Пропорциональность

Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остаётся неизменным^[1].

Равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин в математике называется пропорцией.

Для обозначения пропорциональных величин используется символ ${\displaystyle \sim }$ (Юникод: U+223C ∼ tilde operator)^[2] подобно тому как используется знак равенства. Например,

${\displaystyle A\sim B}$

означает, что величина ${\displaystyle A/B}$ постоянна. В англоязычной литературе обычно используется знак ${\displaystyle \propto }$ (Юникод: U+221D ∝ proportional to):

${\displaystyle A\propto B.}$

Пример

Масса керосина пропорциональна его объёму: 2 л керосина имеют массу 1,6 кг, 5 л имеют массу 4 кг, 7 л имеют массу 5,6 кг. Отношение массы к объёму при одинаковых условиях всегда будет равно плотности:

${\displaystyle 1{,}6:2=4:5=5{,}6:7=0{,}8.}$

Коэффициент пропорциональности

Неизменное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности. Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой^[1].

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Пример: такие величины, как скорость объекта и пройденное им расстояние являются прямо пропорциональными.

Прямая пропорциональность задаётся формулой: ${\displaystyle y={k}\cdot {x}}$, где ${\displaystyle k>0}$.

Обратная пропорциональность

Графики нескольких функций: ${\displaystyle f(x)={\frac {12}{x}}}$; ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$; ${\displaystyle f(x)=-{\frac {1}{x}}}$; ${\displaystyle f(x)=-{\frac {12}{x}}}$

Обра́тная пропорциона́льность — это функциональная зависимость, при которой увеличение независимой величины (аргумента) вызывает пропорциональное уменьшение зависимой величины (функции).

${\displaystyle y={\frac {k}{x}},\quad x\neq 0,\ k>0.}$

Свойства функции:

• Область определения ${\displaystyle D(y)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty ).}$
• Область значений ${\displaystyle E(y)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty ).}$
• Функция нечётна, так как ${\displaystyle f(-x)={\frac {k}{-x}}=-{\frac {k}{x}}=-f(x).}$
• Функция убывает на каждом из множеств ${\displaystyle (-\infty ;0)}$ и ${\displaystyle (0;+\infty )}$ по отдельности для ${\displaystyle k>0}$ и возрастает на каждом из них по отдельности при ${\displaystyle k<0.}$
• Графиком обратной пропорциональности является равнобочная гипербола с эксцентриситетом ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$

См. также

• Гипербола
• Линейная функция
• Пропорция
• Подобие
• Корреляция

Источники

1. М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — М., 1974.
2. ISO 80000-2. Quanities and units. Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in natural sciences and technology. 7. Miscelaneous signs ans symbols (англ.). International Organization for Standardization (1 декабря 2009). Дата обращения: 2 октября 2022. Архивировано из оригинала 28 февраля 2019 года.