Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом: выберем на плоскости точку и прямую и зададим вещественное число ; тогда геометрическое место точек, для которых отношение расстояний до точки и до прямой равно , является коническим сечением; то есть, если есть проекция на , то
.
Это число называется эксцентриситетом конического сечения. Эксцентриситет окружности по определению равен 0.
Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, задаётся в полярных координатах уравнением:
,
где — эксцентриситет, а — другой постоянный параметр (так называемый фокальный параметр).
Легко показать, что это уравнение эквивалентно определению, данному выше.
В сущности, оно может быть использовано в качестве альтернативного определения эксцентриситета, быть может, менее фундаментального, но удобного с аналитической и прикладной точек зрения; в частности, из него хорошо видна роль эксцентриситета в классификации конических сечений и определённым образом дополнительно проясняется
его геометрический смысл.
Эллипсы и гиперболы всех возможных эксцентриситетов (e) от нуля до бесконечности, составляющие одну поверхность третьего порядка (являясь её горизонтальными сечениями). Её верхняя часть («гиперболическая») «связана» с нижней частью («эллиптической») параболой с уравнением , получающейся при сечении плоскостью y=0
В зависимости от эксцентриситета, получится:
при — гипербола. Чем больше эксцентриситет гиперболы, тем больше две её ветви похожи на параллельные прямые линии;
Эксцентриситет эллипса и гиперболы равен отношению расстояния от фокуса до центра к большой полуоси. Это свойство иногда принимают за определение эксцентриситета. В прежние времена (например, в 1787 году[1]) на большую полуось не делили — эксцентриситетом эллипса называли расстояние от фокуса до центра[2].
Эксцентриситет эллипса может быть также выражен через отношение малой () и большой () полуосей:
.
Эксцентриситет гиперболы может быть выражен через отношение мнимой () и действительной () полуосей: