Loading AI tools
Från Wikipedia, den fria encyklopedin
Inom den abstrakta algebran är en abelsk grupp (efter Niels Henrik Abel) en grupp som är kommutativ vid tillämpning av gruppoperationen på två element i gruppen.
Den här artikeln behöver fler eller bättre källhänvisningar för att kunna verifieras. (2021-12) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
En abelsk grupp är en generalisering av addition av heltal.
En abelsk grupp är en grupp där operationen är kommutativ, det vill säga gruppen (G,*) är abelsk om
för alla a och b i G.[1]
Övriga egenskaper för en grupp:
Man kan också se om en grupp är abelsk i dess cayleytabell; en grupp är abelsk om och endast om dess cayleytabell är symmetrisk kring huvuddiagonalen, dvs. elementet på rad i och kolumn j ska vara samma som elementet på rad j och kolumn i.
Den ovanstående notationen är för en grupp där operationen benämns multiplikation. För en additiv grupp ersätter man * med + och enhetselementet blir 0.[2]
Camille Jordan uppkallade abelska grupper efter den norske matematikern Niels Henrik Abel, då Jordan noterade deras vikt inom problem om lösning med radikaler, ett problem som behandlades av Abel.
Om f och g är homomorfier mellan två abelska grupper är även deras summa en homomorfi. Detta gäller inte i allmänhet för icke-abelska grupper.
Varje delgrupp H av en abelsk grupp är normal, vilket betyder att för ett element a i A är:[3]
Fundamentalsatsen för ändliga abelska grupper säger att varje ändlig abelsk grupp G kan skrivas som en direkt summa av cykliska delgrupper av primtalpotensordning. Detta är ett specialfall av fundamentalsatsen för ändligt genererade abelska grupper då G har rang noll.
Cykliska gruppen Zmn av ordning mn är isomorf till direkta summan av Zm och Zn om och bara om m och n är relativt prima. Ur detta följer det att varje ändlig abelsk grupp G är isomorf till en direkt summa av formen
på något av följande vis:
Exempelvis kan Z15 skrivas som direkta summan av två cykliska delgrupper, av ordningarna 3 och 5: Z15 ≅ {0, 5, 10} ⊕ {0, 3, 6, 9, 12}. Samma gäller för varje abelsk grupp av ordning 15, vilket leder till det överraskande resultatet att alla abelska grupper av ordning 15 är isomorfa.