Loading AI tools
Från Wikipedia, den fria encyklopedin
Inom matematiken är en automorfi en isomorfi från ett matematiskt objekt till sig själv. Den är i en viss mening en symmetri av objektet och ett sätt att avbilda objektet på sig själv så att objektets struktur bevaras. Mängden av alla automorfier av ett objekt bildar en grupp kallad automorfigruppen. Denna är, lite vagt uttryckt, objektets symmetrigrupp, betecknad Sym(M).
exempelvis medför spegling i det vertikala symmetriplanet (=rotation 180° kring en tvåtalig vertikal symmetriaxel i planet) att hörnen 1 och 2 byter plats (siffrorna är endast till för illustration och "tillhör" inte triangeln):
Därutöver har den en tretalig rotationssymmetri kring en axel genom triangelns mittpunkt och vinkelrät mot triangelns plan. Två speglingar i olika symmetriplan (=rotation 180° kring två olika av de tre tvåtaliga symmetriaxlarna i planet) motsvarar en rotation 120° kring den tretaliga axeln (med- eller motsols beroende på i vilken ordning speglingarna/rotationerna utförs):
Utför man samma spegling två gånger återgår man till utgångsläget, d.v.s. en identitetsavbildning, vilken också måste vara tillåten för att två på varandra följande symmetriavbildningar alltid skall leda till en symmetriavbildning. Ett objekt som endast tillåter denna triviala identitetsavbildning är asymmertisk. Samlingen av symmetriavbildningarna bildar bildar en grupp: symmetrigruppen.
Inom matematiken behandlar man ofta objekt som består av en grundmängd med en tillhörande struktur och i regel leder detta till en kanonisk konstruktion som ur strukturen på och en bijektion påför en struktur på . Speciellt är detta möjligt för bijektionen .
I symmetriexemplet är i överförd mening planet och triangeln. För en kongruensavbildning är bilden av triangeln. Symmetriavbildningar uttrycker sig genom att . I abstrakta sammanhang benämner man bijektioner , som uppfyller automorfier av . Denna definition täcker de flesta fall - om de är grafer, topologiska rum, eller algebraiska strukturer som vektorrum.
Om den påförda strukturen är mera komplicerad kan den förefallande harmlösa betingelsen ställa till problem: Definierar man differentierbara mångfalder som grundmängder med topologi och en atlas får man i fallet en homeomorfism en kompatibel, men ej identisk, atlas . Hade man däremot krävt en maximal atlas i definitionen skulle för en sådan .
Kategoriteorin löser detta och andra problem genom att förutsätta en redan färdig definition för avbildningar med kompatibel struktur (morfier - det behöver inte handla om faktiska avbildningar). Därvid ersätts kravet på bijektivitet (som i abstrakta sammanhang mest är i vägen) med en invers morfi.
Den exakta definitionen av en automorfi beror av vilken typ av "matematiskt objekt" det rör sig om och vad som är en isomorfi av objektet. Den mest allmänna ram inom vilken dessa begrepp har en mening är en abstrakt gren av matematiken kallad kategoriteori. Kategoriteori behandlar abstrakta objekt och morfierna mellan dessa objekt.
Inom kategoriteori är en automorfi en endomorfi (dvs. en morfi från objektet till sig själv), som också är en isomorfi (i ordets kategoriteoretiska betydelse).
Det är sålunda en mycket abstrakt definition eftersom, inom kategoriteori, morfierna inte nödvändigtvis är funktioner och objekten inte nödvändigtvis är mängder. I de flesta konkreta fall kommer dock objekten att vara mängder försedda med en bestämd struktur och morfierna att vara funktioner som bevarar denna struktur.
Inom abstrakt algebra, är det matematiska objektet en algebraisk struktur, exempelvis en grupp, en ring eller ett vektorrum. En isomorfi är då en bijektiv homomorfi. (Återigen är definitionen av en homomorfi naturligtvis avhängig av vilken struktur det rör sig om - se t.ex. grupphomomorfi, ringhomomorfi och linjär avbildning.)
Automorfierna av ett objekt G i en kategori C bildar, som nämndes i introduktionen, en grupp under sammansättning av morfier. Denna grupp kallas automorfigruppen och betecknas AutC(G) eller, om kategorin framgår av sammanhanget, endast Aut(G) och definieras som:
Det är lätt att se att det är en grupp:
Inom några kategorier - speciellt dem som består av grupper, ringar eller Liealgebraer - är det möjligt att dela upp automorfierna i två typer kallade "inre" och "yttre" automorfier.
I fallet med grupper är de inre automorfierna konjugat av gruppens egna element. För varje element a i en grupp G innebär konjugering med a operationen φa : G → G som ges av φa(g) = aga−1 (eller a−1ga; uttryckssätten varierar). Det är lätt att visa att konjugering med a är en gruppautomorfi. I detta fall bildar de inre automorfierna en normal delgrupp till Aut(G) som betecknas Inn(G); detta resultat är känt som Goursats lemma
Övriga automorfier kallas yttre automorfier. Kvotgruppen Aut(G) / Inn(G) betecknas vanligen Out(G); de icke-triviala elementen är de sidoklasser som innehåller de yttre automorfierna.
Samma definition gäller i varje unitär ring eller algebra där a är något inverterbart element. För en Liealgebra är definitionen något annorlunda.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.