çözülebilir.^[22]

Oldukça fazla sayıda CAD (bilgisayar destekli tasarım) ve CAM (bilgisayar destekli üretim) Öklid geometrisine dayanmaktadır. Tasarım geometrisi tipik olarak düzlemler, silindirler, koniler, toruslar vb. ile sınırlanmış şekillerden oluşur. Günümüzde CAD/CAM, arabalar, uçaklar, gemiler ve akıllı telefonlar dahil olmak üzere hemen hemen her şeyin tasarımında çok önemlidir. Birkaç on yıl önce, sofistike ressamlar, Pascal teoremi ve Brianchon teoremi gibi şeyler de dahil olmak üzere oldukça gelişmiş bazı Öklid geometrisini öğrendiler. Ama artık buna gerek yok çünkü geometrik yapıların tamamı CAD programları tarafından tasarlanıyor.

• 
  3 boyutlu elektrik motoru

Uzayın yapısının bir açıklaması olarak

Öklid, aksiyomlarının fiziksel gerçeklikle ilgili apaçık ifadeler olduğuna inanıyordu. Öklid'in ispatları, belki de Öklid'in temel aksiyomlarında^[23] açık olmayan varsayımlara bağlıdır, özellikle şekillerin belirli hareketlerinin, şekillerin ötelenmesini, yansımalarını ve dönüşlerini içeren sözde Öklid hareketleri, kenarların uzunlukları ve iç açılar gibi geometrik özelliklerini değiştirmez.^[24] Uzayın fiziksel bir açıklaması olarak ele alındığında, postülat 2 (bir doğruyu uzatan) uzayın deliklere veya sınırlara sahip olmadığını (başka bir deyişle, uzay homojen ve sınırsızdır); postülat 4 (dik açıların eşitliği) uzayın izotropik olduğunu ve şekillerin denklik korunurken herhangi bir yere taşınabileceğini söyler; ve postülat 5 (paralellik postülatı) uzayın düz olduğunu (içsel eğriliği olmadığını) var sayar.^[25]

Aşağıda daha ayrıntılı olarak tartışıldığı gibi, Albert Einstein'ın görelilik teorisi bu görüşü önemli ölçüde değiştirir.

Orijinal olarak Öklid tarafından formüle edilen aksiyomların muğlak karakteri, farklı yorumcuların uzayın yapısına ilişkin diğer sonuçlarından bazıları, örneğin sonsuz olup olmadığı^[26] (aşağıya bakınız) ve topolojisinin ne olduğu konusunda anlaşamamalarına olanak sağlar. Sistemin^[27] modern, daha sıkı yeniden formülasyonları tipik olarak bu sorunların daha temiz bir şekilde bertaraf edilmesini amaçlamaktadır. Öklid aksiyomlarını bu daha modern yaklaşımın ruhunda yorumlayarak, 1-4. aksiyomlar ya sonsuz ya da sonlu uzay ile tutarlıdır (eliptik geometride olduğu gibi) ve beş aksiyomun tümü çeşitli topolojilerle (örneğin, bir düzlem, bir silindir veya iki boyutlu Öklid geometrisi için bir simit) tutarlıdır.

Sonraki çalışmalar

Arşimet ve Apollonius

Bir küre, çevreleyen silindirin 2/3'lük hacmine ve yüzey alanına sahiptir. Arşimet'in mezarı üzerine isteği üzerine bir küre ve silindir yerleştirildi.

Hakkında pek çok tarihsel anekdotun kaydedildiği renkli bir şahsiyet olan Arşimet (MÖ 287 - MÖ 212), Öklid ile birlikte en büyük antik matematikçilerden biri olarak hatırlanır. Çalışmalarının temelleri Öklid tarafından atılmış olsa da, Öklid'in aksine çalışmalarının tamamen orijinal olduğuna inanılıyor.^[28] İki ve üç boyutlu çeşitli şekillerin hacimleri ve alanları için denklemleri ispatladı ve sonlu sayıların Arşimet özelliğini açıkladı.

Perge'li Apollonius (MÖ 262 - MÖ 190 dolayları) esas olarak konik kesitleri araştırmasıyla tanınır.

René Descartes, Frans Hals'dan sonraki portre, 1648.

17. yüzyıl: Descartes

René Descartes (1596-1650), geometriyi cebire dönüştürmeye odaklanan ve geometriyi biçimlendirmek için alternatif bir yöntem olan analitik geometriyi geliştirdi.^[29]

Bu yaklaşımda, bir düzlemdeki bir nokta Kartezyen (x, y) koordinatlarıyla temsil edilir, bir doğru denklemiyle temsil edilir ve bu böyle devam eder.

Öklid'in orijinal yaklaşımında, Pisagor teoremi, Öklid'in aksiyomlarını izler. Kartezyen yaklaşımda, aksiyomlar cebrin aksiyomlarıdır ve Pisagor teoremini ifade eden denklem, şimdi teorem olarak kabul edilen Öklid aksiyomlarındaki terimlerden birinin tanımıdır.

İki nokta P = (p_x, p_y) ve Q = (q_x, q_y) arasındaki mesafeyi tanımlayan aşağıdaki denklem;

${\displaystyle |PQ|={\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}\,}$

Öklid metriği olarak bilinir ve diğer ölçütler Öklid dışı geometrileri tanımlar.

Analitik geometri açısından, klasik geometrinin pergel ve düz kenarlı cetvelle çizim sınırlandırılması, birinci ve ikinci dereceden denklemlerde bir sınırlama anlamına gelir, örneğin, y = 2x + 1 (bir doğru) veya x² + y² = 7 (bir çember).

Aynı zamanda 17. yüzyılda, perspektif teorisinin motive ettiği Girard Desargues, sonsuzda idealize edilmiş noktalar, doğrular ve düzlemler kavramını tanıttı. Sonuç bir tür genelleştirilmiş geometri (projektif geometri) olarak düşünülebilir, ancak aynı zamanda özel durumların sayısının azaltıldığı sıradan Öklid geometrisinde ispat üretmek için de kullanılabilir.^[30]

Daireyi kareleştirme: Bu kare ve bu çemberin alanları eşittir. 1882'de, bu şeklin idealleştirilmiş bir pergel ve cetvel ile sınırlı sayıda adımda çizilemeyeceği kanıtlandı.

18. yüzyıl

18. yüzyılın geometricileri, Öklid sisteminin sınırlarını belirlemek için mücadele etti. Birçoğu, ilk dördünden beşinci varsayımı ispatlamak için boşuna uğraştı. 1763'e gelindiğinde, en az 28 farklı kanıt yayınlandı, ancak tümü yanlış bulundu.^[31]

Bu döneme kadar, geometriciler ayrıca Öklid geometrisinde hangi çizimlerin başarılabileceğini belirlemeye çalıştılar. Örneğin, pergel ve cetvel ile verilen bir Açıyı üçe bölme problemi, teoride doğal olarak ortaya çıkan bir problemdir, çünkü aksiyomlar, bu araçlarla gerçekleştirilebilecek yapıcı işlemlere atıfta bulunur. Ancak, Pierre Wantzel 1837'de böyle bir çizimin imkansız olduğuna dair bir kanıt yayınlayana kadar, yüzyıllar süren çabalar bu probleme bir çözüm bulamadı. İmkansız olduğu kanıtlanan diğer çizimler arasında Küpü iki katına çıkarma (Delos Problemi) ve Daireyi kareleştirme yer alıyor. Küpün hacminin ikiye katlanması durumunda, çizimin imkansızlığı, pergel ve cetvel yönteminin, sıralaması ikinin integral kuvveti olan denklemleri içermesinden kaynaklanır,^[32] bir küpün hacmini iki katına çıkarmak, üçüncü dereceden bir denklemin çözümünü gerektirir.

Euler, üçüncü ve dördüncü postülatları açı (dik üçgenler anlamsız hale gelir) ve genel olarak doğru parçalarının uzunluklarının eşitliği (çemberler anlamsız hale gelir) kavramlarını ortadan kaldıracak şekilde zayıflatarak paralellik kavramlarını çizgiler arasında bir eşdeğerlik ilişkisi ve paralel doğru parçalarının uzunluklarının eşitliği olarak korurken (böylece doğru parçalarının bir orta noktası vardır) beşinci postülatı değiştirilmemiş olarak tutarak Öklid geometrisinin afin geometri adı verilen bir genellemesini tartıştı.

19. yüzyıl ve Öklid dışı geometri

İki boyutta eliptik, Öklid ve Hiperbolik geometrilerin karşılaştırılması

19. yüzyılın başlarında, Carnot ve Möbius, sonuçları basitleştirme ve birleştirmenin bir yolu olarak işaretli açıların ve çizgi parçalarının kullanımını sistematik olarak geliştirdi.^[33]

Yüzyılın geometrideki en önemli gelişimi, 1830'larda János Bolyai ve Nikolai Ivanovich Lobachevsky, paralellik postülatın geçerli olmadığı Öklid dışı geometri üzerine ayrı ayrı yayınladıkları zaman meydana geldi.^[34] Öklid dışı geometri, Öklid geometrisiyle kanıtlanabilir şekilde nispeten tutarlı olduğundan, paralellik postülatı diğer postülalardan kanıtlanamaz.

19. yüzyılda, Öklid'in on aksiyomunun ve genel mefhumlarının Elemanlar’da belirtilen tüm teoremleri ispatlamak için yeterli olmadığı da anlaşıldı. Örneğin, Öklid örtük olarak herhangi bir doğrunun en az iki nokta içerdiğini varsaydı, ancak bu varsayım diğer aksiyomlardan kanıtlanamaz ve bu nedenle de bir aksiyom olması gerekir. Yukarıdaki şekilde gösterilen Elemanlar'daki ilk geometrik kanıt, herhangi bir doğru parçasının bir üçgenin parçası olduğudur; Öklid, her iki uç noktanın etrafına daireler çizerek ve bunların kesişimini üçüncü köşe olarak alarak bunu her zamanki gibi çizer. Bununla birlikte, aksiyomları, çemberlerin gerçekte kesiştiğini garanti etmez, çünkü Kartezyen terimlerle gerçek sayıların tamlık özelliğine eşdeğer olan sürekliliğin geometrik özelliğini iddia etmezler. 1882'de Moritz Pasch ile başlayarak, en iyi bilinenleri Hilbert,^[35] Birkhoff,^[36] ve Tarski'ninki olmak üzere, geometri için birçok gelişmiş aksiyomatik sistem önerilmiştir.^[37]

20. yüzyıl ve görelilik

Öklid geometrisinin fiziksel uzayın bir tanımı olarak bir çürütülmesi. Genel görelilik teorisinin 1919'daki bir testinde, yıldızların (kısa yatay çizgilerle işaretlenmiş) bir güneş tutulması sırasında fotoğrafları çekildi. Yıldız ışığının ışınları, dünyaya giderken Güneş'in yerçekimi tarafından büküldü. Bu, Einstein'ın yer çekiminin Öklid geometrisinden sapmalara neden olacağı öngörüsünün lehine bir kanıt olarak yorumlanıyor.

Einstein'ın özel görelilik teorisi, dört boyutlu bir uzay-zamanı, Öklidyen olmayan Minkowski uzayını içerir. Bu, paralellik postülatının kanıtlanamayacağını göstermek için görelilik kuramından birkaç yıl önce ortaya atılan Öklid dışı geometrilerin fiziksel dünyayı tanımlamak için de yararlı olduğunu göstermektedir.

Bununla birlikte, Minkowski uzayının üç boyutlu "uzay kısmı" Öklid geometrisinin uzayı olarak kalır. Uzay-zamanın uzay bölümünün geometrisinin Öklid geometrisi olmadığı genel görelilik durumu böyle değildir.^[38] Örneğin, üç ışık ışınından bir üçgen oluşturulmuşsa, o zaman genel olarak iç açıların toplamı yer çekimi nedeniyle 180 dereceyi bulmaz. Dünya'nın veya Güneş'inki gibi nispeten zayıf bir yer çekimi alanı, yaklaşık olarak, ancak tam olarak değil, Öklid olan bir ölçü ile temsil edilir. 20. yüzyıla kadar Öklid geometrisinden sapmalarını tespit edebilecek bir teknoloji yoktu, ancak Einstein bu tür sapmaların var olacağını öngördü. Daha sonra 1919'da bir güneş tutulması sırasında Güneş'in yıldız ışığının hafif bükülmesi gibi gözlemlerle doğrulandılar ve bu tür düşünceler artık GPS sistemini çalıştıran yazılımın ayrılmaz bir parçası.

Sonsuzluk yaklaşımı

Sonsuz nesneler

Öklid bazen "sonlu doğrular" (örneğin, Postülat 2) ve " sonsuz doğrular" (Kitap I, Önerme 12) arasında açıkça ayrım yapar. Ancak, gerekli olmadıkça tipik olarak bu tür ayrımlar yapmazdı. Postülatlar açık bir şekilde sonsuz doğrulara atıfta bulunmazlar, ancak örneğin bazı yorumcular, herhangi bir yarıçapa sahip bir dairenin varlığını postulat 3'ü, uzayın sonsuz olduğunu ima ettiği şeklinde yorumlarlar.^[26]

Sonsuz küçük nicelikler kavramı daha önce Elea Okulu (Eleatic School) tarafından kapsamlı bir şekilde tartışılmıştı, ancak hiç kimse onları kesin bir mantıksal temele oturtamamıştı, Zeno'nun paradoksu gibi evrensel tatmin için çözülmemiş paradokslar ortaya çıktı. Öklid, sonsuz küçükler yerine tükenme yöntemini kullandı.^[39]

Proclus (MÖ 410-485) gibi daha sonraki antik yorumcular, sonsuzluk hakkındaki birçok soruyu ispat gerektiren konular olarak ele aldılar ve örneğin Proclus, vakaları ele aldığı çelişki yoluyla kanıta dayanarak onu oluşturan çift ve tek sayıların durumlarını değerlendirerek bir doğrunun sonsuz bölünebilirliğini kanıtladığını iddia etti.^[40]

20. yüzyılın başında, Otto Stolz, Paul du Bois-Reymond, Giuseppe Veronese ve diğerleri, Newton-Leibniz algısında iki nokta arasındaki mesafenin sonsuz veya sonsuz küçük olabileceği Öklid geometrisinin Arşimet özelliği olmayan modelleri üzerinde tartışmalı çalışmalar ürettiler.^[41] Elli yıl sonra, Abraham Robinson, Veronese'nin çalışmaları için sağlam bir mantıksal temel sağladı.^[42]

Sonsuz süreçler

Kadimlerin paralellik postülatını diğerlerinden daha az kesin olarak ele almalarının bir nedeni, çok uzak bir noktada bile asla kesişmediklerini kontrol etmek için fiziksel olarak doğrulamanın, iki doğruyu incelememizi gerektirmesidir ve bu inceleme potansiyel olarak sonsuz bir zaman alabilir.^[43]

Tümevarım yoluyla ispatın modern formülasyonu 17. yüzyıla kadar geliştirilmemiştir, ancak daha sonraki bazı yorumcular, bunun Öklid'in bazı ispatlarında örtük olarak bulunduğunu, örneğin asalların sonsuzluğunun kanıtında olduğunu düşünürler.^[44]

Zeno'nun paradoksu gibi sonsuz dizileri içeren varsayımsal paradokslar Öklid'den önceydi. Öklid bu tür tartışmalardan kaçındı, örneğin Kitap IX, Önerme 35'teki geometrik serinin kısmi toplamlarının ifadesini terimlerin sayısının sonsuz olmasına izin verme olasılığı üzerine yorum yapmadan verdi.

Mantıksal temel

Ayrıca bakınız: Hilbert aksiyomları, Aksiyomatik sistem ve Reel kapalı cisim

Klasik mantık

Öklid sık sık çelişki ile ispat yöntemini kullandı ve bu nedenle Öklid geometrisinin geleneksel sunumu, her önermenin doğru ya da yanlış olduğu klasik mantığı varsayar, yani herhangi bir P önermesi için, "P ya da P değil" önermesi otomatik olarak doğrudur.

Modern kesinlik standartları

Matematikçiler yüzyıllardır Öklid geometrisini sağlam bir aksiyomatik temele oturtmak ile meşguldü.^[45] İlkel kavramların veya tanımlanmamış kavramların rolü, Peano delegasyonundan Alessandro Padoa tarafından 1900 Paris konferansında açıkça ortaya konmuştu:^[45][46]

... teoriyi formüle etmeye başladığımızda, tanımlanmamış sembollerin tamamen anlamdan yoksun olduğunu ve kanıtlanmamış önermelerin basitçe tanımlanmamış sembollere dayatılan koşullar olduğunu hayal edebiliriz.

O halde, başlangıçta seçtiğimiz fikirler sistemi basitçe tanımlanmamış sembollerin bir yorumudur; ama bu yorum, zihninde onu koşulları karşılayan başka bir yorum ile değiştirmekte özgür olan okuyucu tarafından göz ardı edilebilir ...

Böylece mantıksal sorular, ampirik veya psikolojik sorulardan tamamen bağımsız hale gelir ...

Tanımlanmamış semboller sistemi, bu durumda özelleşmiş teorilerden elde edilen soyutlama olarak kabul edilebilir ... tanımlanmamış semboller sistemi ardışık olarak yorumların her biri ile değiştirilir ...

Alessandro Padoa — Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, avec une Introduction logique à une théorie déductive quelconque

Yani matematik, hiyerarşik bir çerçeve içindeki bağlamdan bağımsız bilgidir. Bertrand Russell'ın söylediği gibi:^[47]

Hipotezimiz herhangi bir şey hakkındaysa ve belirli bir veya daha fazla şeyle ilgili değilse, çıkarımlarımız matematiği oluşturur. Dolayısıyla matematik, ne hakkında konuştuğumuzu asla bilmediğimiz bir konu veya söylediğimizin doğru olup olmadığı olarak tanımlanabilir.

Bertrand Russell — Mathematics and the metaphysicians

Bu tür temel yaklaşımlar, temelcilik ve biçimcilik arasında değişir.

Aksiyomatik formülasyonlar

Geometri, yanlış rakamlar üzerinde doğru akıl yürütme bilimidir.

George Pólya — How to Solve It, s. 208

• Öklid aksiyomları: Cambridge'deki Trinity College'da yazdığı tezinde Bertrand Russell, o zamana kadar filozofların zihninde Öklid'in geometrisinin değişen rolünü özetledi.^[48] Deneysel girdi gerektiren, deneyden bağımsız belirli bilgi ile deneycilik arasında bir çatışmaydı. Paralellik postülatının zorunlu olarak geçerli olmadığı ve uygulanabilirliğinin deneysel bir mesele olduğu keşfedildiğinden, bu sorun netleşti ve uygulanabilir geometrinin Öklidsel mi yoksa Öklid dışı mı olduğuna karar verdi.
• Hilbert aksiyomları: Hilbert'in aksiyomları, en önemli geometrik teoremlerin çıkarılabileceği basit ve eksiksiz bir bağımsız aksiyomlar kümesini tanımlama amacına sahipti. Göze çarpan hedefler, Öklid geometrisini (gizli varsayımlardan kaçınarak) kesin hale getirmek ve paralellik postülatının sonuçlarını açıklığa kavuşturmaktı.
• Birkhoff aksiyomları: Birkhoff, Öklid geometrisi için ölçek ve açıölçer ile deneysel olarak doğrulanabilen dört varsayım önerdi. Bu sistem, büyük ölçüde gerçek sayıların özelliklerine dayanır.^[49][50][51] Açı ve mesafe kavramları ilkel kavramlar haline gelir.^[52]
• Tarski aksiyomları: Alfred Tarski (1902-1983) ve öğrencileri, Hilbert'in aksiyomlarının aksine, birinci dereceden mantıkla ifade edilebilen ve mantıksal temeli için küme teorisine^[53] bağlı olmayan geometri olarak temel Öklid geometrisini tanımladılar. nokta kümelerini içeren.^[54] Tarski, temel Öklid geometrisinin aksiyomatik formülasyonunun belirli bir anlamda tutarlı ve eksiksiz olduğunu kanıtladı: Her önerme için doğru veya yanlış gösterilebilecek bir algoritma var.^[37] (Bu, Gödel'in teoremini ihlal etmez, çünkü Öklid geometrisi, teoremin uygulanması için yeterli miktarda aritmetiği tanımlayamaz.^[55] Bu, temel Öklid geometrisinin bir model olduğu gerçek kapalı cisimlerin karar verilebilirliğine eşdeğerdir.

Ayrıca bakınız

• Analitik Geometri
• Kartezyen koordinat sistemi
• Metrik uzay
• Öklid dışı geometri
• Paralellik postülatı

Klasik teoremler

• Açıortay teoremi
• Kelebek teoremi
• Ceva teoremi
• Heron formülü
• Menelaus teoremi
• Dokuz nokta çemberi
• Pisagor teoremi

Notlar

1. Eves 1963, s. 19
2. Eves 1963, s. 10
3. Misner, Thorne & Wheeler (1973), s. 47
4. Öklid varsayımları, (Harold E. Wolfe (2007). Introduction to Non-Euclidean Geometry. Mill Press. s. 9. ISBN 1-4067-1852-1. 21 Ağustos 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.)'de modern bir perspektiften tartışılmaktadır.
5. tr. Heath, ss. 195-202.
6. Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry, Prentice-Hall, s. 8, ISBN 978-0-13-143700-5
7. Florence P. Lewis (Jan 1920), "History of the Parallel Postulate", The American Mathematical Monthly, The American Mathematical Monthly, Vol. 27, No. 1, 27 (1), ss. 16-23, doi:10.2307/2973238, JSTOR 2973238.
8. Ball, s. 56
9. Öklid'in varsayımları içinde kalarak, üçgenler ve kareler için bir formül vermek oldukça kolaydır. Bununla birlikte, küme teorisi gibi daha genel bir bağlamda, örneğin bir karenin alanının, parçalarının alanlarının toplamı olduğunu kanıtlamak o kadar kolay değildir. Bkz. Lebesgue ölçüsü ve Banach–Tarski paradoksu.
10. Daniel Shanks (2002). Solved and Unsolved Problems in Number Theory. American Mathematical Society.
11. Coxeter, s. 5
12. Euclid, book I, proposition 5, tr. Heath, s. 251
13. Kitap I, Önerme 5'in iddia edilen zorluğunu göz ardı ederek, Sir Thomas L. Heath başka bir yorumdan bahsediyor. Bu, şeklin alt düz doğrularının bir eşek tarafından geçilebilen ancak bir atla geçilemeyen dik eğimli bir köprüye benzemesine dayanmaktadır: "Ama (son zamanlarda öğrendiğim gibi) eşek için daha tamamlayıcı olan başka bir görüş var. Önerinin şeklin bir sehpa köprüsü gibi olması, her iki ucunda bir rampa olması daha pratiktir, şekil ne kadar düz çizilirse, köprü öyle ki, bir at rampayı aşamazken, eşek aşabilirdi; başka bir deyişle, terim, herhangi bir istihbarat isteğinden ziyade ayakların sağlamlığına atıfta bulunur." ("Excursis II," volume 1 of Heath's translation of The Thirteen Books of the Elements.)
14. Euclid, book I, proposition 32
15. Heath, s. 135. Extract of page 135 18 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
16. Heath, s. 318
17. Euclid, book XII, proposition 2
18. Euclid, book XI, proposition 33
19. Ball, s. 66
20. Ball, s. 5
21. Eves, vol. 1, s. 5; Mlodinow, s. 7
22. "Origami and Geometric Constructions". 18 Haziran 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
23. "Euclid's axioms". The Non-Euclidean Revolution. Birkhäuser. 2008. ss. 39 ff. ISBN 0-8176-4782-1. 25 Şubat 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
24. See, for example: Shape analysis and classification: theory and practice. CRC Press. 2001. s. 314. ISBN 0-8493-3493-4. 10 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Kasım 2020. and Computational Line Geometry. Springer. 2010. s. 60. ISBN 3-642-04017-9. 9 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Kasım 2020. The group of motions underlie the metric notions of geometry. See Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry. Reprint of 1939 Macmillan Company. Courier Dover. 2004. s. 167. ISBN 0-486-43481-8. 10 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
25. The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe. Vintage Books. 2007. s. 29. ISBN 0-679-77631-1. 10 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
26. Heath, s. 200
27. e.g., Tarski (1951)
28. Eves, s. 27
29. Ball, pp. 268ff
30. Eves (1963)
31. Hofstadter 1979, s. 91.
32. Theorem 120, Elements of Abstract Algebra, Allan Clark, Dover, 0-486-64725-0
33. Eves (1963), s. 64
34. Ball, s. 485
35. Howard Eves, 1997 (1958). Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover.
36. Birkhoff, G. D., 1932, "A Set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractors)," Annals of Mathematics 33.
37. Tarski (1951)
38. Misner, Thorne, and Wheeler (1973), s. 191
39. Ball, s. 31
40. Heath, s. 268
41. Giuseppe Veronese, On Non-Archimedean Geometry, 1908. English translation in Real Numbers, Generalizations of the Reals, and Theories of Continua, ed. Philip Ehrlich, Kluwer, 1994.
42. Robinson, Abraham (1966). Non-standard analysis.
43. Paralellik postülatı diğerlerinden daha az açık olarak düşünen kadim insanların tarihsel nedeninin bu olduğu iddiası için bkz. Nagel ve Newman 1958, s. 9.
44. Cajori (1918), s. 197
45. A detailed discussion can be found in James T. Smith (2000). "Chapter 2: Foundations". Methods of geometry. Wiley. ss. 19 ff. ISBN 0-471-25183-6. 2 Kasım 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
46. Société française de philosophie (1900). Revue de métaphysique et de morale, Volume 8. Hachette. s. 592. 10 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
47. "Mathematics and the metaphysicians". The world of mathematics. Reprint of Simon and Schuster 1956. 3. Courier Dover Publications. 2000. s. 1577. ISBN 0-486-41151-6. 10 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
48. "Introduction". An essay on the foundations of geometry. Cambridge University Press. 1897. 17 Aralık 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
49. "Chapter 2: The five fundamental principles". Basic Geometry. 3rd. AMS Bookstore. 1999. ss. 38 ff. ISBN 0-8218-2101-6. 9 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
50. "Chapter 3: Elementary Euclidean Geometry". Cited work. ss. 84 ff. 17 Aralık 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
51. Elementary geometry from an advanced standpoint. 3rd. Addison–Wesley. 1990. ISBN 0-201-50867-2. 9 Aralık 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
52. "§1.4 Hilbert and Birkhoff". Geometry: ancient and modern. Oxford University Press. 2001. ISBN 0-19-850825-5. 21 Temmuz 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
53. "What is elementary geometry". Studies in Logic and the Foundations of Mathematics – The Axiomatic Method with Special Reference to Geometry and Physics. Proceedings of International Symposium at Berkeley 1957-8; Reprint. Brouwer Press. 2007. s. 16. ISBN 1-4067-5355-6. 11 Temmuz 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Kasım 2020. We regard as elementary that part of Euclidean geometry which can be formulated and established without the help of any set-theoretical devices
54. "Tarski's logic". Logic from Russell to Church. Elsevier. 2009. s. 574. ISBN 0-444-51620-4. 28 Şubat 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
55. Franzén, Torkel (2005). Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse. AK Peters. 1-56881-238-8. Pp. 25-26.

Kaynakça

• Ball, W.W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] bas.). New York: Dover Publications. ss. 50-62. ISBN 0-486-20630-0.
• Coxeter, H.S.M. (1961). Introduction to Geometry. New York: Wiley.
• Eves, Howard (1963). A Survey of Geometry (Volume One). Allyn and Bacon.
• Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] bas.). New York: Dover Publications. In 3 vols.: vol. 1 0-486-60088-2, vol. 2 0-486-60089-0, vol. 3 0-486-60090-4. Heath's authoritative translation of Euclid's Elements, plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. W.H. Freeman.
• Mlodinow (2001). Euclid's Window. The Free Press.
• Nagel, E.; Newman, J.R. (1958). Gödel's Proof. New York University Press.
• Tarski, Alfred (1951). A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. Univ. of California Press.

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Euclidean geometry", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Plane trigonometry", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
• Kiran Kedlaya. "Geometry Unbound". 26 Ekim 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. (analitik geometri kullanan bir işlem; PDF, GFDL lisanslı)