Nollrum

Nollrummet eller kärnan till en linjär avbildning ${\displaystyle F:\mathbb {U} \rightarrow \mathbb {V} }$ (där ${\displaystyle \mathbb {U} }$ och ${\displaystyle \mathbb {V} }$ är två vektorrum) definieras som:

${\displaystyle N(F)=\{{\bar {u}}\in \mathbb {U} :F({\bar {u}})={\bar {0}}\}}$

Det vill säga mängden av alla vektorer i ${\displaystyle \mathbb {U} }$ som avbildas på nollvektorn, alltså "som blir 0". Att nollrummet gör skäl för sitt namn och inte bara är en delmängd utan även ett underrum till ${\displaystyle \mathbb {U} }$ visas med hjälp av definitionen av en linjär avbildning, ty om ${\displaystyle {\bar {u}},{\bar {w}}\in N(F)}$ och ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ så gäller:

1. ${\displaystyle F({\bar {u}}+{\bar {w}})=F({\bar {u}})+F({\bar {w}})={\bar {0}}\Rightarrow {\bar {u}}+{\bar {w}}\in N(F)}$
2. ${\displaystyle F(\alpha {\bar {u}})=\alpha F({\bar {u}})=\alpha {\bar {0}}={\bar {0}}\Rightarrow \alpha {\bar {u}}\in N(F)}$

vilket är ekvivalent med att ${\displaystyle N(F)}$ är ett underrum av ${\displaystyle \mathbb {U} }$.

Tolkning

Om nollrummet består av åtminstone någon nollskild vektor, det vill säga om ${\displaystyle N(F)\not =\{0\}}$, och avbildningen ${\displaystyle F}$ kan skrivas med matrisen ${\displaystyle A}$ följer att:

• ${\displaystyle Ax=0}$ har icke-triviala lösningar.

• ${\displaystyle A(x+z)=Ax+Az=Ax}$, om ${\displaystyle z\in N(F).}$

Det vill säga att om du har funnit en lösning ${\displaystyle x}$ till ekvationen ${\displaystyle y=Ax}$ så är även ${\displaystyle x+z}$ en lösning, en lösningsstruktur som bekant återfinns även då man löser linjära differentialekvationer. Det innebär också att det finns en inbyggd osäkerhet i det system som beskrivs av ekvationen ${\displaystyle y=Ax}$. Om ${\displaystyle A}$ är någon slags transform som verkar på en insignal ${\displaystyle x}$ och ger en utsignal ${\displaystyle y}$ så kan du, givet enbart utsignalen ${\displaystyle y}$, inte veta om insignalen i det här fallet var ${\displaystyle x}$ eller ${\displaystyle x+z}$.

Att ${\displaystyle z}$ hör till nollrummet behöver dock inte betyda att den inte har någon som helst effekt på systemet. Tänk dig att ${\displaystyle y=Ax}$ nu beskriver en kloss som vi applicerar olika stora krafter på under en viss tid. ${\displaystyle y}$ står för klossens position och hastighet vid sluttidpunkten, ${\displaystyle x}$ innehåller de olika krafter som vi vill applicera och ${\displaystyle A}$ beskriver vilken effekt respektive kraft har på klossens slutposition och sluthastighet. Att ${\displaystyle Az=0}$ innebär i det här fallet inte nödvändigtvis att klossen står still under hela tidsperioden, utan den kan röra sig fram och tillbaka i princip hur som helst så länge den står still i sin ursprungsposition väl vid sluttidpunkten.

Exempel

• Bestäm ${\displaystyle N(F)}$ om ${\displaystyle F}$ är en ortogonalprojektion i ett plan.

Lösning: Vid en ortogonalprojektion projiceras varje vektor ner i planet, alltså att man från en given vektor enbart erhåller den komposant som är parallell med planet. ${\displaystyle N(F)}$ består således av de vektorer som helt saknar en komposant parallell med planet, det vill säga som är ortogonala mot planet. Således består ${\displaystyle N(F)}$ av alla vektorer längs planets normallinje.

• Bestäm en bas till ${\displaystyle N(F)}$ om ${\displaystyle F:}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ⁴ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ⁴ ges av matrisen ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&-1&-4\\0&1&-1&0\\0&2&-2&0\\1&0&0&-2\end{pmatrix}}}$

Lösning: ${\displaystyle N(F)}$ består av alla de vektorer ${\displaystyle X}$ för vilka ${\displaystyle AX=0}$, en ekvation som vi tecknar och sedan löser med stegvis gausselimination:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr|r}2&1&-1&-4&0\\0&1&-1&0&0\\0&2&-2&0&0\\1&0&0&-2&0\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrrr|r}0&1&-1&0&0\\0&1&-1&0&0\\0&1&-1&0&0\\1&0&0&-2&0\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrrr|r}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0\\1&0&0&-2&0\end{array}}\right]\Leftrightarrow {\begin{alignedat}{7}x_{2}&&\;=\;&&x_{3}\\x_{1}&&\;=\;&&2x_{4}\end{alignedat}}}$

${\displaystyle x_{3}=t,x_{4}=s\Rightarrow x_{2}=t,x_{1}=2s\Rightarrow X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}=s{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\1\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}}=s{\bar {v}}+t{\bar {u}}}$ där vektorerna ${\displaystyle {\bar {v}}}$ och ${\displaystyle {\bar {u}}}$ alltså spänner upp ${\displaystyle N(F)}$ och således utgör en bas för nollrummet.

Se även

• Värderum
• Dimensionssatsen
• Kolonnrum
• Radrum

Referenser

• Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2013, Matematiska institutionen, Linköpings Universitet