Gruppautomorfi

En gruppautomorfi är en isomorf avbildning: G → G, där G är en grupp. Med Aut(G) betecknas gruppen av samtliga avbildningar av detta slag. Aut(G) är en delgrupp till gruppen, A(G), av bijektiva avbildningar av G på sig själv.

Exempelvis är, om G = S₃, antalet avbildningar |A(G)| = 6! = 720 och |Aut(G)| = 5! = 120, eftersom det neutrala elementet, i det här fallet den identiska avbildningen, vid en homomorfi avbildas på sig självt.

Inre automorfier

För varje g∈G är konjugeringen φ_g en automorfi, där φ_g definieras genom

${\displaystyle \phi _{g}(h)=ghg^{-1}.\,}$

Att φ_g är en homomorfi fås av att φ_g(e) = geg^-1 = gg^-1 = e, och att φ_g(hk) = ghkg^-1 = ghekg^-1 = ghg^-1gkg^-1 = φ_g(h)φ_g(k). φ_g är även surjektiv och injektiv och därmed en gruppautomorfi. En automorfi av detta slag kallas för en inre automorfi.

Sammansättningen av två inre automorfier är också en inre automorfi, det vill säga φ_g1g2(h) = φ_g1(φ_g2(h)) för alla g₁,g₂,h∈G, vilket kan visas med samma slags kalkyl som ovan. Det gäller således att φ_g1φ_g2 = φ_g1g2. Härav följer att mängden av inre automorfier, Inn(G), är en delgrupp av Aut(G).

Funktionen Φ: G→Aut(G) definierad av Φ(g) = φ_g är en grupphomomorfi, vars bild är just Inn(G), och vars kärna är centrum Z(G) av G, varav följer att Inn(G) är isomorf med kvotgruppen G/Z(G).

Källor

• I.N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell, 1964.
• B.L. van der Waerden, Algebra, Springer Verlag, 1950.
• J.B. Fraleigh, Abstract Algebra, Addison-Wesley, New York 1967.